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1、20届,普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案（理）2000年一般高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分第I卷1至2页第II卷3至9页共150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 (1) 设集合A和B都是自然数集合N，映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素，则在映射下，象20的原象是 () (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (2) 在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是 () (A)
2、2 (B)(C)(D) 3 (3) 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是 () (A) 2 (B) 3 (C) 6 (D)(4) 已知，那么下列命题成立的是 () (A) 若、是第一象限角，则 (B) 若、是其次象限角，则 (C) 若、是第三象限角，则 (D) 若、是第四象限角，则(5) 函数的部分图像是 ()(6)中华人民共和国个人所得税法规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额 税率 不超过500元的部分 5% 超过500元至2000元的部分 10% 超过2000元至
3、5000元的部分 15% 某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于 () (A) 800900元 (B) 9001200元 (C) 12001500元 (D) 15002800元 (7) 若，P=，Q=，R=，则 () (A) RPQ (B) PQ R (C) Q PR (D) P RQ (8) 以极坐标系中的点为圆心，1为半径的圆的方程是() (A)(B)(C)(D)(9) 一个圆柱的侧面绽开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 () (A)(B)(C)(D)(10) 过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 () (A)(B)(C)(D)
4、 (11) 过抛物线的焦点F作始终线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是、，则等于 () (A)(B)(C)(D) (12) 如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为 () (A)(B)(C)(D)第II卷(非选择题共90分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线 (13) 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参与竞赛3名主力队员要支配在第一、三、五位置，其余7名队员选2名支配在其次、四位置，那么不同的出场支配共有_种(用数字作答)(14) 椭圆的焦点为、，点P为其上的动点，
5、当为钝角时，点P横坐标的取值范围是_ (15) 设是首项为1的正项数列，且(=1，2，3，)，则它的通项公式是=_(16) 如图，E、F分别为正方体的面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是_(要求：把可能的图的序号都填上)三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (17) (本小题满分12分) 已知函数， (I) 当函数取得最大值时，求自变量的集合； (II) 该函数的图像可由的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ (18) (本小题满分12分) 如图，已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形，且= (I) 证明：BD； (II) 假定CD=2
6、，=，记面为，面CBD为，求二面角 的平面角的余弦值； (III) 当的值为多少时，能使平面？请给出证明 (19) (本小题满分12分) 设函数，其中 (I) 解不等式； (II) 求的取值范围，使函数在区间上是单调函数 (20) (本小题满分12分) (I) 已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数； (II) 设、是公比不相等的两个等比数列，证明数列不是等比数列 (21) (本小题满分12分) 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示() 写出图一表示的市场售
7、价与时间的函数关系式P=；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=； () 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？ (注：市场售价和种植成本的单位：元/kg，时间单位：天) (22) (本小题满分14分) 如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围2000年一般高等学校招生全国统一考试 数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准一选择题：本题考查基本学问和基本运算，每小题5分，满分60分 (1)C(2)B(3)D(4)D(5)D(6)C(7)B (8)C(9)A(10)C (11)C(12
8、)D二填空题：本题考查基本学问和基本运算，每小题4分，满分16分 (13)252 (14)(15)(16)三解答题 (17)本小题主要考查三角函数的图像和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算实力满分12分 解：() y=cos2xsinxcosx1 =(2cos2x1)(2sinxcosx)1 =cos2xsin2x=(cos2xsinsin2xcos) =sin(2x) 6分 y取得最大值必需且只需 2x=2k，kZ， 即 x=k，kZ所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为 x|x=k，kZ 8分 ()将函数y=sinx依次进行如下变换：(i)把函数y=sinx的图像向左平移
9、，得到函数y=sin(x)的图像； (ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x)的图像； (iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x)的图像； (iv)把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x)的图像；综上得到函数y=cos2xsinxcosx1的图像 12分 (18)本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理实力，满分12分 ()证明：连结A1C1、AC、AC和BD交于O，连结C1O 四边形ABCD是菱形， ACBD，BD=CD 又BCC1=DCC1，C1C= C1C， C1B
10、CC1DC C1B=C1D， DO=OB C1OBD， 2分 但ACBD，ACC1O=O， BD平面AC1， 又C1C平面AC1 C1CBD 4分 ()解：由()知ACBD，C1OBD， C1OC是二面角BD的平面角 在C1BC中，BC=2，C1C=，BCC1=60， C1B2=22()222cos60= 6分 OCB=30， OB=BC=1 C1O2= C1B2OB2=， C1O=即C1O= C1C 作 C1HOC，垂足为H 点H是OC的中点，且OH=， 所以cosC1OC= 8分 ()当=1时，能使A1C平面C1BD 证明一： =1， BC=CD= C1C， 又BCD=C1CB=C1CD，
11、 由此可推得BD= C1B = C1D 三棱锥CC1BD是正三棱锥 10分 设A1C与C1O相交于G A1 C1AC，且A1 C1OC=21， C1GGO=21 又C1O是正三角形C1BD的BD边上的高和中线， 点G是正三角形C1BD的中心， CG平面C1BD 即A1C平面C1BD12分 证明二：由()知，BD平面AC1， A1 C平面AC1，BDA1 C10分 当=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形， 同BDA1 C的证法可得BC1A1C， 又BDBC1=B， A1C平面C1BD 12分 (19)本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本学问，分类探讨的数学思想方法和运算、推理实力满分
12、12分 解：()不等式f(x) 1即 1ax， 由此得11ax，即ax0，其中常数a0 所以，原不等式等价于即 3分 所以，当0a1时，所给不等式的解集为x|0； 当a1时，所给不等式的解集为x|x0 6分 ()在区间0，+上任取x1、x2，使得x1x2 f(x1)f(x2)= a(x1x2)=a(x1x2)=(x1x2)(a)8分 ()当a1时 <1 a<0， 又x1x2<0， f(x1)f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2) 所以，当a1时，函数f(x)在区间上是单调递减函数 10分 (ii)当0<a<1时，在区间上存在两点x1=0,x2=，满
13、意f(x1)=1，f(x2)=1，即f(x1)=f(x2)，所以函数f(x)在区间上不是单调函数 综上，当且仅当a1时，函数f(x)在区间上是单调函数 12分 (20)本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算实力，满分12分 解：()因为cn+1pcn是等比数列，故有 （cn+1pcn）2=( cn+2pcn+1)(cnpcn1)， 将cn=2n3n代入上式，得 2n1+3n1p(2n3n)2 =2n2+3n2p(2n+13n+1)2n+3np(2n13n1)， 3分 即(2p)2n+(3p)3n2 =(2p)2n+1+(3p)3n+1 (2p)2n1+(3p)3n1， 整理得(2p
14、)(3p)2n3n=0， 解得p=2或p=3 6分 ()设an、bn的公比分别为p、q，pq，cn=an+bn 为证cn不是等比数列只需证c1c3 事实上，=(a1pb1q)2=p2q22a1b1pq， c1c3=(a1b1)(a1 p2b1q2)= p2q2a1b1(p2q2) 由于pq，p2q2>2pq，又a1、b1不为零， 因此c1c3，故cn不是等比数列12分 (21)本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学学问解决实际问题的实力，满分12分 解：()由图一可得市场售价与时间的函数关系为 f(t)= 2分 由图二可得种植成本与时间的函数关系为 g(
15、t)=(t150)2101，0t3004分 ()设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得 h(t)=f(t)g(t) 即h(t)= 6分 当0t200时，配方整理得 h(t)=(t50)2101， 所以，当t=50时，h(t)取得区间0，200上的最大值101； 当200<t300时，配方整理得 h(t)=(t350)2101 所以，当t=300时，h(t)取得区间200，300上的最大值87.510分 综上，由101>87.5可知，h(t)在区间0,300上可以取得最大值101，此时t=50，即从二月一日起先的第50天时，上市的西红柿纯收益最大 12分 (22)本小题主要考查坐标法
16、、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算实力和综合应用数学学问解决问题的实力，满分14分解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xoy，则CDy轴 因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于x轴对称 2分 依题意，记A(c，0)，C(，h)，E(x0, y0)，其中c=|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高 由定比分点坐标公式得 x0= ， 设双曲线的方程为，则离心率. 由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得 ， 7分 由式得， 将式代入式，整理得 ， 故10分 由题设得， 解得 所以双曲线的离心率的取值范围为14分 第14页 共14页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页