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1、学习数学心得体会讀數學學習心理學心得北市胜利中学游經祥老師一、前言數學教學可說是一種藝術，而且也是教師始终在自我調整，自我成長的一門學問。筆者對數學教化可說是門外漢，有幸參與研讀Richard Skemp所著的數學學習心理學，讓筆者從中體會到一些數學教化的大略。這是一本結合心理學理論和數學教學經驗的好書，在研讀討論過程中，讓筆者不時常有心有戚戚焉的感覺，也讓筆者感到教學專業之中，還有這麼多細密的內涵存在，進而對數學教學的價值觀以及數學教學的意義，有更進一步的體會。由於本書內容豐富，筆者便以分段式的方式提出心得，並期望在每一段落中，給出中学教材的相關例子，以參照這幾年來筆者自己的教學經

2、驗。換句話說，在本文中，筆者一方面确定本書所提出的概念，另一方面，則也要強調筆者教學經驗的自我印證。在此，我很感謝同事杜雲華老師、蘇意雯老師、蘇慧珍老師的集思廣義，以及洪萬生教授的問題討論。二、數學概念我們數學的學習從無到有，頇經過多少歲月學習，及許多師長的引導啟發，再加上我們人類的智力行為，各方面因緣的會聚，數學方能達到如今成熟的地步。人類由活動中吸取經驗，由經驗中學習而化為行為；因此，人類的智力行為乃從經驗，再由經驗、事物的分類、歸類之中，而產生心智中的歸檔。在這種心智活動過程中，我們由語言經驗，經分類、歸納，進而將之抽象化，而這抽象化後的事物存在心中，便稱之為概念。平常數學中所謂的定

3、義，即是將某一數學概念的範圍更加精確地顯示出來。因此，數學中的定義，乃是前人心血累積所成的數學概念。在此，筆者提出中学數學教材中的例子，來對數學概念作一印證。在高一上學期的數系中，有一單元目標是為了幫助學生認識複數系，即C=a+bi|a，bR，i=-1。在此之前，高一學生的心中對於數的概念只有：自然數系，整數系，有理數系，與實數系。因此，要引進複數系時，筆者便從國中時代的一元二次方程式ax2+bx+c=0的公式解及判別式開始引起動機，順便讓學生回憶一下往事，亦即，希望喚醒學生以往的數學概念。進而對判別式D=b2-4ac的正負及實根的個數做個複習。最後，才進入時，公式解中-bD的D是何物？以此

4、來引進負數平方根的存在性。在解決這些存疑之前，筆者又2a引進十六世紀義大利數學家卡當（Girolamo Cardano）所提出的問題：把10分成兩個數，使x=它們乘積是40。當時卡當解出的東西為5-15，他很迷惑5-15究竟是不是數。但是，他又大膽地認定假如5-15這種東西假如可以合符數的運算規則做計算，則5-15就是此問題的解。不過，這問題困擾數學家二百多年，到了十八世紀以後，經過尤拉（Euler）、高斯（Gau）等偉大數學家的努力探究，吾人才日漸揭開複數系的神祕面紗。經過如此介紹，在一方面，我們可讓數學史告訴學生，數系得之不易；另一方面，也可讓學生了解新數系要如何建立。根據數學史，了解

5、一個新數系的建立，對超級數學家而言已經不简单了，更何況是凡夫俗子呢？由此可見，一個數學新概念在學生的心智活動中要明確建立，實在相當困難。再者，筆者想大略談數學抽象化的例子：在大學數中的代數學，其中的群（group），環（ring），體（field）的生成，是由日常生中的自然數系、整數系、有理數系、實數系、複數系中的運算性質，以及其概念中加以聯結，所提煉而成的特性及功用。但是，我們當初很難預測，它們結合後會產生這麼多的特性，而再進一步抽象化後所形成的近世代數之美麗光茫。我們試以下面例子說明，當中的提煉過程。例如：有理數系中對加法、乘法有封閉性，這就是群（group）中的二元運算的來源，其中的

6、結合性、反元素、單位元素皆可由0，1的運算性質推廣得到。因此，經過數系內在蘊涵的特性及功用，再進一步抽象化後便得到群定義中的充要條件。最後，再一般化後，便得到更深化的環、體及近世代數的發展，使代數學成為現今數學領域中重要的一個分支。由此可見，數學概念大都是經由人類生活活動、經驗累積而形成的成果，進而人類將之分類、歸檔，由變因中尋找共通性與不變性，再進一步抽象化，最後在歷史演化的提煉形過程中，將其不變的特質再留存歸檔。就如現在的近世代數學中的群、環、體等理論已成熟，數學家便將之視為自然的數學文化而留存歸檔。三、基模（schema）的特性筆者覺得基模是數學教化上的一個名詞，它大約說明心理學中

7、的心智結構情形。因此，筆者在此只有將基模所具有的一些特性，作以下說明：基模可以結合長期所學的相關經驗及概念。基模可以將概念的關係加以分類、融合、轉化。基模是概念之間的縱橫聯繫網。基模可以將多種概念結合、分析而發展出難以預測的特性及功用。筆者在此以重複組合nm為例，對基模的特性作下列相應的說明。例：袋中有a，b，c三種球，各有10個，從袋中任取5球，請問有幾種不同的取法？（）對沒有nm概念的學生，他可以用以下作法，自然討論可得其解答： a五同：aaaaa，bbbbb，ccccc，共三種。即3種。 13b四同：aaaab，有322=6種，或2種。 3c三同二同：aaabb，有322=

8、6種，或2種。 d三同二異：aaabc，有3=3種。 1e二同二同一異：aabbc，有3=3種。 1共21種。 n 運用這種做法，至少學生已有n，mm的基本概念，以及對球分類的基本实力。就此nnm，m及對球分類的三個基本概念來說，它們個別發揮不出解此題的作用。但當學生的思索中將此三種基本概念結合與聯繫，則問題將可以自然地解決。這種結合與聯繫，就是基模的特性之一。當然，其中也用到自然數的四則運算，這是人類最根本的基模，就不必特別指出。以下，筆者亦是如此對待此根本基模。（）、聰明一點的學生可能會這樣做：設a類球取x個，b類球取y個，c類球取z個。則x+y+z=5，0x,y,z5且x,y,z為整

9、數（即此方程式之非負整數解。）此時可以列表解之：故共有3!3!3!+3!+3!+=21種。 2!2!2!n 運用這種作法的學生至少要有n、mm、代數方程式的列式，以及解非負整數等概念，其中能將排列、組合的問題轉化成代數的問題，這頇要很強的反思实力，即能跳脫問題本身，提昇到更高階層以觀察之，而得到此一作法，這是基模結合力更強的展現。由於基模具有這種將多種概念結合、轉化的特性，難怪引導學生作基模式的學習，是一種很有效的數學教學法。此法的進行，要提示學生有居高臨下的視野，在跳脫問題層次之外，能以更宏觀的思索方向思索之。這是特别難得，而且是更高一層的反思，值得學之。（）更聰明的學生，可能會這樣做：

10、同（）中的假設，而得求x+y+z=5的非負整數解的個數。此時這類學生便將個球，用個“”代表而將之排成一列，再用兩個加號“”插進一群“”之中，所分成的三部分就分別定為x,y,z的值，而得到 7!7373+5-1=C5，即知H5。 =C5=C52!5! 這種做法是經兩次反思而得，先將排列組合的問題轉化成代數方程式問題，為了要求非 nn+m-1負整數解的個數又轉化成重複排列問題，而得到更簡便的求解方法，進而驗證了Hm。 =Cm 筆者分析上述（），（），（）這三種作法，主要目的是要說明筆者對基模所列的四種特性，從而使自己對基模的特質，有更進一步的理解。因此，筆者覺得基模本身已經是離開日常經驗與反應，

11、同時，基模可以統合已知知識，進而加強對事物的了解，及對事物的批判思索力。因此，基模是產生真正理解事物的一種心智工具，利用它，我們可以獲取意想不到的新知。然而萬事萬物，有其利亦有其弊。基模亦可能有其缺點，包括建立過程所費的時間較長，基模有喜新厭舊、顧此失彼的特性，更嚴重者，乃是知識穩固性建立的無形障礙。在此，筆者提出基模穩固性的無形障礙，有一個很明確的例子，就是在畢氏發現無理數時，當時數學家們視畢氏的無理數論點為異端，不在此重述。可見，當時數學家們對數學中的數系基模，只穩固在有理數系為其最高階層的數系，至於對於非有理數的存在性，自然會有很大的懷疑。四、思索層次的分析 x+22x2+2x+2+

12、=3。我們先考慮這問題：試解2x+2x+x+1(解一)、一般學生直觀解之，要先去分母；得到：(x+2)2+(x2+x+1)(2x2+2x+2)=3(x+2)(x2+x+1) x2+4x+4+2(x4+x2+1+2x3+2x+2x2)=3(x3+x2+x+2x2+2x+2) 2x4+4x3+7x2+8x+6=3x3+9x2+9x+6 2x4+x3-2x2-x=0 x=0，2x3+x2-2x-1=0 1x=0,1,-。 2(解二)、另外有一些學生先欣賞一下題目，分析問題特性，方程式中皆有因此，學生的做法便利用符號代表a+x+2及其倒數。 x2+x+1x+2x+2，即令=，則原方程式變為a22x+

13、x+1x+x+12x+2x+21=3a2-3a+2=0a=1或2，即2或2，故得x=0,1,-。 a2x+x+1x+x+ 1由上述的兩種解題方法，筆者試圖分析學生的心智活動結構的也许情形如下：（）、自動化概念在學習或處理新概念或問題時，基礎概念或基礎理論必頇變得自動化，亦即可以自動浮現心頭。不必重新思索或反映的概念，皆可稱為自動化概念。在解一中的自動化概念，包括分式之去分母，多項式之加減乘及多項式的因式分解。因此，要用“解一”的方法，這些基礎概念頇要已經自動化了，如此解此題才便利。至於在解二中的自動化概念，就包括符號代換、分式之去分母、因式分解（十字交义相乘）、解一元二次方程式等。因

14、此，要運用解二之法者，先要有更高層次思索，以簡禦繁而得到a= x+2的代2x+x+1換式；之後便是頇要自動化的概念。（）、心智模型的層次在上述解一中，乃是一般性解題的自然操作活動，也是直覺處理問題的想法。亦即干脆由自然的規律（即自動化概念），經過操作、抽象、推廣所蘊育而成的心智模型。這即是Skemp書中所提到的第一型理論。在解二中，頇要跳脫到問題之外，以居高臨下的觀點先審題目之結構，進而運用數學以簡禦繁的精神，以a代表 x+2而得到簡單的分式方程式，進而如解一之法解之。 x2+x+1這種心智模型較解一更為高層次。這類思索層次可說是反思，自己跳脫題外，思索問題，時時知道自己在做什麼。接著

15、，筆者再以大學數學中拓樸學（topology）的例子，來說明思索層次與思索眼界有著凹凸的不同。記得在國小、國中、中学時代，圓形和三角形是視為完全不一樣的東西，不同的幾何圖形。當時的思索，只限於外形的表現，比較不注意其無形的內涵。因此，在中學時代的數學，直觀思索，圖形的全等性、相像性乃是主要訴求的重點。但是到了大學數學系中的拓樸學，已經忘記了點與點之間的距離，也跳脫了有形物體的局限。故在拓樸學家的眼裡，圓、三角形與皆正方形視為同一類圖形；甚至圓與實心的輪胎也被視為同一類的幾何圖形，而始终線與一點也被視為同樣的幾何圖形。這些觀點，皆已跳脫有形可想像的範圍，已經走到其次型的更高層的思索，難怪Ske

16、mp主張數學學習理論皆是屬於其次型的高層反思。其實，數學高階思索大都屬於二階反思。因此，我們可以理解到，經由數學層層抽象化過濾的高階概念，雖然已經遠離現實世界，走向無形抽象空間之中，但是，它卻反而引領我們進入孙宙的本質，一旦賦予科學的內涵，就可以得到實際世界許多令人驚異的結論了。五、代數與幾何的結合筆者提出以下例子： x2y2+=1之兩頂點，是橢圓上之一點，求的例：設A(-3,0)，B(0,-2)為橢圓94最大面積。這例題是中学數學教材中，常出現在圓錐曲線單元中的例子；而且也算是較難的例題之一。我們提出兩種解法，再進一步分析這兩種解法過程中與Skemp書中的理論相應之處。解法一：利用

18、為它頇要許多概念的結合，才能推導出這題的答案，其中包括橢圓的參數化、面積的行列式表示（亦可以用面積的向量表示）、三角函數疊合性質、最大值如何取值等。一般而言，一個問題頇要三個或以上的概念結合才能解決，便可說是一個難題。何況此問題至少要用到四、五個以上的概念，難怪對學生而言，這是一難題，以上是解法一的計算過程分析。然而，對於解法二而言，它所頇要的概念有：幾何平行概念，三角形面積求法，橢圓切線公式，點到直線之距離等。也就是頇要四、五個以上的概念結合，才能處理這一問題。然而解法二的方法是代數與幾何的結合，也就是兩個大系統的結合。Skemp在本書中提到視覺系統及言辭系統。言辭系統不只包含口中發出的

19、聲音，還包含寫在紙上的字；而視覺系統最好的例子就是圖形。然而，兩種系統若能結合，則處理問題的实力便可以更具威力。難怪諾貝爾獎得主Bragg在其八十歲生日時說：他自己總是先有視覺印象然後才產生新靈感。從這些數學教化專家的言談之中，可見以幾何觀點處理代數問題是很有幫助的，筆者提出這例題便是一例。因此，代數與幾何的結合是很重要的後射思索实力。筆者近日對這三年來的指定或聯考試題作分析，發現九十一年指定考科有關幾何或利用幾何概念可處理的問題佔了29%；九十年聯考題這種題目佔了52%；八十九年聯考這種題目佔了46%。筆者所推定的百分比，可能見仁見智，雖然可能有誤差，但是，我們信任平均而言，與幾何相關或利

20、用幾何可以處理的問題佔35%40%是很自然的。這令筆者也深深感到，現今中學教材幾何的份量實在太少了。我希望數學教學家者能正視此一問題，也希望有改善幾何教學的教材出現。平心而論，幾何中的作圖、作法、推論與證明，可以說對學習數學是很重要的訓諫，不知為何當今編寫數學教材大綱的所謂專家，為何對幾何的內容做如此的取捨？現今的教化專家究竟在想什麼？筆者想不通！故之面積六、理解方式在Skemp書中的理解方式分為：機械式理解、因果式理解，與邏輯式理解。本書中對此三種理解方式有大略敘述，我們分述如下。機械式理解：能夠將硬背的公式、招數應用於特定問題，但不知背後缘由、原理。因果式理解：知道數學概念的缘由

21、、原理，並能自行推理、推廣。邏輯式理解：能夠老練地以數學化符號、術語搭配邏輯推理規則，以進行形式化的數學概念證明或推演。為了說明這三種不同的理解方式，筆者舉以下例子，來對照三種理解的情形。例：設二次函數f(x)=(x-1.1)2+(x-1.2)2+(x-1.3)2+(x-1.4) 2+(x-8.6)2+(x-8.7)2+(x-8.8)2+(x-8.9)2，且當x=x0時，f(x)有最小值為m，則(x0,m) 。（A）機械式理解的學生，可能作以下解答方式。取 1.1，1.2，1.3，1.4，8.6，8.7，8.8，8.9的中位數得5，則f(5)=112.6，故答(5,112.6)。此

22、答案正確。但學生只記得老師提示：當遇到這種問題時，便取以上各數之中位數代入，即得最小值。（B）因果式理解的學生可能作以下解答方式。將f(x)化為二次函數： f(x)=8x2-2(1.1+1.2+1.3+1.4+8.6+8.7+8.8+8.9)x+D f(x)=8x2-80x+D=8(x-5)2+D-200，其中D=1.12+1.22+1.32+.142+8.62+8.72+8.82+8.92，故得當x=5時，f(x)有最小值112.6。在運用這種解法時，學生一眼看出f(x)為一元二次函數，故經化簡便可以得到，且可求得最小值。可見，他對二次函數、配方、求極值等基本概念皆明白在心理，而可

23、以自行推導得答案。（C）為了引進邏輯式理解，我們提出以下例子。 1+tanq-secq=tanq-secq，有學生如此證明： 1-tanq-secqq-nseq=c(1-taq-nseq)c(qt-asneq)c 1+ta 例：求證： 22-seqc=taq-ntaqn-taqsneq-cseq+ctaqsneq+cseqc 1+taqn2-seqc=ta 1+taqnq-nseq+c(s2qe-ctaqn) -seqc=1+taqn-seq c 1+taqn 故得證。運用這種證法的學生，筆者承認他已經對三角函數恆等式證明，已有了因果式的理解。因為，他知道從第一等式到最後等式，其實皆是一樣

24、的意義，而最後一個等式是顯然成立，故原等式得證。看到學生如此解，便可以了解其對等式證明的因果過程皆理解。因此，筆者認為他已達到因果式理解。但是，他的數學邏輯表達卻有不當之處。假如改寫如下：此一恆等式與1+tanq-secq=(1-tanq-secq)(tanq-secq)同義，故我們只證明後一恆等式就行了。它的右式(1-tanq-secq)(tanq-secq) =tanq-tan2q-tanqsecq-secq+tanqsecq+sec2q =tanq-secq+(sec2q-tan2q) =1+tanq-secq=左式得證。經過如此修正，整個邏輯語氣才通順，而且符合敘述證明的邏輯思索

25、理解。若學生能接受如此的訓練，便可以得到邏輯式理解的學習目標，而使基模或解題過程能很圓滿地呈現出來。因此，邏輯式理解有一項很重要的誘因，就是來自同儕或師長的批評與建議，如此，方能達到數學完备的邏輯式理解與因果式理解的效應與動力，而達到追求更廣泛、更有力、更一样、更完備的數學知識。七、數學教學的省思回想起十多年來的數學教學情況，可說是教學相長的最佳寫照。在最初教學之時，筆者比較愛教理論，亦即常以定義方式，干脆引入數學概念，這種方法最簡捷。但是，學生卻不易了解，易生枯燥之感。因為，筆者在大學數學系時專業上的訓練，常以定義、性質、引理、定理、推理，一連串的引出數學的概念；因此，剛開始教學之時，亦

26、承襲此一教學方式。後來，筆者日漸了解學生汲取不良的情形，也體會到中學生不比大學數學系的學生。因此，漸漸了解引起動機的重要，而在教學之時，渐渐轉變成以例子為起頭，引用日常生活化的例子，來引發學生的學習興趣，然後，再進一步抽象化，而教授一般化的數學概念。經過Skemp這本書的啟示，筆者覺得一位好老師至少要具備以下的特質：提出問題，解答問題。體察出學生基模進展的方式，並適時提出適當實物以供參考。幫助學生更深化驾驭其所學。逐步減低學生對老師的依賴。培養學生獨立分析事物的实力。教材之選取，以及問題之提出，要合符學生的思索方式。培養學生反映內涵实力及推理綜合实力。確時驾驭學生心智自我建設之

27、過程及特徵。由於Skemp的概念啟發，筆者也提議下列一套數學教學的原則，筆者覺得它們是一位數學教師至少應該具備的共識：先引起學習動機，以例子為起頭說明。舉例子要確定學生已經形成例子所應該具備的預先概念。定義不行超過已知的高階概念。以好例子引出定義。對所要教的例子要有充分了解，要有創造力、啟發力。概念結構分析過程中，不行錯一步。从前概念必頇回顧複習，使學生隨手可得。引導學生揭開數學的發展結果，並加強學生的數學邏輯思索。加強才智學習的過程。這些有關教師特質與教學原則的自我省思，將是往後筆者在數學教學上的重點參考，更是筆者自我期許至少要達成的目標。八、結論數學教化對筆者而言

28、千頭萬緒，只是從經驗，教學過程，偶而拾獲的一些心得而已。有幸能得到Skemp書中的許多啟發，也印證了許多教學過程中所體會的理念與原則。筆者覺得數學教學，應該著重在要求這些數學結果是如何一步一步被揭開、發展出來，以及其來龍去脈的全盤了解，而不只是邏輯推理的說服懷疑者，此外，也不只是教授數學技巧，而不教數學的思索內涵而已。因此，數學教學為了簡捷、精確，而干脆以定義方式引導學生，對學生而言，這是一種不智之舉。假如能從日常生活經驗中，引進一些美妙的例子，加強學生的學習動機，這將是年輕學子之福。學生學習的包袱，會隨著學習理解方式而不同。機械式理解者將累積無數的數學規則、公式，而包袱日漸加重，以至達到

29、無法負荷的逆境。但對因果式及邏輯式理解的學生而言，將可以大幅減輕其包袱的負擔。故此，對學生的教學過程中，時時引導其對數學的理解規定的理由為何？目的何在？這是一種減輕學生學習包袱的重大關鍵。我們皆明白分析实力、邏輯論證、社會化思索在數學中是相當重要的學習目標。然而，在此之外，我們更须要有個人的思索、內在的洞察力以及綜合实力。在某種程度上而言，前者較简单教給學生，後者只能靠學生自力開發。可見，學生個人思索、洞察力、綜合实力的引導不易。所以，我們只能從旁啟發，至於達到何種程度，只有靠學生自己的造化了。學生的學習是可以啟發的，教師本身的角色扮演也相當重要。原則上，一個教師既要是軍隊中的訓練班長（管

30、理學生），又要是交響樂團的指揮者（以自己的學識風範贏得學生的敬愛），並且必頇在這兩個角色之間取得平衡。在數學教化環環相扣的情形下，筆者也深深體認到：數學是經由層層抽象過濾的高階概念，雖然這些高階概念遠離現實世界，但它們卻反而引領我們接觸孙宙的本質。一旦將這些賦予科學的內涵，就可以得到實際世界中許許多多令人驚異的結論。現今數學教化理論雖然還在蘊育之中，但是，顯然也建立了許多值得參考的理論。期盼將來我們對於學生學習內在心智活動及其內在自我建構的探究，能有更進一步的理解。這也是當今許多數學教化專家要探討的中心問題：教學時如何兼顧學習者心智自我建設性的特徵？如何理解學習者內在心智活動的全部過程？学习数学心得体会学习数学心得体会学习数学的心得体会学习数学新课标心得体会学习数学新课标心得体会学习数学新课标心得体会学习数学新课标心得体会学习数学建模心得体会学习数学新课标心得体会学习数学新课标心得体会本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第23页共23页第 23 页共 23 页第 23 页共 23 页第 23 页共 23 页第 23 页共 23 页第 23 页共 23 页第 23 页共 23 页第 23 页共 23 页第 23 页共 23 页第 23 页共 23 页第 23 页共 23 页

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