《2022年高三数学必修5教案：《等比数列的前n项和》.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高三数学必修5教案：《等比数列的前n项和》.docx（38页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2022年高三数学必修5教案：等比数列的前n项和学习的敌人是自己的满意，要仔细学习一点东西，必需从不自满起先。下面是我为您举荐高三数学必修5教案：等比数列的前n项和。教学分析本节是数列一章的最终内容，分两课时完成，第一课时侧重于公式的推导及记忆，其次课时侧重于公式的敏捷应用.等比数列的前n项和是教材中很重要的一部分内容，是等比数列学问的再相识和再运用，它对学生进一步驾驭、理解等比数列以及数列的学问有着很重要的作用.等比数列前n项和公式的推导，也是培育学生分析、发觉、类比等实力的很好的一个工具.在讲求和公式推导时，应指出其运算的依据是等式性质和数运算的通性（交换律、结合律、安排律）.培育学生逻辑
2、思维的习惯和代数运算技能.新大纲中对本学问有较高层次的要求，教学地位很重要，是教学全部学习任务中必需优先完成的任务.这项学问内容有广泛的实际应用，许多问题都要转化到等比数列的求和上来才能得到解决.如增长率、浓度配比、细胞分裂、储蓄信贷、养老保险、分期付款的有关计算等很多方面均用到等比数列的学问，因而考题中涉及数列的应用问题屡见不鲜.驾驭等比数列的基础学问，培育建模和解模实力是解决数列应用问题的基本途径.等比数列的通项公式与前n项和公式中共涉及五个量，将两个公式结合起来，已知其中三个量可求另两个量，即已知a1，an，q，n，Sn五个量中的随意三个，就可以求出其余的两个量，这其中渗透了方程的思想.
3、其中解指数方程的难度比较大，训练时要限制难度和困难程度，要大胆地摒弃烦琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容.数列模型运用中蕴含着丰富的数学思想方法（如方程的思想、分类探讨思想、算法思想等），这些思想方法对培育学生的阅读理解实力、运算实力和逻辑思维实力等基本实力有着不行替代的作用.教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应赐予学生充分的探究空间.三维目标1.通过本节学习，使学生会用方程的思想相识等比数列前n项和公式，会用等比数列前n项和公式及有关学问解决现实生活中存在着的大量的数列求和的问题，将等比数列前n项和公式与等比数列通项公式结合起来解决有关的求解问题.2.通过启发、引导、分析、
4、类比、归纳，并通过严谨科学的解题思想和解题方法的训练，提高学生的数学素养.3.通过解决生产实际和社会生活中的实际问题了解社会、相识社会，形成科学的世界观和价值观.重点难点教学重点：等比数列前n项和公式的推导及敏捷运用，及生产实际和社会生活中有关的实际问题.教学难点：建立等比数列模型，用等比数列学问解决有关的生产实际及社会生活中的热点问题.教学过程第1课时导入新课思路1.（故事导入）国际象棋起源于古代印度，相传有位数学家带着画有64个方格的木盘，和32个雕刻成六种立体形态，分别涂黑白两色的木制小玩具，去见波斯国王并向国王介绍这种嬉戏的玩法.国王对这种新颖的嬉戏很快就产生了深厚的爱好，一天到晚兴趣
5、盎然地要那位数学家或者大臣陪他玩.兴奋之余，他便问那位数学家，作为对他忠心的奖赏，他须要得到什么赏赐呢?数学家开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，其次个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必需是前一个格子麦粒数目的2倍，直到最终一个格子第64格放满为止，这样我就非常满意了.好吧！国王挥挥手，慷慨地答应了数学家的这个谦卑的恳求.国王觉得，这个要求太低了，问他：你怎么只要这么一点东西呢?数学家笑着请求道：陛下还是叫管理国家粮仓的大臣算一算吧！其次天，管理粮仓的大臣满面愁容地向国王报告了一个数字，国王大吃一惊：我的天！我哪来这么多的麦子?
6、这个玩具也随着这个故事传遍全世界，这就是今日的国际象棋.假定千粒麦子的质量为40 g，那么，数学家要求的麦粒的总质量原委是多少呢?由此传闻向学生发问：怎样算出小麦的总质量呢?思路2.（问题导入）买24枚钉子，第一枚14分钱，其次枚12分钱，第三枚1分钱，以此类推，每一枚钉子的钱是前一枚的2倍，共要多少钱?请学生想一想，多数学生认为也许没有多少钱，结果一算吓一跳，大约要4万2千元.事实上，这是等比数列的求和问题，即S=14+12+1+2+221=?那么怎样求等比数列的前n项和呢?在学生急于揭开谜底的剧烈欲望下绽开新课的探究.提出问题（1）回忆等差数列前n项和公式的推导过程，是用什么方法推导的?（
7、2）对随意数列an，前n项和与通项an的关系是什么?（3）对首项为1的等比数列an，你能探究它的前n项和吗?（4）对随意等比数列an，怎样推导它的前n项和公式呢?你能联想到哪些推导思路?（5）对于思路1中麦粒问题，国王应发给数学家多少麦粒?对于Sn=1+2+22+2n-1的两边为什么要乘以2而不是乘以3或4呢?活动：老师引导学生回忆前面学过的等差数列前n项和问题，我们用倒序相加法推得了它的前n项和公式，并且得到了求等差数列通项公式的一个方法：an=a1，Sn-Sn-1，n=1，n≥2，还知道这个由数列Sn来确定an的方法适用于任何数列，且a1不肯定满意由Sn-Sn-1=an求出的通项表达
8、式.类比联想以上方法，怎样探究等比数列的前n项和呢?我们先来探究象棋格里填麦粒的问题，也就是求S=1+2+263=?让学生充分视察这个式子的特点，发觉每一项乘以2后都得它的后一项，点拨学生找到解决问题的关键是等式左右同乘以2，再相减得和.通过这个问题的解决，先让学生有一个感觉，就是等比数列的前n项和可化为一个比较简洁的形式，关键的问题是如何简化.再让学生探究首项为1的等比数列的前n项和，即1，q，q2，qn-1的前n项和.视察这个数列，由于各项指数不同，明显不能倒序相加减.但可发觉一个规律，就是次数是依次增加的，老师引导学生仿照等差数列写出两个求和式子，给学生以足够的时间让其视察、思索、合作沟
9、通、自主探究.经过老师的点拨，学生的充分活动，学生会发觉把两个Sn=1+q+q2+qn-1错一个位，两边再同乘以公比q，那么相同的指数就对齐了.这一发觉是突破性的才智发觉，是石破惊天的发觉.这样将Sn=1+q+q2+qn-1与qSn=q+q2+q3+qn两式相减就有（1-q）Sn=1-qn，以下只需探讨q的取值就可得到Sn了.在上面的特别简洁情形解决过程中，蕴含着一个特别而且重要的处理问题的方法，那就是错位相减，消退差别的方法.我们将这种方法简称为错位相减法.在解决等比数列的一般情形时，我们还可以运用错位相减法.假如记Sn=a1+a2+a3+an，那么qSn=a1q+a2q+a3q+anq，要
10、想得到Sn，只要将两式相减，就马上有（1-q）Sn=a1-anq.这里要提示 学生留意q的取值.假如q≠1，则有Sn=a1-anq1-q.上述过程我们略加改变一下，还可以得到如下的过程：假如记Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1，那么qSn=a1q+a1q2+a1qn-1+a1qn，要想得到Sn，只要将两式相减，就马上有（1-q）Sn=a1-a1qn.假如q≠1，则有Sn=a1(1-qn)1-q.上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的错位相减法.形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a1，q，an，Sn，n中a1，q，an，Sn四个；后者出现的是a
11、1，q，Sn，n四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n项的和供应了选择的余地.值得重视的是：上述结论都是在假如q≠1的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式.对于等比数列的一般情形，假如q=1会是什么样呢?学生很快会看出，若q=1，则原数列是常数列，它的前n项和等于它的任一项的n倍，即Sn=na1.由此我们得到等比数列an的前n项和的公式：Sn=na1，q=1，a1(1-qn)1-q，q≠1或Sn=na1，q=1，a1-anq1-q，q≠1.老师进一步启发学生依据等比数列的特征和我们所学学问，还能探究其他的方法吗?经过学生合作
12、探究，联想初中比例的性质等，我们会有以下推导方法：思路一：依据等比数列的定义，我们有a2a1=a3a2=a4a3=anan-1=q，再由合比定理，则得a2+a3+a4+ana1+a2+a3+an-1=q，即Sn-a1Sn-an=q，从而就有（1-q）Sn=a1-anq.当q=1时，Sn=na1，当q≠1时，Sn=a1-anq1-q.思路二：由Sn=a1+a2+a3+an，得Sn=a1+a1q+a2q+an-1q=a1+q（a1+a2+an-1）=a1+q（Sn-an），从而得（1-q）Sn=a1-anq.（以下从略）在思路二中，我们奇妙地利用了Sn-Sn-1=an这个关系式，老师再次向学
13、生强调这是一个特别重要的关系式，应引起足够的重视，几乎在历年的高考中都有它的影子.但要留意这里n≥2，也就是n的取值应使这个关系式有意义，若写Sn-1-Sn-2=an-1，则这里n≥3，以此类推.老师引导学生对比等差数列的前n项和公式，并结合等比数列的通项公式，从方程角度相识这个公式，以便正确敏捷地运用它.（1）在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1，an，n，q，Sn五个量，只要知道其中随意三个量，都可以通过建立方程（组）等手段求出其余两个量；（2）在应用公式求和时，应留意到公式的运用条件q≠1，当q=1时，应按常数列求和，即Sn=na1.在解含字母参数的等比数列求和
14、问题时，常应分类探讨q=1与q≠1两种状况.探讨结果：（1）倒序相加法；（2）an=Sn-Sn-1（n≥2）；（3）利用错位相减法；（4）利用an=Sn-Sn-1（n≥2）；（5）乘以2的目的是为了错位相减，共有麦粒264-1（颗），每千粒麦子按40 g计算，共约7 000亿吨.应用示例例1求下列等比数列的前8项的和：（1）12，14，18，；（2）a1=27，a9=1243，q<0.活动：本例目的是让学生熟识公式，第（1）小题是对等比数列的前n项和公式的干脆应用；第（2）小题已知a1=27，n=8，还缺少一个已知条件，由题意明显可以通过解方程求得公比q.题目中要求q&
15、lt;0，一方面是为了简化计算，另一方面是想提示学生q既可为正数，又可为负数.本题中由条件可得q8=a9a1=1243×27，再由q<0可得q=-13.将所得的值代入公式就可以了.本例可由学生自己探究解答.解：（1）因为a1=12，q=12，所以当n=8时，S8=121-(12)81-12=255256.（2）由a1=27，a9=1243，可得q8=a9a1=1243×27，又由q<0，可得q=-13，于是当n=8时，S8=27(1-1243×27)1-(-13)=1 64081.点评：通过本例要让学生熟识方程思想，再次让学生明确，等比数列的通项
16、公式与前n项和公式中共五个量：a1，an，q，n，Sn，五个量中已知随意三个就可以求出其余的两个，其中a1，q为最基本的两个量.同时提示学生留意，由于等比数列涉及到指数问题，有时解题计算会很烦琐，要留意计算化简中的技巧，敏捷运用性质.例2（教材本节例2）活动：本例是等比数列求和公式的干脆运用，引导学生结合方程思想，按算法的思路来解答.本例可由学生自己完成.点评：通过本例让学生明确，等比数列的通项公式和求和公式共涉及5个量：a1，q，an，n，Sn，已知其中3个量就可以求出另外的2个量.变式训练设an是公比为正数的等比数列，若a1=1，a5=16，则数列an前7项的和为（）A.63 B.64 C
17、.127 D.128答案：C解析：a5=a1q4，∴16=q4.又q>0，∴q=2.∴S7=a1(1-q7)1-q=127.例3（教材本节例3）活动：本例仍属等比数列求和公式的干脆应用.虽然原数列不是等比数列，不能用公式求和，但可这样转化：9=10-1，101=101-1，1019=1 000-1，这样就简单解决了.点评：让学生体会本例中的转化思想.变式训练求和：2+22+222+ .解：原式=29（10-1）+29（102-1）+29（10n-1）=29（10+102+10n-n）=2910(1-10n)1-10-n=2081（10n-1）-2
18、9n.例4求数列1，3a，5a2，7a3，（2n-1）an-1的前n项的和.活动：老师引导学生视察数列特点，其形式是an•bn型数列，且an是等差数列，bn是等比数列.依据本节等比数列求和公式的推导方法，可采纳错位相减法进行求和.教学时可让学生自己独立探究，老师适时地点拨，要留意学生规范书写.解：当a=1时，数列变为1，3，5，7，（2n-1），则Sn=n1+(2n-1)2=n2.当a≠1时，有Sn=1+3a+5a2+7a3+（2n-1）an-1，aSn=a+3a2+5a3+7a4+（2n-1）an，-，得Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+2an-1-（2n-1）an，（
19、1-a）Sn=1-（2n-1）an+2（a+a2+a3+an-1）=1-（2n-1）an+2•a(1-an-1)1-a=1-（2n-1）an+2(a-an)1-a.又1-a≠0，∴Sn=1-(2n-1)an1-a-2(a-an)(1-a)2.点评：通过本例，让学生反思解题时要擅长识别题目类型，擅长分类探讨.在应用错位相减时，写出的Sn与qSn的表达式应特殊留意将两式同项对齐，以便于下一步精确写出Sn-qSn的表达式.变式训练等差数列an中，a2=8，S6=66.（1）求数列an的通项公式；（2）设数列Cn的通项为Cn=2n，求数列anCn的前n项和An.解：（1）
20、由已知，得a1+d=8，(a1+a6)62=66，解得a1=6，d=2.∴an=2n+4.（2）由题意，知anCn=（2n+4）•2n，∴An=6•21+8•22+10•23+（2n+4）•2n.在上式中两边同乘以2，得2An=6•22+8•23+10•24+（2n+4）•2n+1.-，得-An=6•21+2•22+2•23+2•2n-（2n+4）•2n+1=4-（2n+2）•2n+1，∴An=（n+1）
21、•2n+2-4.例5已知数列an中，a1，a2，a3，an，构成一个新数列：a1，（a2-a1），（an-an-1），此数列是首项为1，公比为13的等比数列.（1）求数列an的通项；（2）求数列an的前n项和Sn.活动：老师引导学生视察新数列的各项，不难发觉这样一个事实：新数列的前n项和恰为an，这样即可将问题转化为首项为1，公比为13的等比数列的前n项和，数列an的通项公式求出后，计算其前n项和Sn就简单多了 .解：（1）an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+（an-an-1）=1+13+（13）2+（13）n-1=321-（13）n.（2）Sn=a1+a2+a3+an=32
22、（1-13）+321-（13）2+321-（13）n=32n-13+（13）2+（13）n=32n-341-（13）n=34（2n-1）+14（13）n-1.点评：本例思路新奇，方法独特，解完本例后老师引导学生反思本例解法，留意平常学习中培育思路的敏捷性.知能训练1.设等比数列an的前n项和为Sn，若S6S3=12，则S9S3等于（）A.12 B.23 C.34 D.132.在等比数列an中，（1）已知a2=18，a4=8，求a1与q；（2）已知a5-a1=15，a4-a2=6，求a3.答案：1.C解析：S6S3=12，由a1(1-q6)1-q+a1(1-q3)1-q=12，得q3=-12.&
23、there4;S9S3=1-q91-q3=34.2.解：（1）由已知得a1q=18，a1q3=8.解这个方程组，得a1=27，q=23或a1=-27，q=-23.（2）依据题意，有a1q4-a1=15，a1q3-a1q=6.方程两边分别相除，得a1q4-a1a1q3-a1q=156.整理，得2q2-5q+2=0.解这个方程，得q=2或q=12.当q=2时，a1=1；当q=12时，a1=-16.所以a3=4或a3=-4.课堂小结1.由学生总结本节学习的内容：等比数列前n项和公式的推导，特殊是在推导过程中，学到了错位相减法；在运用等比数列求和时，留意q的取值范围是很重要的一点，须要放在第一位来思索
24、.2.等比数列求和公式有两种形式，在应用中应依据题目所给的条件敏捷选用，留意从方程的角度来视察公式，并结合等比数列的通项公式共5个量，知三可求二，并留意解题中的化简技巧.作业课本习题23 B组2、3.设计感想探究是教学的生命线，本教案设计体现以学生为本的思想.为了让学生较好驾驭本课内容，本节课主要采纳视察法、归纳法等教学方法，同时采纳设计变式题的教学手段进行教学.通过详细问题的引入，使学生体会数学源于生活.本教案设计加强数学思想方法的训练.因为数列内容几乎渗透了中学数学全部的数学思想方法，而数列模型运用中更是蕴含着丰富的数学思想方法，这些思想方法对培育学生的阅读理 解实力、运算实力和逻辑思维实
25、力等有着不行替代的作用.教学中应充分让学生体会这些思想方法的运用.问题是数学的心脏，本教案设计注意了情境教学.通过生动详细的现实问题，激发学生 探究的爱好和欲望， 树立学生求真的志气和自信念，增加学生学好数学的心理体验，产生酷爱数学的情感，体验在学习中获得的胜利.（设计者：张晓君）第2课时导入新课思路1.（情境导入）一个人为了积累养老金，他每个月按时到银行存101元，银行的年利率为4%，假设可以随意分段按复利计算，试问此人在5年后共积累了多少养老金?假如存款和复利按日计算，则他又有多少养老金?假如复利和存款连续计算呢?银行复利计息的计算方法正是我们今日要探究的内容，由此绽开新课.思路2.（习题
26、导入）在等比数列an中，已知a1+a2+a3=8，a4+a5+a6=-4，则数列前15项的和S15为（）A.112 B.312 C.5 D.15本题假如运用方程的思想，求数列an的首项a1和公比q之后再求S15，是一种常规思路，但运算量较大.可将原数列按肯定规律重新组合成一个新的等比数列，S15又刚好是新数列前5项的和，新数列的首项和公比又简单求得，使得小题巧解.详细解法如下：解析：设b1=a1+a2+a3=8；b2=a4+a5+a6=-4；b5=a13+a 14+a15，则b1，b2，b3，b4，b5构成一个等比数列，其首项为8，公比为-12.故S15=S5′=b1+b2+b3+
27、b4+b5=112.选A.由此绽开本课的进一步探究.答案：A推动新课新知探究提出问题(1)回忆等比数列前n项和公式的推导过程，是用什么方法推导的?须要留意什么问题?(2)比较等差、等比数列的前n项和公式，从推导方法到应用有什么不同?怎样从方程的角度理解等比数列的求和公式?(3)利用等比数列求和的关键是什么?(4)你能对等差、等比数列求和问题作一归纳总结吗?(5)应用等比数列可解决哪些类型的实际问题?活动：老师引导学生回忆上节课所学的等比数列的求和公式，通过错位相减的思路方法很奇妙地将等式Sn=a1+a1q+a1qn-1的两边同乘以该数列的公比q，使得等式右边各项都向右错了一位；然后通过求Sn-
28、qSn把相同项消去，达到简化的目的，最终解出Sn.这种求和方法具有一般性，老师再次引导学生回顾这种求和方法的精髓，留意的问题是必需留意q是否等于1，假如不确定，就应分q=1与q≠1两种状况或更多的状况进行探讨.等比数列求和的关键与等差数列求和一样，在于数列通项公式的表达形式，由通项公式的形式特点确定相应的求和方法.为了达到求和时的简化运算，应充分利用等比数列的前n项和的性质.（1）若某数列的前n项和公式为Sn=an-1（a≠0，1），则an成等比数列.（2）若数列an是公比为q的等比数列，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也成等比数列；若项数为2n（n∈N*），则S偶S
29、奇=q.应用等比数列可解决的实际问题有：产量增减、价格升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题.解决方法是建立数列模型，应用数列学问解决问题，要让学生明白数列的实际应用始终是全国各地市高考的热点、重点，考题的形式多种多样，难度为中、高档.等比数列求和问题作为数列的重要内容之一，蕴含着丰富的数学思想方法，教学时可与等差数列对比，归纳、总结.（1）求和问题可以利用等差、等比数列的前n项和公式解决，在详细问题中，既要擅长从数列的通项入手视察数列的特点与改变规律，又要留意项数.（2）非等差（比）的特别数列求和题通常的解题思路是：设法转化为等差数列或等比数列，这一思索方法往往通过通项分解或错位相减来
30、完成.不能转化为等差（比）的特别数列，往往通过裂项相消法、错位相减法和倒序相加法求和.一般地，假如数列能转化为等差数列或等比数列就用公式法；假如数列项的次数及系数有规律，一般可用错位相减法；假如每项可写成两项之差一般可用拆项法；假如能求出通项，可用拆项分组法.（3）数列求和的关键在于数列通项公式的表达形式，依据通项公 式的形式特点，视察采纳哪种方法是这类题的解题诀窍.（4）通项公式中含有（-1）n的一类数列，在求Sn时要留意需分项数n的奇偶性探讨.探讨结果：（1）（2）（3）（5）略.（4）数列求和的常用方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法和裂项相消法，这也是高考常考的几种求和方法.例1某商
31、场今年销售计算机5 000台，假如平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台?（结果保留到个位）活动：老师引导学生探究，依据题意，从中发觉等比关系，从中抽象出等比数列模型，并明确这是一个已知Sn=30 000求n的问题.本例的解答应先依据等比数列的前n项和公式列方程，再用对数的学问解方程.解：依据题意，每年的销售量比上一年增加的一百零一分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列an，其中a1=5 000，q=1+10%=1.1，Sn=30 000.于是得到5 000(1-1.1n)1-1.1=30 000，整理，得1.1n=1.6
32、，两边取对数，得nlg1.1=lg1.6，用计算器算得n=lg1.6lg1.1≈0.20.041≈5（年）.答：大约5年可以使总销售量达到30 000台.点评：本例是一道关于等比数列模型的应用题，须要从实际问题中抽象出等比数列模型.从实际背景的角度讲，本例的设计一方面是想让学生了解计算机日益普及，其销量越来越大；另一方面，对于一个商场来讲，为实现肯定的商品销售目标而制订安排也是一件自然的事情.变式训练某市2003年共有1万辆燃油型公交车.有关部门安排于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：（1）该市在2022年应当投入多
33、少辆电力型公交车?（2）到哪一年底，电力型公交车的数量起先超过该市公交车总量的13?解：（1）该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列an，其中a1=128，q=1.5，则在2022年应当投入的电力型公交车为a7=a1•q6=128×1.56=1 458（辆）.（2）记Sn=a1+a2+an，依据题意，得Sn10 000+Sn>13.于是Sn=128(1-1.5n)1-1.5>5 000（辆），即1.5n>65732，则有n-lg65732lg1.5≈7.5，因此n≥8.所以，到2022年底，电力型公交车的数量起先超过该市公交车总量
34、的13.例2（教材本节例4）活动：这是本单元教材支配的最终一道例题.老师引导学生写出每个月的产值，建立等比数列的数学模型，通过数量分析理解任一月份的计算表达式和求总和的计算方法.例3某老师购买安居工程集资房73 m2，单价为1 000元/m2，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，余款由个人负担.房地产开发公司对老师实行分期付款，每期为1年，等额付款.签订购房合同后，1年付款1次，再过1年又付款1次等等，共付10次，10年后还清.假如按年利率7.5%，每年复利1次计算，那么每年应付多少元?（计算结果精确到一百零一元.下列数据供参考：1.0752≈1.921，1.
35、07510≈2.065，1.07511≈2.221）活动：老师引导学生理清问题中的基本数量关系，建立等比数列的模型，然后按等比数列的学问就很简单解决了.本例由老师与学生共同探究完成.解：设每年应付款x元，那么到最终1次付款时付款金额的本利和为x（1+1.075+1.0752+1.0753+1.0759）元；购房余款10年后的本利和为1 000×73-（28 800+14 400）•1.07510=28 800×1.07510元，依据10年后还清，得x（1+1.075+1.0752+1.0759）=28 800×1.07510
36、，∴x=28 800×1.07510×1.075-11.07510-1≈4 200（元），即每年应付4 200元.点评：解决本例的关键是建立等比数列模型.分期付款以及新生利息之和，应等于购房个人分担部分10年后的本息和.变式训练假如一个人得到了一条消息，他偷偷地告知了两个挚友，半小时后这两个挚友又各自偷偷地告知了自己的两个挚友.假如每个得到消息的人在半小时内把这一消息告知两个挚友，计算一下，24小时后有多少人知道了这条消息?解：按题意，半小时有1+2人，一小时有1+2+22人，设24小时后有x人知道，则x=1+2+22+23+248，2x=2+
37、22+23+24+249，两式相减得x=249-1.利用对数计算可知x≈5.61×1014.也就是说从第一个人知道消息起先，只过了一天时间，就有五一百零一六十一万亿人知道了这条消息.例4某地现有居民住房的总面积为a m2，其中须要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门确定在每年拆除肯定数量旧住房的状况下，仍以10%的住房增长率建新住房.（1）假如10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x是多少?（可取1.110≈2.6）（2）过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的一百零一分比是多少?（保留到小数点后第1位）解：（1）依
38、据题意，可知1年后住房总面积为1.1a-x；2年后住房总面积为1.1（1.1a-x）-x=1.12a-1.1x-x；3年后住房总面积为1.1（1.12a-1.1x-x）-x=1.13a-1.12x-1.1x-x；10年后住房总面积为1.110a-1.19x-1.18x-1.1x-x=1.110a-1.110-11.1-1x=2.6a-16x.由题意，得2.6a-16x=2a.解得x=380a（m2）.（2）所求一百零一分比为a2-380a×102a=116≈6.3%.答：每年应拆除的旧住房总面积为380a m2，过10年还未拆除的旧房总面积占当时住房总面积的一百零一分比
39、是6.3%.知能训练1.已知数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，求证：S7，S14-S7，S21-S14成等比数列.设k∈N*，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等比数列吗?2.家用电器一件，现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每月为一期，购买一个月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少?（1.00812=1.1）答案：1.证明：S14-S7=（a1+a2+a14）-（a1+a2+a7）=a8+a9+a14=a1q7+a2q7+a7q7=S7•q7.同理，S21-S14=q14•S7，&there4
40、;S7（S21-S14）=（S14-S7）2.可用同样的方法证明Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等比数列.2.解：设每期付款x元，则第1期付款后还欠款2 000（1+0.008）-x=2 000•1.008-x，第2期付款后还欠款2 000（1+0.008）-x•1.008-x=2 000•1.0082-1.008x-x，第12期付款后欠款应为0，所以有2 000•1.00812-（1.00811+1.00810+1）x=0，∴x=2 000•1.008121.00812-11.008-1≈175.46（元），即每
41、期付款175.46元.课堂小结1.由学生自己总结本节所探究的内容与方法：教化储蓄中的计算问题，用计算机程序计算数列的求和问题等.其中等比数列应用问题的解决是个重点，其特点是综合性强、立意新、角度宽、难度大，因而在解题中务必注意基础、凸现实力，敏捷驾驭.2.学完本节后，充分利用网络资源，多方查找资料，进一步拓展数列在实际生活中的应用问题，培育主动探究问题、解决问题的实力，提高我们的创新意识和团结协作的精神.作业1.课本习题23 A组8、9、10；习题23 B组，4选做.2.利用网络资源，探究分期付款问题.设计感想本教案注意学问过程的教学，要求学生通过自主地视察、探讨、归纳、反思来参加学习，学会发
42、觉问题并尝试解决问题，在活动中进一步提升自己的实力.本教案设计体现了本章教材设置理念.本章各节内容均由实例分析或问题提出创设问题情境，这些具有代表性和趣味性的问题将内容自然引入，再通过对问题的分析和解决，由特别过渡至一般.等比数列及其求和问题作为数列一章的最终一个内容，蕴含着极大的宝藏，是一个进行探讨性学习的好题材.有人说学情确定教法，但反过来教法也能造就学情.在教学中留意激发学生的创建热忱，培育学生的主动精神，以充分发挥本节内容的教化功能.备课资料一、关于银行利率问题的探究问题：（1）依教化储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期（3年）或6年时一次可支取本息共多少元?（2）依教化储蓄的方
43、式，每月存a元，连续存3年，到期（3年）或6年时一 次可支取本息共多少元?（3）依教化储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期（3年）时一次可支取本息比同档次的零存整取多收益多少元?（4）欲在3年后一次支取教化储蓄本息合计1万元，每月应存入多少元?（5）欲在3年后一次支取教化储蓄本息合计a万元，每月应存入多少元?（6）依教化储蓄方式，原准备每月存101元，连续存6年，可是到了4年时，学生须要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元?（7）依教化储蓄方式，原准备每月存a元，连续存6年，可是到了b年时，学生须要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元?（8）不用教化储蓄方式，而用其他的储蓄方式，
44、以每月可存101元，6年后运用为例，探讨以现行的利率标准可能的最大收益，将得到的结果与教化储蓄比较.探究活动：这是一个关系到我国每一个家庭的社会生活中的实际问题，其中大部分的计算都是用数列的学问.在解决这个问题前，我们先熟识一下这方面的有关政策及银行的业务学问.银行关于教化储蓄的管理方法（节选）管理方法第七条教化储蓄为零存整取定期储蓄存款.存期分为一年、三年和六年.最低起存金额为50元，本金合计最高限额为2万元.开户时储户应与金融机构约定每月固定存入的金额，分月存入，中途如有漏存，应在次月补齐，未补存者按零存整取定期储蓄存款的有关规定办理.第八条教化储蓄实行利率实惠.一年期、三年期教化储蓄按开
45、户日同期同档次整存整取定期储蓄存款利率计息；六年期按开户日五年期整存整取定期储蓄存款利率计息.第十一条教化储蓄逾期支取，其超过原定存期的部分，按支取日活期储蓄存款利率计付利息，并按有关规定征收储蓄存款利息所得税.第十二条教化储蓄提前支取时必需全额支取，提前支取时，储户能供应证明的，按实际存期和开户日同期同档次整存整取定期储蓄存款利率计付利息，并免征储蓄存款利息所得税；储户未能供应证明的，按实际存期和支取日活期储蓄存款利率计付利息，并按有关规定征收储蓄存款利息所得税.银行整存整取定期储蓄存款利率计算公式是：若每月固定存a元，连续存n个月，则计算利息的公式为a(1+n)n2×月利率.若设月利率为q，则这个公式事实上是数列aq，2aq，3aq，naq，的前n项和.用数学语言来说，这是个首项为aq，公差为aq的等差数列.从这个公式中我们知道，银行整存整取定期储蓄存款利率计算不是按复利（利生息利滚利）计算的.我们把这样的计算利息的方法叫做按单利（利不生息利不滚利）计算.这是我们在计算时必需弄明白的，否则，我们计算的结果