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1、2022年精品解析：湖北省武汉市七一华源中学2022-2022学年八年级上学期12月月考数学试题（解析版） 20222022 学年度上学期十二月质量检测八年级数学试题 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1. 下列黑体字中，属于轴对称图形的是（ ） A. 诚 B. 信 C. 友 D. 善 善 【答案】D 【解析】 【分析】 依据轴对称图形的概念求解留意找到对称轴可很快的推断是否是轴对称图形 【详解】解：依据轴对称图形的性质得出：只有善是轴对称图形 故选：D 【点睛】此题考查了轴对称图形 概念：假如一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，难度一
2、般 2. 下列计算正确的是（ ） A. 2 4 8a a a = B. 3 5 2( ) a a = C. 3 3 3( 5 ) 5 ab a b - =- D. 15x 2 y 5xy = 3x 【答案】D 【解析】 【分析】 依据同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则以及单项式除单项式法则对每个选项逐个推断即可 【详解】解：A、2 4 6a a a =，故 A选项错误； B、2 3 6( ) a a = ，故 B 选项错误； C、3 3 3( 5 ) 125 ab a b - =- ，故 C 选项错误； D、15x 2 y 5xy = 3x，故 D选项正确， 故选：D 【点睛】本题
3、考查了同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则以及单项式除单项式法则，娴熟驾驭相关运算法则是解决本题的关键 3. 下了计算正确的是（ ） A. 2 2( 2 )( 2 ) 4 b a b a b a - - + = - B. 2( 3)( 3) 9 b b b - + = - C. 2 2 2( ) a b a b + = + D. 2 2 2( ) 2 b a a ab b - = + - 【答案】B 【解析】 【分析】 依据乘法公式推断选项的正确性 【详解】A选项错误，2 2( 2 )( 2 ) 4 4 b a b a b a ab - - + =- - + ； B 选项正确，2(
4、3)( 3) 9 b b b - + = - ； C 选项错误，2 2 2( ) 2 a b a b ab + = + +； D选项错误，2 2 2( ) 2 b a a ab b - = - + 故选：B 【点睛】本题考查乘法公式，解题的关键是娴熟驾驭完全平方公式以及平方差公式 4. 如图，对一个正方形进行了分割，通过面积相等可以证明下列哪个式子（ ） A. 2 2( )( ) x y x y x y - = - + B. 2 2 2( ) 2 x y x xy y + = + + C. 2 2 2( ) 2 x y x xy y - = - + D. 2 2( ) ( ) 4 x y x
5、y xy + = - + 【答案】B 【解析】 【分析】 视察图形 面积，从整体看怎么表示，再从分部分来看怎么表示，两者相等，即可得答案 【详解】解：图中大正方形的边长为： xy +，其面积可以表示为：2( ) x y + 分部分来看：左下角正方形面积为2x ，右上角正方形面积为2y ， 其余两个长方形的面积均为 xy ， 各部分面积相加得：2 22 x xy y + + ， 2 2 2( ) 2 x y x xy y + = + + 故选：B 【点睛】本题考查了乘法公式的几何背景，明确几何图形面积的表达方式，娴熟驾驭相关乘法公式，是解题的关键 5. 若 x 2 - 2kx + 9 是完全平方
6、式，则 k 的值为（ ） A. 6 B. 3 C. ±3 D. ±6 【答案】C 【解析】 【分析】 依据两数的平方和加上或减去两数积的 2 倍，等于两数和或差的平方，即可求出 k 的值 【详解】解：x 2 - 2kx + 9 是完全平方式， ∴- 2k=±2×1×3=±6， ∴k=±3， 故选：C 【点睛】此题考查了完全平方式，娴熟驾驭完全平方公式的结构特点是解本题的关键 6. 到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ） A. 三条角平分线的交点 B. 三条边的垂直平分线的交
7、点 C. 三条高的交点 D. 三条中线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】 依据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上得出即可 【详解】解：OA=OB， ∴O在线段 AB 的垂直平分线上， OC=OA， ∴O在线段 AC 的垂直平分线上， OB=OC， ∴O在线段 BC 的垂直平分线上， 即 O是 ABC 的三边垂直平分线的交点， 故选：B 【点睛】本题考查了对线段垂直平分线性质的理解和运用，留意：线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 7. 下列各多项式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是（ ） A. ( ) ( ) ( )
8、 ( )3 2 22 a b b b a b a a b - - - = - - B. ( )( )22 3 5 6 x x x x + + = + + C. ( )( )2 24 9 4 9 4 9 a b a b a b - = - + D. ( )( )2 22 2 m n m n m n - + = + - + 【答案】A 【解析】 【分析】 依据因式分解的定义和方法推断选项的正确性 【详解】A选项正确， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 2 2 2 22 2 a b b b a a b b a b a b a b b a b a
9、 b b a a b - - - = - - - = - - - = - - = - - ； B 选项错误，从左往右不是因式分解； C 选项错误， ( )( )2 24 9 2 3 2 3 a b a b a b - = - + ； D选项错误，从左往右不是因式分解 故选：A 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是驾驭因式分解的定义和方法 8. 以下说法正确的是（ ） A. 三角形中 30°的对边等于最长边的一半 B. 若 a + b = 3，ab = 2，则 a - b = 1 C. 到三角形三边所在直线距离相等的点有且仅有一个 D. 等腰三角形三边垂直平分线的交点、三个内角平分线的
10、交点、顶角的顶点三点共线 【答案】D 【解析】 【分析】 对每个选项一一分析即可得到正确答案 【详解】解：A、错误，正确的说法是：含 30°的直角三角形中 30°的对边等于最长边的一半； B、错误，例如 a =1，b=2，满意 a + b = 3 ， ab = 2，但不满意 a - b = 1； C、错误，到三角形三边所在直线距离相等的点有 4 个，在三角形内部的有一个，是三个内角角平分线的交点，在三角形的外部还有三个，是三角形的外角角平分线的交点； D、正确，等腰三角形三边垂直平分线的交点、三个内角平分线的交点、顶角的顶点三点共线，都在等腰三角形的底边的垂直平分线上， 故选：
11、D 【点睛】本题考查了含 30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的角平分线的性质，娴熟驾驭相关图形的性质是解决本题的关键 9. 如图，是一个 3×4 的网格（由 12 个小正方形组成，虚线交点称之格点）图中有一个三角形，三个顶点都在格点上，在网格中可以画出（ ）个与此三角形关于某直线对称的格点三角形 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】 先确定对称轴，再找到对称点进而可以找到符合题意的对称三角形即可 【详解】解：如图，左右对称的有 4 个， 如图，上下对称的有 1个， 如图，关于正方形的对角线对称的有 2 个， ∴
12、一共有 7个与原三角形关于某直线对称的格点三角形， 故选：B 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，找到正确的对称轴，画出相应的对称三角形是解决本题的关键 10. 如图，AD为等边 ABC 的高，E、F 分别为线段 AD、AC 上的动点，且 AECF，当 BFCE取得最小值时，∠AFB A. 112.5° B. 105° C. 90° D. 82.5° 【答案】B 【解析】 【分析】 如图，作协助线，构建全等三角形，证明AECCFH，得 CEFH，将 CE 转化为 FH，与 BF 在同一个三角形中，依据两点之间线段最短，确定点 F的位置，即 F 为 AC与
13、 BH的交点时，BF+CE的值最小，求出 此时∠AFB105° 【详解】解：如图，作 CH⊥BC，且 CHBC，连接 BH交 AD于 M，连接 FH， ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴ACBC，∠DAC30°， ∴ACCH， ∠BCH90°，∠ACB60°， ∴∠ACH90°60°30°， ∴∠DAC∠ACH30°， AECF， ∴AECCFH， ∴CEFH，BF+CE
14、BF+FH， ∴当 F为 AC与 BH的交点时，如图 2，BF+CE的值最小， 此时∠FBC45°，∠FCB60°， ∴∠AFB105°， 故选 B 【点睛】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出协助线，当BF+CE取得最小值时确定点 F的位置，有难度 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 11. （c - 2）（c + 2）=_ 【答案】c 2 -4 【解析】 【分析】 依据平方差公式干脆计算即可 【详解】解：原式=c 2 -2 2 =c 2 -4， 故
15、答案为：c 2 -4 【点睛】本题考查了平方差公式，娴熟驾驭平方差公式是解决本题的关键 12. 计算（2a + 3b） 2 =_ 【答案】2 24 12 9 a ab b + + 【解析】 【分析】 利用完全平方公式进行计算 【详解】解：原式2 24 12 9 a ab b = + + 故答案是：2 24 12 9 a ab b + + 【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是驾驭完全平方公式 13. 如图，∠B=∠C=30°，AC=2，BC= 2 3 ，则 SV ABC =_ 【答案】3 【解析】 分析】 过点 A 作 AD BC 于 D ，依据 30 B C =
16、= ， 2 AC = ，可得 2 AB AC = = ， ABC 是等腰三角形，再依据 AD BC 得出3 BD=，然后利用勾股定理列方程求出 AD 的值，即可得解 【详解】解：如图，过点 A 作 AD BC 于 D ， 30 B C = = ， 2 AC = ， ∴ 2 AB AC = = ， ABC 是等腰三角形， AD BC ∴132BD DC BC = = = ， ∴( )22 2 22 3 1 AD AB BD = - = - = ∴1 12 3 1 32 2ABCS BC AD = ? 创 =V， 故答案是：3 【点睛】本题考
17、查了等腰三角形的判别和性质，勾股定理，熟识相关性质是解题的关键 14. 若 a - b = 1， ab = 2 ，则 a + b =_ 【答案】 3 【解析】 【分析】依据完全平方公式及开方运算即可求解 【详解】解： ( ) ( )2 224 1 4 2 9 a b a b ab + = - + = + = ， ∴ 9 3 a b + = = 故答案为： 3 【点睛】本题考察完全平方公式，娴熟驾驭完全平方公式是解题的关键 15. 因式分解 ( )222 8 ac bc abc - + =_ 【答案】 ( )22ac bc + 【解析】 【分析】 先利用完全平方公式把原式写成2 2
18、 2 2 24 4 a c abc b c + +，再依据完全平方公式得出结果 【详解】解：原式2 2 2 2 2 24 4 8 a c abc b c abc = - + + 2 2 2 2 24 4 a c abc b c = + + ( )22ac bc = + 故答案是： ( )22ac bc + 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是驾驭利用乘法公式进行因式分解的方法 16. 已知等边三角形的高是边长的32倍，在平面坐标系中，A 点的坐标为（1，3 ），P 点为 x 轴上一个动点，以 AP 为边构造等边APQ，且 A、P、Q 按逆时针排列，若 OQ 长度为 a ，则 a 最小时 Q
19、的坐标是_ 【答案】3 3,2 2 - 【解析】 【分析】 取点 ( )11,0 P ，作等边三角形1 1APQ ，取点 ( )22,0 P ，作等边三角形2 2APQ ，依据 ( )1 2 1 2PAP QAQ SAS 分析出，点 Q的运动轨迹是直线1 2QQ ，点 O到直线1 2QQ 的距离即为 OQ 的最小值，此时点 Q就是过点 O 作直线1 2QQ 的垂线的垂足，即可求出点 Q坐标 【详解】解：如图，取点 ( )11,0 P ，作等边三角形1 1APQ ，取点 ( )22,0 P ，作等边三角形2 2APQ ， 1 1APQ 和2 2APQ 是等边三角形， ∴1 1AP
20、AQ = ，2 2AP AQ = ，1 1 2 2PAQ P AQ = ， 1 1 2 1 2 2 2 1PAQ P AQ P AQ P AQ - = - ， ∴1 2 1 2PAP Q AQ = ， 在1 2PAP 和1 2Q AQ 中， 1 11 2 1 22 2AP AQPAP Q AQAP AQ= = =， ∴ ( )1 2 1 2PAP QAQ SAS ， ∴1 2 1 2PP QQ = ， ∴当点 P在 x 轴上运动时，点 Q就在1 2QQ 所在的直线上运动， 等边三角形1 1APQ 的边长是3 ，则高是32， &there4
21、;15 3,2 2Q ， 等边三角形2 2APQ 的边长是 2，则高是3 ， ∴ ( )23, 3 Q ， 设直线1 2QQ 的解析式为： y kx b = + ， 5 32 23 3b kk b+ =+ =，解得32 3kb= - ， ∴直线1 2QQ 的解析式为3 2 3 y x = - ， 点 O到直线1 2QQ 的距离即为 OQ 的最小值，此时点 Q在图上点 C 的位置， ( ) 0, 2 3 B - ， ( )22,0 P ， ∴2 3 OB =，22 OP = ， ∴由勾股定理，24 BP = ， ∴223OP
22、OBOCBP= =， 设 ( ) , 3 2 3 C x x- ， 列式：( ) ( )2 223 2 3 3 x x + - = ，整理得 ( )22 3 0 x- = ，解得32x = ， ∴3 3,2 2C - ，即3 3,2 2Q - 故答案是：3 3,2 2 - 【点睛】 本题考查动点问题，解题的关键是构造全等三角形找出动点的轨迹，再依据等边三角形的性质和一次函数的学问求出点坐标 三、解答题 （共 8 题，共 73 分） 17. （1）计算：( )32 4 2 62 t t t t + - （2）分解因式： x 3 -16x 【答案】（1）0；（2） ( )( ) 4
23、4 x x x - + 【解析】 【分析】 （1）依据幂的运算法则进行计算； （2）先提取公因式 x ，再利用平方差公式进行因式分解 【详解】解：（1）原式6 6 62 0 t t t = + - =； （2）原式 ( ) ( )( )216 4 4 x x x x x = - = - + 【点睛】本题考查幂的运算和因式分解，解题的关键是驾驭幂的运算法则和因式分解的方法 18. 如图，AB⊥CB，DC⊥CB， E、F 在 BC 上，AF=DE，BE=CF，求证：AB =DC 【答案】见解析 【解析】 【分析】 由 BECF 得 BFCE，由 AB⊥CB，DC&pe
24、rp;CB 得到∠ABF∠DCE90°，然后依据HL可推断Rt ABFRt DCE，则 ABDC 即可 【详解】证明：BECF， ∴BE+EFCF+EF， 即 BFCE， AB⊥CB，DC⊥CB ， ∴∠ABF∠DCE90°， 在 Rt ABF 和 Rt DCE 中， AF DEBF CE= =， ∴Rt ABFRt DCE（HL）， ∴ABDC 【点睛】本题考查了直角三角形的判定与性质：有一组直角边和斜边对应相等的两直角三角形全等；全等三角形的对应角相等，对应边相等 1
25、9. 先化简，再求值：（x - 2 y） 2 -（ x - y）（x + y）- 5 y 2 ，其中 xy = 0.5 【答案】 4xy - ， 2 - 【解析】 【分析】 干脆利用乘法公式进而化简，再把已知数据代入求出答案 【详解】解：原式2 2 2 2 24 4 ( ) 5 x xy y x y y = - + - - - 2 2 2 2 24 4 5 x xy y x y y = - + - + - 4xy = - ， 当 xy = 0.5 时， 原式 4 0.5 = - 2 = - 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，
26、A（1，5），B（1，0）、C（4，3） （1）若 A 1 B 1 C 1 和ABC 关于 y 轴对称， A 1 、B 1 、C 1 的对称点分别是 A、B、C，请画出 A 1 B 1 C 1 并干脆写出 C 1 的坐标 ； （2）请仅用无刻度直尺在图中画出ABC 中 CB 边上的高 AD 并保留作图痕迹； （3）请在 x 轴上找一点 P，使得 PA + PC 1 最短，在图中标出 P 点，并保留作图痕迹，然后干脆写出 P 的坐标 【答案】（1）图见详解，（4，3）；（2）图见详解；（3）图见详解，（178，0） 【解析】 【分析】 （1）干脆利用关于 y 轴对称点的性质得出各对应点位置，然后
27、作出图形即可； （2）依据等腰直角三角形的性质进行作图解答即可； （3）作出 C 1 关于 x 轴的对称点 C ，然后连接 A， C ，则 A C 与 x 轴的交点就是点 P，据此求解即可 【详解】解：（1）如图，A 1 B 1 C 1 即为所求， 点 C 与点 C 1 关于 y 轴对称，点 C 的坐标是（4，3） ∴ 点 C 1 的坐标是（4，3）； （2）如图， 由题图可知，1OBC 是等腰直角三角形， ∴145 O BC CBA = = ， 由此，在图上，作一个斜边是 AE 的等腰直角三角形 O AE V ， 斜边 AE 交于 BC 点 D ， 则有 45 O
28、AE DAB = = ， ∴90 BDA = ， ∴ AD 是 ABC 中 CB 边上的高； （3）如图示，作点 C 1 关于 x 轴的对称点 C ，连接 A C ，A C 与 x 轴交于点 P， 由对称性可知， PC PC = ， 则有：1 PA PC PA PC = + +，依据两点之间线段最短，即有：P点为所求， 点 C 1 与点 C 关于 x 轴对称，点 C 1 的坐标是（4，3）， ∴ 点 C 的坐标是（4，-3）， 设直线 AC 的解析式是： ykx b = +， 点 C 的坐标是（4，-3），点 A 的坐标是（1，5）， ∴
29、4 35k bk b+ = - - += ，解之得：85175kb= -= ， ∴直线 AC 解析式是：8 175 5y x = - + ， 当 0 y = 时，8 1735 5x - + = ，解之得： 178= x ， ∴点 P 的坐标是（178，0） 【点睛】本题主要考查作图 - 轴对称变换，成对称图形的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数的性质等学问点，熟识相关性质是解题的关键 21. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠BAD=120°，∠ABC=∠ADC=90°，E，F 分别是 BC， CD 上的点，且&
30、ang;EAF=60° （1）若 BE=DF，求证：AEF 为等边三角形； （2）求证：EF=BE+DF 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）依据∠ABC=∠ADC= 90 ，BE=DF，AB=AD，可证得ABEADF，再依据∠EAF= 60 ，可求得∠AEF=∠AFE= 60 ，继而可证得AEF 为等边三角形； （2）延长 CD 至 G，使得 DG=BE，连接 AG，首先证明ABEADG，可得到 AE=AG，∠BAE=∠GAD，因为∠BAE+∠EAD= 120 ，可求得∠G
31、AF= 60 =∠EAF，进而可证得EAFGAF，继而可得 EF=BE+DF 【详解】证明：（1）∠ABC=∠ADC= 90 ，BE=DF，AB=AD， ∴ABEADF， ∴AE=AF，∠AEF=∠AFE， ∠EAF= 60 ， ∴∠AEF=∠AFE=180 60602- = ， ∴AEF 为等边三角形； （2）如图，延长 CD 至 G，使得 DG=BE，连接 AG，可得到 AD⊥DF， ∴∠ABE=∠ADG= 90 ， AB=AD，D
32、G=BE， ∴ABEADG， ∴AE=AG，∠BAE=∠GAD， 又∠BAE+∠EAD= 120 ， ∴∠GAD+∠EAD= 120 ， 又∠EAF= 60 ， ∴∠GAF= 60 =∠EAF， 又AE=AG，AF=AF， ∴EAFGAF， ∴EF=GF=GD+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，综合运用全等三角形的性质和判定进行推理是解题的关键 22. 如图，某小区有块长为 ( )
33、 2a b + 米，宽为 ( ) 2a b - 米的长方形地块，角上有 4 个边长为 ( ) a b - 米的小正方形空地，开发商安排将阴影部分绿化，其中 a b （1）用含有 a 和 b 的式子表示绿化的总面积 S；（结果用最简形式表示） （2）若 a + b = 20 且33 1b a -= ，求 S 的大小； （3）若 a + b = 20 ，那么当 a = 米且 b= 米时，有 S 的最大值为： 当 S 取最大值时，若甲乙两个工程队一起实施绿化，且甲每小时可绿化 4 平方米，乙每小时可绿化 1 平方米，且乙的工作时间不低于甲的工作时间，则甲最多工作 小时 【答案】（1）25 8 S b
34、 ab = - +；（2）475；（3）18013，8013，640013，128013 【解析】 【分析】 （1）用长乘以宽表示出长方形地块面积，再减去 4 个小正方形的面积即可； （2）由33 1b a -= 得 3 0 b a - =，结合 20 a b + = 求出 a和 b 的值，再代入（1）中的结果求出 S的值； （3）由 20 a b + = 得 20 a b = - ，则213 160 S b b = - +，利用配方法求出最值，以及取最值时 a 和 b 的值，设甲工作时间为 x ，乙工作时间为 y ，用 x 表示出 y，然后列不等式求出 x 的最大值 【详解】解：（1） (
35、)( ) ( )22 2 4 S a b a b a b = + - - - ( )2 2 2 24 4 2 a b a ab b = - - - + 2 2 2 24 4 8 4 a b a ab b = - - + - 25 8 b ab =- +； （2）33 1b a -= ， ∴ 3 0 b a - = ， 解方程组3 020b aa b- = + =，解得155ab= =， 则25 5 8 15 5 475 S = - + =； （3） 20 a b + = ， ∴ 20 a b = - ， ∴ ( )2 2 25 8 5 8 20 13
36、160 S b ab b b b b b =- + =- + - =- + ， 213 160 S b b = - + 21601313b b = - - 2 22160 80 801313 13 13b b = - - + - 2 280 801313 13b = - - - 280 64001313 13b =- - + ， 当8013b = 时，18013a = ，S有最大值，最大值是640013， 设甲工作时间为 x ，乙工作时间为 y ， 列方程：6400413x y + = ，则6400413y x = - ， 乙的工作时间不低于甲的工作时间， ∴6400413x x
37、 - ，解得128013x ， ∴甲最多工作128013小时， 故答案 ：18013，8013，640013，128013 【点睛】本题考查列代数式和代数式求值，不等式的应用，配方法求最值，解题的关键是驾驭这些学问点进行计算求解 23. 已知ABC 为等边三角形 （1）如图 1，若AED 也是等边三角形，连接 BE 和 CD 且分别交 AD 和 CD 于 F 和 G，CD 交 BE 于 O，则图中必有 CD= （填某个线段）； （2）如图 2，D 为等边ABC 外一点，且∠BDC=120°，试求线段 BD、DC、AD 之间的数量关系； （3）如图 3，P 为等边A
38、BC 内一点，∠APD=120°； 求证：PA+PD+PC> BD； 若∠CPD =30°， PD=3， PC=2，干脆写出 S PBD = 【答案】（1）BE；（2） AD BD DC = + ；（3）证明见解析；3 【解析】 【分析】 （1）依据等边三角形的性质利用 SAS证明 ACD ABE D ，从而可得结论； （2）延长 BD至 E，使 DE=DC，连接 CE，再证明 ACD BCE D 即可得出结论； （3）延长 DP至 M，使得 PM=PA，连接 AM，BM，可证 .DM PD PA = + ，依据三角形三边关系得到DM BM BD + ，从
39、而可证出结论； MH AMB APC D 知 BM=PC=2，再证明 BM⊥MD，依据三角形面积公式求解即可 【详解】解：（1）ABC 和AED是等边三角形， ∴ AC AB = ， AD AE = ，∠CAB=∠EAD=60° ∴∠CAB+∠BAD=∠EAD+∠DAB，即：∠CAD=∠BAE， 在CAD和BAE 中， AC ABCAD BAEAD AE= = = ∴CADBAE ∴ CD=BE， 故答案为：BE； （2）延长 BD至 E，使 DE=DC，连
40、接 CE，如图， ∠BDC=120°， ∴∠CDE=60° DE=DC ∴DEC 是等边三角形， ∴ CD DE CE = = ，∠DCE=60° ABC 是等边三角形， ∴AC=BC，∠BCA=60° ∴∠ ACB DCE = ∴∠ ACB BCD DCE BCD + = + ∴∠ ACD BCE = ∴ ACD BCE D ∴ AD BE = BE BD DE = + &ther
41、e4; AD BD DC = + （3）延长 DP至 M，使得 PM=PA，连接 AM，BM， ∠ 120 APD = ， PM PA = ∴∠ 60 APM = ∴APM 是等边三角形， ∴ AM AP = ，∠ 60 PAM = ∴ .DM PD PA = + ABC 是等边三角形， ∴ AB AC = ，∠ 60 BAC = ， ∴∠ MAP BAC = ， ∴∠ MAB PAC = ∴ AMB APC D ∴ BM
42、 PC = 在BDM 中， DM BM BD + ， DM PD PA = + ∴ PA PD PC BD + + 由知 AMB APC D ∴BM=PC=2 ∠CPD=30°，∠APD=120° ∴∠ 150 APC AMB = = ∠AMP=60° ∴∠BMP=90°，即 BM⊥MD， ∴S PBD =1 13 2 32 2PD BM = = 故答案为：3 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质以及三角形三边不
43、等关系的应用，娴熟驾驭相关定理和性质是解答此题的关键 24. 若 A（0， a），B（b， 0 ），且 a，b 满意 a 2 2ab+b 2 4+4aa 2 （1）则 A的坐标是 ；B 的坐标是 ； （2）如图 1，点 D在线段 AO上运动（不与点 O、A 重合），以 BD为腰向下作等腰直角 BDE，∠DBE90°，连接 AE 交 OB 于 M，求 AD和 OM 的数量关系； （3）若点 C 在 y 轴上运动（O 点除外）， CBD 等腰直角三角形（C、B、D顺时针排列），CBCD，∠DCB90°，连接 AD，取 AO 中点 T，连接 TO，TC，补充图形，求
44、TO 与 TC的数量关系 【答案】（1）（0，2），（2，0）；（2）OM12AD；（3）TO TC 【解析】 【分析】 （1）先配方，然后利用非负数的性质即可解决； （2）如图 1中，作 EG⊥OB 于 G，先证明 DBO BEG，得 DOBG，BOEG，推出 ADOG，再证明 AOM EGM得 OMMG，由此可以解决问题； （3）延长 OT 至点 F，使 TFOT，连接 DF，CF，先证明 ATO DTF，由此可得 DFOAOB，∠FDT∠DAO，再证明 DCF BCO，由此可得 FCD为等腰直角三角形，再结合 T 为 OF的中点即可证得TOTC 【详解】（1）解
45、：a 2 2ab+b 2 4+4aa 2 ， ∴a 2 2ab+b 2 + a 2 4a+40， ∴（ab） 2 +（a2） 2 0， （ab） 2 ≥0，（a2） 2 ≥0， ∴ab2， ∴点 A 坐标（0，2），点 B 坐标（2，0）， 故答案为：（0，2），（2，0）； （2）解：如图 1 中，作 EG⊥OB 于 G， BDE 为等腰直角三角形，∠DBE90°， ∴BDBE，∠DBO+∠OBE90°， EG⊥BO， ∴∠OBE
46、+∠BEG90°， ∴∠DBO∠BEG， 在 DBO和 BEG中， DOB EGMOBD BEGBD BE = = =， ∴ DBO BEG（AAS）， ∴DOBG，BOEG， AOBO， ∴AOEG，ADOG， 在 AOM 和 EGM中， AOM EGMAMO EMGAO EG = = =， ∴ AOM EGM（AAS）， ∴OMMG12OG， ∴OM12AD； （3）延长 OT 至点 F，使 TFOT，连接 DF，CF， 在 ATO和 DTF 中， AT TDATO FTDTO TF= = =， ∴ ATO D