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1、 特征函数特征函数 大数大数定律定律 中心极限定理中心极限定理特征函数是处理概率论问题的有力工具，特征函数是处理概率论问题的有力工具，其作用在于：其作用在于：可将卷积运算化成乘法运算；可将卷积运算化成乘法运算；可将求各阶矩的积分运算化成微分运算；可将求各阶矩的积分运算化成微分运算；可将求随机变量序列的极限分布化成一般可将求随机变量序列的极限分布化成一般的函数极限问题；的函数极限问题；.定义定义4.1.1 设设X 是一是一随机变量，称随机变量，称 (t) = E( eitX )为为X 的特征函数的特征函数. (必定存在必定存在)注意：注意：1i 是虚数单位是虚数单位.(1) 当当X为离散随机变量
2、时，为离散随机变量时，(2) 当当X为连续随机变量时，为连续随机变量时，1( )kitxkkept( )d( )itxep xxt这是这是 p(x) 的傅里叶变的傅里叶变换换特征函数的计算中用到复变函数，为此注意：特征函数的计算中用到复变函数，为此注意：(1) 欧拉公式欧拉公式：cos( )sin( )itxetxitx(2) 复数的共轭复数的共轭：abiabi(3) 复数的模复数的模：22abiab 性质性质4.1.1 | (t)| (0)=1 性质性质4.1.2 ()( )tt 性质性质4.1.3 ( )()ibtXaXbteat 性质性质4.1.4 若若 X 与与 Y 独立，则独立，则(
3、 )( )( )X YXYttt 性质性质4.1.5 ()()(0)kkki E X 定理定理4.1.1 一致连续性一致连续性. 定理定理4.1.2 定理定理4.1.3 定理定理4.1.4 唯一性唯一性. 定理定理4.1.5 非负定性非负定性. 逆转公式逆转公式. 连续场合，连续场合，1( )d2( )itxettp x 讨论讨论 “概率是频率的稳定值概率是频率的稳定值”的确切含义；的确切含义； 给出几种大数定律：给出几种大数定律： 伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、 马尔可夫大数定律、辛钦大数定律马尔可夫大数定律、辛钦大数定律.定理定理4.2.1（伯努利大数
4、定律）（伯努利大数定律）设设 n 是是n重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A出现的次数出现的次数，每次试验中每次试验中 P(A) = p, 则对任意的则对任意的 0，有，有lim1nnPpn 大数定律一般形式大数定律一般形式： 若随机变量序列若随机变量序列Xn满足：满足：1111()lim1nniiiinXE XnnP则称则称Xn 服从大数定律服从大数定律. 定理定理4.2.2Xn两两不相关，且两两不相关，且Xn方差存在，有方差存在，有共同的上界，则共同的上界，则 Xn服从大数定律服从大数定律.证明用到切比雪夫不等式证明用到切比雪夫不等式. 定理定理4.2.3若随机变量序列若随机变量序列Xn
5、满足：满足：则则 Xn服从大数定律服从大数定律.211Var 0niiXn(马尔可夫条件马尔可夫条件) 定理定理4.2.4若随机变量序列若随机变量序列Xn独立同分布，且独立同分布，且Xn的的数学期望存在。则数学期望存在。则 Xn服从大数定律服从大数定律.(1) 伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例.(2) 切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例.(3) 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例.两种收敛性：两种收敛性： i) 依概率收敛：依概率收敛：用于大数定律；用于大数定律； ii)
6、 按分布收敛：按分布收敛：用于中心极限定理用于中心极限定理.定义定义4.3.1 (依概率收敛依概率收敛) PnYY 大数定律讨论的就是依概率收敛大数定律讨论的就是依概率收敛.lim1nnP YY若对任意的若对任意的 0，有，有则称随机变量序列则称随机变量序列Yn依概率收敛于依概率收敛于Y, 记为记为定理定理4.3.1 若若 ,PnXa PnYb 则则Xn与与Yn的加、减、乘、除的加、减、乘、除依概率收敛到依概率收敛到 a 与与 b 的加、减、乘、除的加、减、乘、除.对分布函数列对分布函数列 Fn(x)而言，点点收敛要求太高而言，点点收敛要求太高.定义定义4.3.2 若在若在 F(x) 的连续点
7、上都有的连续点上都有lim( )( )nnF xF x则称则称Fn(x) 弱收敛于弱收敛于 F(x) ，记为，记为 ( )( )WnxFF x相应记相应记 LnXX 按分布收敛按分布收敛定理定理4.3.2 PLnnXXXX 定理定理4.3.3 PLnnXaXa 定理定理4.3.4 ( ) ( ) nXXttLnXX 欲证欲证: 1 1 nniiPXanY 只须证只须证： ( )( )nYatt 讨论讨论独立随机变量独立随机变量和和极限分布极限分布, 本指出极限分布为本指出极限分布为正态分布正态分布.设设 Xn 为独立随机变量序列，记其和为为独立随机变量序列，记其和为1niinYX定理定理4.4
8、.1 林德贝格林德贝格勒维中心极限定理勒维中心极限定理设设 Xn 为独立同分布随机变量序列，数学期为独立同分布随机变量序列，数学期望为望为 , 方差为方差为 20，则当，则当 n 充分大时，有充分大时，有1lim( )niinXnnPyy应用之例应用之例: 正态随机数的产生正态随机数的产生； 误差分析误差分析例例4.4.1 每袋味精的净重为随机变量，平均重量为每袋味精的净重为随机变量，平均重量为 100克，标准差为克，标准差为10克克. 一箱内装一箱内装200袋味精，求一袋味精，求一箱味精的净重大于箱味精的净重大于20500克的概率克的概率?解解: :设箱中第设箱中第 i 袋味精的净重为袋味精
9、的净重为 Xi, 则则Xi 独立同分布，独立同分布， 且且 E(Xi)=100，Var(Xi) =100， 由中心极限定理得，所求概率为：由中心极限定理得，所求概率为：200120500200 100205001200 100iiPX 1(3.54)= 0.0002故一箱味精的净重大于故一箱味精的净重大于20500克的概率为克的概率为0.0002. (很小很小)例例4.4.2 设设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为为一次射击中命中的环数，其分布列为求求100次射击中命中环数在次射击中命中环数在900环到环到930环之间的概率环之间的概率.XP10 9 8 7 6 0.8 0.1 0.05
10、 0.02 0.03解解: 设设 Xi 为第为第 i 次射击命中的环数，则次射击命中的环数，则Xi 独立同分布，独立同分布，且且 E(Xi) =9.62，Var(Xi) =0.82，故，故1001930 100 9.62900 100 9.62900930100 0.82100 0.82iiPX ( 3.53)(6.85) = 0.99979定理定理4.4.2 棣莫弗棣莫弗拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理设设 n 为服从二项分布为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当的随机变量，则当 n 充分大时，有充分大时，有lim( )nnnpnpqPyy是是林德贝格林德贝格勒维中心极限定
11、理的特例勒维中心极限定理的特例.二项分布是二项分布是离散分布离散分布，而正态分布是，而正态分布是连续分布连续分布，所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作如下如下修正修正：1212210.50.50.50.5 nnP kkP kkknpknpnpqnpq 中心极限定理的应用有三大类：中心极限定理的应用有三大类： ii) 已知已知 n 和概率和概率，求，求y ； iii) 已知已知 y 和概率和概率，求，求 n .i) 已知已知 n 和和 y，求概率；，求概率； 例例4.4.3 100个独立工作个独立工作(工作的概率为工作的概率为0.9)的部件组的部件组成
12、一个系统，求系统中至少有成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率个部件工作的概率.解：解：用用由此得：由此得：Xi=1表示第表示第i个部件正常工作个部件正常工作, 反之记为反之记为Xi=0.又记又记Y=X1+X2+X100，则则 E(Y)=90，Var(Y)=9.185 0.5 90850.9669.P Y 例例4.4.4 有有200台独立工作台独立工作(工作的概率为工作的概率为0.7)的机床，的机床， 每台机床工作时需每台机床工作时需15kw电力电力. 问共需多少电力问共需多少电力, 才可才可 有有95%的可能性保证正常生产的可能性保证正常生产?解：解：用用设供电量为设供电量为y, 则
13、从则从Xi=1表示第表示第i台机床正常工作台机床正常工作, 反之记为反之记为Xi=0.又记又记Y=X1+X2+X200，则则 E(Y)=140，Var(Y)=42./15 0.5 140150.9542yPYy 2252.y中解得中解得例例4.4.5 用调查对象中的收看比例用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节作为某电视节 目的收视率目的收视率 p 的估计。的估计。 要有要有 90 的把握，使的把握，使k/n与与p 的差异不大于的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？，问至少要调查多少对象？解：解：用用根据题意根据题意Yn表示表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则个调查对象中收看此
14、节目的人数，则20.90/0.050.05/ (1)1nPYnpn pp0.05/ (1)1.645n pp从中解得从中解得Yn 服从服从 b(n, p) 分布，分布，k 为为Yn的实际取值。的实际取值。又由又由0.25(1)pp可解得可解得270.6nn = 271例例4.4.6 设每颗炮弹命中目标的概率为设每颗炮弹命中目标的概率为0.01， 求求500发炮弹中命中发炮弹中命中 5 发的概率发的概率.解解: 设设 X 表示命中的炮弹数表示命中的炮弹数, 则则X b(500, 0.01)55495500(1) (5)0.010.99P XC0.17635(2) 应用正态逼近应用正态逼近:P(X
15、=5) = P(4.5 X 0，有，有22211()( )d0liminnxBniniixp x xB11()lim( )niiinnXBPyy林德贝格条件林德贝格条件则则定理定理4.4.4 李雅普诺夫中心极限定理李雅普诺夫中心极限定理设设Xn 为独立随机变量序列，若为独立随机变量序列，若存在存在 0，满足：，满足：21210limninniiBE X11()lim( )niiinnXBPyy李雅普诺夫条件李雅普诺夫条件则则林德贝格条件较难验证林德贝格条件较难验证.例例4.4.7 设设 X1, X2 , . , X99相互独立相互独立, 且服从不同的且服从不同的 0-1分布分布试求试求解解: 设设 X100, X101, .相互独立相互独立, 且与且与X99同分布同分布, 则可以验证则可以验证Xn满足满足 =1的李雅普诺夫条件的李雅普诺夫条件，且，且99991149.56049.56012.57350.00516.66516.665iiiiXPXP 11,100iiiP Xp 99160iiXP99991149.5,16.665,iiiiEXVarX由此得由此得