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1、第48卷第2期2016年3月力 学 学 报Chinese Journal of Theoretical and Applied MechanicsV0148，No2Mar，2016线性结构的基于市场机制的鲁棒控制D宋建筑z)李宏男(辽宁大连辽宁工程防灾减灾协同创新中心，大连理工大学，大连116024)摘要系统建模不可避免地要忽略一些因素从而造成模型误差，因此基于不确定性的非精确模型来设计控制器显得尤为重要随着各国学者的不断研究，在线性系统日。控制方面取得了很大的发展，但仍存在求解过程繁琐、系统的保守性不强、结构复杂和控制器阶数较高等问题运用计算结构力学与最优控制相模拟的理论来试图完善存在的问题
2、导引模就是结构力学中的本征值问题，即弹性稳定的欧拉(Euler)临界力或结构振动的本征频率；通过引入区段混合能的概念，采用精细积分和扩展的威廉姆斯(W-W)算法计算导引模，将此方法引入到基于市场机制的控制(marketbased control，MBC)理论中，提出了线性结构基于市场机制的鲁棒控制策略同时给出了在鲁棒控制下，采用李雅普诺夫(Lyapunov)直接法证明了结构基于市场机制的鲁棒控制器的稳定性及参数的确定方法最后对一高层受控结构进行数值计算与分析，并与日。鲁棒算法的控制效果进行了对比结果表明，导引模不能取到临界值，否则会导致控制输入趋于无穷大基于市场机制的鲁棒控制效果要好于点k鲁棒
3、算法，并且具有较强的应变能力和在线计算时间短等优点，能较好地适用于高层和大跨结构。关键词基于市场机制的控制策略，精细积分，区段混合能，鲁棒控制，扩展威廉姆斯算法中图分类号：TU3113，TU3521 文献标识码：A doi：10605204591879-15334ROBUST MARKETBASED CONTROL METHOD FOR LINEAR STRUCTURE 1)Song Jianzhu2)Li Hongnan(Collaborative Innovation Center#r Engineering Disaster Prevention and Mitigation，Dalia
4、n University ofTechnology，Dalian 1 16024，China)Abstract It is inevitable to ignore some factors during modeling，and thus lead to some model errorsSo designing controllers based on uncertain nonprecise model is very importantWith the efforts of researchers，online system Hoo controlhas yield great ach
5、ievementHowever,it still has some problems，such as complex solving process，weak conservation，complex structures and high order controllersThe present study uses computational structural mechanics and optimalcontrol theory to try to solve these problemsInduced nolIn is an eigenvalue problem in struct
6、ural mechanics，ieelasticand stable Euler critical force or eigenvalue of structural vibrationPrecise integration with extended WittrickWilliams(W-W)algorithm is used to calculate induced norlll by introducing the concept of interval mixed energyAnd then thismethod is introduced to Market-Based Contr
7、ol theory and the MBC robust control for linear system is proposedIn therobust control，the stability and parameter identification are validated through Lyapunov direct methodFinally，a highcontrolled structure is simulated to compare the performance of the MBC robust control and the Hoo robust algori
8、thmTheresults indicate that the induced norm cannot reach critical force，and otherwise the control input will be infiniteMBCrobust control is better than Hoo robust control algorithm，and has better strain capacity and shorter online calculation2015-09-05收稿，201510-28录用，201510-29网络版发表1)国家自然科学基金重大国际合作项
9、目(51261120375)、国家重点基础研究计划(973计划)(2011CB013605)和国家自然科学基金创新研究群体项目(51121005)资助2)宋建筑，博士，主要研究方向：结构振动控制Email：215161086qqcomSong Jianzhu，Li HongnanRobust market-based control method for linear structureChinese Journal of Theoretical and AppliedMechanics，201648(2)：430436万方数据第2期 宋建筑等：线性结构的基于市场机制的鲁棒控制 431time
10、MBC robust control can be used in high or longspan structuresKey words MBC strategy，precise computation，interval mixed，robust control，extended Wittrick-WiUiams algorithm引言在日趋成熟的现代控制理论中，人们发现利用现代控制理论进行控制器设计时，需要有精确的过程模型但在实际应用中，系统建模不可避免地要忽略一些因素从而造成模型误差，如模型高阶项的忽略、外干扰的不确定性、模型参数的误差等，系统矩阵的确定往往并不是非常精确学者们对不确定
11、系统的控制器设计进行了全面研究，一种是假设过程的参数是未知的，如自校正控制器【l】和模型参考自适应控制器【2】方案；另一种途径是假设系统是不确定的，如鲁棒控制理论方法3。5】鲁棒控制理论为了弥补现代控制理论这种不足，在控制器设计过程中考虑被控对象所存在的各种不确定性因素，基于不确定性的非精确模型来设计控制器因此，研究控制器的鲁棒性能显得尤为重要从20世纪80年代初开始，控制系统的鲁棒稳定性问题受到了重视和研究，如鲁棒自适应的研究6-8】鲁棒控制理论发展的突出的标志是巩控制理论比控制方法在工程中应用很多，它以风范数作为性能指标，在可能发生最坏扰动情况下，使系统的误差达到极小，将干扰问题转化为闭环
12、系统稳定性的问题【9】谢立敏等【lo】研究了漂浮基柔性空问机器人的鲁棒控制及振动抑制经学者在理论与试验方面的不断研究，在线性系统比控制方面取得了很大的发展，如线性矩阵不等式方法【ll-”】、微分对策法114-151、t分析、拉综合等方法16-t81。但这些成果应用到实际中，却存在求解过程繁琐、系统的保守性不强、结构复杂和控制器阶数较高等问题钟万勰从一个新的角度设计爿k鲁棒控制器It9241，通过引入区段混合能的概念，采用精细积分和扩展的威廉姆斯(W-w)算法求解导引模临界值霄，并理论上证明了其解可以达到计算机精度运用计算结构力学与最优控制相模拟的理论，导引模就是结构力学中的本征值问题，即弹性稳
13、定的欧拉临界力【251巩控制需要全状态信息，并且需要计算复杂的黎卡提(Riccafi)方程，具有在线计算时间长等缺点基于市场机制的控制(marketbasedcontrol，MBC)策略模拟自由市场机制，通过模拟市场行为完成控制系统中有限能量的最优分配基于市场机制的控制策略只需离散点的状态信息，具有在线计算时间短和参数选取简便等优点本文针对多高层剪切型结构，将扩展的威廉姆斯(w-w)算法和精细积分法应用到结构基于市场机制的控制策略中，提出了线性结构基于市场机制的鲁棒控制以20层基准(Benchmark)模型进行数值模拟，将提出的线性结构基于市场机制的鲁棒控制策略和风。鲁棒控制的效果进行了比较，
14、验证了本文方法的有效性1基于市场机制的控制策略基于市场机制的控制算法将控制系统中的能量源系统和受控系统分别比作虚拟市场中的销售商和消费者，在这个虚拟市场中受控结构对控制能量的需求和能量源对控制能量的供给都与市场价格有关在每一个时间点需求函数和供给函数相交的点即为市场中控制能量在这一时刻的平衡价格，也意味着控制能量得到最合理的分配当价格确定后，每个受控结构以市场价格购买一定数量的控制能量，荠以控制力形式施加到结构上本文采用作者提出的线性供给一指数需求模型(1inear-supply&exponentialdemand model，LEM)25-301验证模拟结果，即供给函数为Qs，2叩JP (1
15、)和需求函数QDi=WiIttixd，i+Pi童d，iI，e1P (2)当市场达到均衡时通过平衡价格P可求得iE LL与需求能量的控制力(3)Ui=-K-Wi(口i工df+正0童d，f)eq7 (4)式中，Wi0表示各买方的虚拟财富值；C为需求调节系数，一般可取为1；叩，为反映能量源供给的常数；m0，展0为相应的权系数；Xd，f和童df分别表示单个买方代表的结构的层间相对位移和层间相对速度，K0为控制力增益系数，可按所要达到的控制效果进行选取万方数据432 力 学 学 报 2016年第48卷2基于市场机制的鲁棒控制器设计本节第一部分运用结构力学与最优控制相模拟的理论，根据扩展的威廉姆斯(w-w
16、)算法241，应用精细积分法计算临界参数霄，设计了鲁棒控制系统；在确定临界参数后，第二部分给出了基于市场机制的控制力中其余参数的确定方法21鲁棒控制系统系统矩阵A是被控对象运动规律的反映，在实际应用中，不可避免地有许多抽象，这些抽象都将带来误差鲁棒控制要考虑的是在给定范围内任意可能的变动A阵，并选取最不利的变动阵将这一因素考虑进去，则结构系统的动力方程和输出方程将成为之(f)=AZ(t)+(AAZ+曰。，)+B。U(f) (5)Y=CzZ+D12U (6)其中，zc力=二；竺，A=I一二。KMI一。c l，曰u= o 1，曰。：o 1，M，c和x分别为结构质量、【M-1曰。J【一，J阻尼和刚度
17、矩阵；u(f)为控制力向量；热为相应的位置矩阵；z(f)，Jc(t)和量(f)分别为结构n维位移、速度和加速度向量；W是具有给定统计特性的白噪声向量；Q和D12分别为输出矩阵和传递矩阵并且通过变换可得【7】DT2D12=In (7)鲁棒控制在数学上的精确表达可通过引入导引模矿阐述式(5)中将A项并入干扰项，考虑系统鲁棒性的要求，尽量考虑对系统性能最不利的干扰选择当B。，=0，即外干扰全部是由A项产生的，按式(10)可确定一个l临界值记，即系统不需外界激励而自己就激励起来所求的临界值当y2超过碡时，系统就不会因自激励的W而失稳，也就说此时系统可承受外界干扰，系统是稳定的对于y的度量可以用模来表示
18、，即，、tfmf-f YTy2dr+ZjSfZf2，嘲n NYN (8)t 。激励，度量为pt ，11wll=I，1w(2dr) (9)激励，应该考虑最不利的干扰，其选择的原则是使咿|为最大俨=，II，maxm!尹=谵 (10)rr u导引模取极值是一个变分问题由动力方程与输出方程仍应满足，因此是条件变分可先将方程改写为r耻厶=J(YTy2一，Twl2)dr+tZjSeZf2，max m。in Jc (1 1)W “将式(6)代入式(11)，并对其引入拉格朗日(La-grange)参数向量A，有，If五A=f，(2一AzB。，一B。+uTu2+UTDT2CzZ+zTCTz CzZ2一伊wTw2
19、)dr+z$fZf2，6=0 (12)厶A是扩展了的指标泛函，其中有4类变量对五A完成对取最大、对取最小，有，=一y2DT。A (13)A=(Bj)一1(u+DT2CzZ) (14)式(12)中厶A对A取驻值，并将上式代入可得2(0：,4Z(t)+BU(t)05)其中A=AyB。曰TwLDTu)一1 DT2Cz雪=Bu一7-2Bw曰T以DTu)一1现在系统矩阵中多了y2一项，这正是鲁棒控制的特点当y-2趋于零时，就是结构基于市场机制的控制算法外干扰全部是由A引起的，即为研究A阵偏离引起的白干扰下的稳定性当y-2增加表示A的作用越大，但不能无限制的增大，增长到临界值馏时，系统将会失稳因此，很重要
20、的是讨论霄值运用结构力学与最优控制相模拟的理论，导引模y2就是结构力学中的本征值问题，即弹性稳定的欧拉临界力或结构振动的本征频率f24J根据扩展的威廉姆斯(W-w)算法25】，应用精细积分法计算临界参数僻首先，引入区段混合能，一般形式可写为v(z。，ab)=gFz。+A：G,tbl2一zjQz。2 (16)万方数据第2期 宋建筑等：线性结构的基于市场机制的鲁棒控制 433相连的两个区段可以合并为一个区段，其合并公式为Q。=Q1+Fi(Qil+G1)一1FlG。=G2+F2(GT。+Q2)一1FlFc=F2(J+GIQ2)一1F1(17)(18)(19)文献【24】指出，对于给定的参数拣2=碣，
21、用JR(to；)表示区段(a，tb)在其两端分别为给定左端位移为零和右端力为0的条件下，区段内部本征值0 =1=l IfM M I将式(23)代入式05)可得2(0=(A一雪pw卢曰jQ)z(f) (24)取下式作为李雅普诺夫函数u(z)=ZTQZ0 (25)根据李雅普诺夫直接法321，要使控制系统保持稳定，矩阵Q应满足百do(Z)=ZT(ATQ+QA)zZT(2QB手W-卢曰T。Q)Z0 (26)对于式(26)，右边第2项是恒成立的；欲使式(26)恒成立，则必须有ZT(ATQ+QI,)z0 (27)恒成立，则矩阵(A1Q+QA)应为半负定矩阵，其特征根应在复平面虚轴左侧，即Re(亢(A1Q+
22、QA)o当亭=o时，可知(2t1Q+QA)恒为半负定矩阵，控制系统恒稳定当fo时，可取得一个较小的f值保证Re(A(A1Q+QA)0，控制系统也是稳定的这样可以先确定亭值，然后根据式(22)可求得a和卢值，再使得控制效果最优的前提下求得增益系数足综上，求解线性结构基于市场机制的控制系统中的参数如下：(1)根据21节中的方法确定临界参数，进而确定导引模y_2；(2)选取多条与场地土匹配的地震波，按设防要求对结构进行无控工况下的分析，得到多条地震动作用下无控结构相应层层间位移与层间速度的峰值平均值；(3)确定值，保证矩阵(A1Q+QI)的特征值的实部均不大于o；(4)针对各层最大层间反应下的供需进
23、行“归1化”处理，确定相应的加权系数a与卢；(5)根据控制装置的出力范围及特性来选择控制力增益系数髟则式(4)写成整体矩阵的形式为【29】3数算例及分析U(f)=一ktW卢nuTQ-Z(f)为了验证本文提出控制策略的有效性，将该策(23) 略应用到一座20层钢框架结构，结构参数如表1万方数据434 力 学 学 报 2016年第48卷中所示结构前两阶的阻尼比皆为002为了节省篇幅，地震记录只选取地震波“El Centro(NSMay18，1940)”，峰值加速度调整为4 ms2控制装置分别在结构第15层每层设置5个磁流变阻尼器，第812层各层设置4个，第15，19层每层设置3个为了衡量提出的线性
24、结构基于市场机制的鲁棒控制系统的性能，本文选取风。鲁棒控制【24和无控系统与之对比表1结构主要参数Table 1 Main parameters of the structureFloor 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10masst 980 980 980 980 980 980 980 980 980 980stiffness(MNm一1)8816 8816 8816 1 0597 1 2031 1 3198 1 4154 1 4944 1 5598 1 6142floor 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20masst 980 980 980 980 980
25、980 980 980 980 980stiffness(MNm一1)1 6595 1 6972 1 7284 1 7541 1 7749 1 7916 1 8044 1 8138 1 8199 1 8229图1和图2分别为不同参数y下结构第lO层层间位移响应和加速度响应从图中可以看出，当参数y_2接近临界值时，干扰抑制效果越差，并且所需的5 20 25 30 35times图1 1i同参数y结构第10层位移响应Fig1 Time history of relative displacement for the 10th floor underdifferent y图2不同参数y结构第lO层加
26、速度响应Fig2 Time history of absolute acceleration for the lOth floor underdifferent-y控制力会增大在实际计算时，导引模不能取到临界值，否则会导致控制输入趋于无穷大，这与文献10】中的结论一致图3为各层层间相对位移反应峰值，从图中可以看出，基于市场机制的控制策略对于结构加速度的控制效果要好于比控制其中，结构第18层的相对位移峰值基于市场机制的控制策略要好于k控制约421左右图4为各层绝对加速度峰值从图中可以看出，基于市场机制的控制策略对于结构加速度的控制效果要好于巩控制其中，结构第10层的绝对加速度峰值基于市场机制的控
27、制策略要好于风。控制约293左右经计算，基于市场机制的控制策略和风。控制在整个时程中所消耗的时间分别为912 S和1244 S，即前者比后者快267主要原因是基于市场机制的控0 0 01 ()02 0 03inter_story driftm图3各层层间相对位移反应峰值Fig3 The maximum inter-story drift of each story万方数据第2期2(宋建筑等：线性结构的基于市场机制的鲁棒控制435一 一 _-一仟ee一MB(二4 n 8absolute acceleration(ms一2、图4各层绝对加速度峰值Fig4 The maximum absolute
28、acceleration of each story制策略在计算增益矩阵时只需简单的乘法运算，而k控制需要迭代复杂的黎卡提方程综上，基于市场机制的控制策略和比控制采用了相同的方法考虑系统的不确定性，前者的控制效果要好于后者的主要原因是，基于市场机制的控制策略模拟自由市场，在这个虚拟的市场中，即使系统出现不确定性，也可以通过虚拟市场的价格反映出来，价格决定供需函数，进而确定控制力，具有很强的适应性而风。控制属于定常系统，一旦参数确定就不会变动，缺少灵活性4结论本文针对大型工程结构振动控制系统建模时存在不确定性问题，提出了线性结构基于市场机制的鲁棒控制策略运用计算结构力学与最优控制相模拟的理论，将
29、精细积分的思想和扩展的威廉姆斯算法应用到基于市场机制的控制器的设计中，这样设计的策略不需要求解复杂的黎卡提方程，并且基于市场机制的控制算法本身只需离散点的状态信息，从而大大节省了在线计算时间另外，该控制器中参数选取简便，为实际工程实现带来可能从仿真的结果可以看出，结构基于市场机制的鲁棒控制效果要好于风。控制，并且具有很强的应变能力，能较好地适用于高层和多维结构参考文 献1 Ioannou队Sun JRobust adaptive contr01International JournalofControl，1991，54(1)：2412562赵国良，姜仁锋自适应控制技术与应用北京：人民交通出版社
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