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1、第47卷第1期 中南大学学报(自然科学版) Vol.47 No.1 2016年1月 Journal of Central South University (Science and Technology) Jan. 2016 DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2016.01.008 基于非均匀光滑有限元法的功能梯度压电梁 自由振动分析 蔡斌1，周立明2(1. 吉林建筑大学 土木工程学院, 吉林 长春，130118； 2. 吉林大学 机械科学与工程学院, 吉林 长春，130022) 摘要：为了提高求解功能梯度压电材料动响应的精度，克服有限元系统刚度偏硬的缺点，提出非均
2、匀Cell-based 光滑有限元法。基于单元的梯度光滑操作，考虑材料物性沿宽度方向呈梯度连续变化，推导非均匀Cell-based光滑有限元法的基本公式，分析功能梯度压电悬臂梁的材料物性参数遵循不同梯度分布规律时结构自由振动的固有频率与振型，并与FEM求解结果进行对比。研究结果表明：光滑梯度操作可降低有限元系统的刚度，非均匀Cell-based 光滑有限元法的数值解更加接近真实解，从而可为功能梯度压电材料的进一步应用提供参考。 关键词：非均匀光滑有限元法；功能梯度压电材料；自由振动；梯度光滑技术 中图分类号：TB115 文献标志码：A 文章编号：16727207(2016)01004806 I
3、nhomogeneous smoothed finite element method for free vibration analysis of functionally gradient piezoelectric cantilevers CAI Bin1, ZHOU Liming2(1. School of Civil Engineering, Jilin Jianzhu University, Changchun 130118, China; 2. School of Mechanical Science and Engineering, Jilin University, Chan
4、gchun 130022, China) Abstract: In order to improve the solving precision of dynamic response problems of functionally gradient piezoelectric materials and soften the “over-stiffness”, an inhomogeneous Cell-based smoothed finite element method was presented. Based on gradient smoothing technique of e
5、lements and considering the change of gradient of material properties only in the breadth direction, the basic formula of inhomogeneous Cell-based smoothed finite element (ICS-FEM) was derived. Using this proposed method, free vibration characteristics of the functionally graded piezoelectric cantil
6、ever were analyzed when the material parameters followed different gradient distributions. The accuracy of the proposed method was confirmed by comparing the FEM results. The results show that the gradient smoothing technique can reduce the stiffness of the finite element system and improve the accu
7、racy of the solution for electromechanical coupling systems by using ICS-FEM, which provides reference for further application of Cell-based smoothed finite element method. Key words: inhomogeneous smoothed finite element method; functionally graded piezoelectric materials; free vibration; gradient
8、smoothing technique 收稿日期：2015 0310；修回日期：2015 0508 基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51305157)；吉林省科技厅基金资助项目(20130305006GX) (Project(51305157) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(20130305006GX) supported by Department of Science and Technology Fund of Jilin Province
9、) 通信作者：周立明，博士，讲师，从事计算固体力学研究；E-mail: 第1期 蔡斌，等：基于非均匀光滑有限元法的功能梯度压电梁自由振动分析 49 为了克服有限元系统刚度偏大的缺点，LIU等12提出了一些基于梯度光滑的有限元算法。NGUYEN- VAN等3将这种基于梯度光滑的有限元算法拓展到压电领域，随后，NGUYEN-XUAN4采用Edge-Based光滑有限元法对二维压电结构力学问题进行了研究。通过数值分析，发现光滑有限元能够提高求解精度，具有广阔的应用前景。工程中目前流行的压电元件多为多层结构，但元件中某些材料组分和物性的突然变化往往会导致器件在层间界面处存在明显的局部应力失配现象，导
10、致黏结层在高温易蠕变，在低温易开裂，大大缩短了元件的寿命。为解决这类问题，ZHU等5将功能梯度的概念引入到压电智能材料中，制备了功能梯度压电材料，其兼具了压电和梯度二者的优点。此后，一些研究者67在功能梯度压电材料这一领域开展研究。基于Euler -Bernoulli梁理论，FU8求解了功能梯度压电梁热电屈曲的精确解；CHEN等9基于Euler梁理论，获得了功能梯度压电梁的自由振动频率；ZHAO等10采用无网格法求解了不同载荷作用下功梯度压电板的静态弯曲问题；KOMIJANI等11研究了功能梯度压电材料执行器非线性热机电多场耦合响应问题；D AI等12分析了功能梯度压电材料的反平面裂纹问题；J
11、ODAEI等13采用微分求积法求解了功梯度压电板在不同边界条件下静态分析的三维弹性解。由于材料的非均匀性和多场耦合特性，使得求解功能梯度压电元材料压电方程1415的难度大大增加，从而导致研究工作大多局限于静力问题，对动力学问题的研究仍然很少。本文作者针对功能梯度压电悬臂梁，考虑材料特性沿宽度方向呈梯度连续变化，基于单元的梯度光滑操作，推导非均匀Cell -Based光滑有限元(ICS-FEM)的基本公式，采用ICS -FEM分析功能梯度压电悬臂梁自由振动固有频率与振型，并与FEM的计算结果进行对比。 1 基本方程 功能梯度压电材料问题的基本方程如下： uf=+ (1) 2/)(Tuu += (
12、2) ep= D (3) =E (4) 式中：xy z+= i+ j k；i，j和k分别为x，y和 z方向的单位向量；为应力张量；f为体力向量；为应变张量；u为位移向量；u为u对时间t的二次导数；D为电位移向量；为质量密度；pe为自由电荷密度；E为电场强度；为电势。在边界上满足如下条件： n= (,)t xt，在力边界t上 (5) u= (,)xtu，在位移边界u上 (6) Dn= (,)pxt，在电位移边界D上 (7) = (,)xt，在电势边界上 (8) 式中：(,)t xt和(,)pxt分别为表面张力和表面电荷密度；n为介质的外法向矢量；(,)xtu和(,)xt分别为给定位移和电势。功能
13、梯度压电材料的本构方程为 =CEeTE (9) D=e+gE (10) 式中：CE为弹性模量张量；e为压电常数张量；g为介电常数张量。对于横观各向同性功能梯度压电材料，xz平面为各向同性面，研究xz平面内力电耦合问题，满足 yy=zy=xy=Ey=0 (11) 则式(9)和式(10)的矩阵形式为 11 13 3131 33 3355 1500=00 0xxxzyzxzxzcc eEcc eEceee (12) 15 1131 33 3300 0=00xxxyzzxzegDEee gee + (13) 材料物性参数遵循如下梯度分布规律： M(z)=Mbfb(z) (14) 式中：M(z)为cij
14、，eij，gii和等在结构中的实际物理参数；Mb为功能梯度压电材料结构底部的物理参数；fb(z)为底部材料的体积分数分布函数，见图1。fb(z)一般有3种函数形式： fb(z)=e(z/h)(15) fb(z)=(1+z/h)(16) fb(z)=1+sin(z/(2h) (17) 式中：，和分别为指数函数、幂函数和正弦函数分布规律的形状因子；z为沿z轴坐标；h为梁宽。 中南大学学报(自然科学版) 第47卷 50 图1 功能梯度压电材料物参梯度分布图 Fig. 1 Gradient distribution of functionally graded piezoelectric materi
15、als 2 非均匀Cell-based光滑有限元法 将求解域离散成np个单元，包含Nn个节点，每个单元内的广义位移u和广义电势表示为 1npiui ui= =u Nq Nq (18) 1npiii= =N N (19) 式中：Nu和N分别为ICS -FEM位移形函数和电势形函数；q和分别为节点位移向量和节点电势向量。 图2所示为四节点单元划分为4个光滑子元的场 节点、边中间光滑节点、中心光滑节点、边高斯点、外法向向量分布情况及形函数值。 在光滑子元ki内任意点xk处，光滑应变)(kx和光滑电场强度)(kxE分别为 ( ) ( ) ( )dkkikx x xx= (20) ( ) ( ) ( )
16、dkkikx x xx= EE (21) 式中：()x和)(xE分别为FEM中的应变和电场强度；(xxk)为光滑函数， 1/ , ()0, kkiikkiAxxxx=(22) dkikiA=(23) 将式(22)代入式(20)和(21)，得 1() dkikkukixA= nu (24) 1() dkikkkixA=En (25) 式中：ki为光滑域ki的边界；kun和kn为光滑域边界的外法线向量矩阵， 00kxkkuzkkzxnnnn=n，kxkkznn=n (26) (a) 光滑子元；(b) 形函数值 图2 光滑子元及形函数值 Fig. 2 Smoothing subcells and v
17、alues of shape functions 第1期 蔡斌，等：基于非均匀光滑有限元法的功能梯度压电梁自由振动分析 51 将式(24)和式(25)改写为 1() ()enk ikuiixx= Bq (27) 1() ()enk ikiixx=EB (28) 式中：ne为光滑子元个数； 01() 0 dkkixik ku izkikkiz ixNnx NnANn Nn=B (29) 1() dkkixikk ki izNnxA Nn= B (30) Ni为相关节点i的形函数。 在高斯点Gbx处，式(29)和式(30)可改写为 1() 01() 0 ( ) () ()bGkib xnik Gk
18、 ku ib z bkbiGk Gkib z ib xNx nx Nx n lANx n Nx n=B (31) 1()1() ()bGknib xik kbk Gkbiib zNx nxlA Nx n= B (32) 式中：Gbx和kbl分别为光滑边界cb的高斯点和长度，nb为每个光滑节点域的边界总数。 ICS-FEM与FEM的本质差异为：FEM需要对单元形函数矩阵求导，则ICS-FEM只需采用光滑元边界高斯点处的形函数，不涉及形函数求导，降低了形函数的连续性要求，从而提高了计算方法的精度和收敛性。功梯度压电耦合系统的动力学模型可由Hamilton原理导出，形式如下： T000uu uuuu
19、 += KKq qFM QKK(33) 式中： euu uue=MM (34) 11223344diag ,euummmmmmmmM= (35) mi=itkiA (i=1, 2, 3, 4)为对应节点i的第i个光滑元的质量；t为光滑元厚度；i为第i个光滑子元的质心密度；diag表示该矩阵的对角线方阵。 T1cni ikuu u E u iiA=K BCB (36) TT1cni iku u uiiA=K B eB (37) T1cni ikikA =K B gB (38) TTdduuF= N t N f (39) TdqQ= N p (40) 式中：nc=npne。采用非均匀光滑单元计算单
20、元刚度矩阵，在单元s中4个光滑子元kiA (i=1, 2, 3, 4)的物理参数不相同，直接取高斯积分点处的实际物理参数进行计算，这样可以使每个单元内部也能够体现材料属性的变化。 由式( 33)可知位移和电势是耦合的。在分析特征值时，F=Q=0，先将和电势相关的自由度进行凝聚， 1T( )( )u =K K q (41) 将式( 41)代入式( 33)，有 0=Mq + Kq (42) 式中： uu=MM (43) 1T( )( )uu u u K=K K K K (44) 3 数值算例 3.1 算例1 如图3所示，一功能梯度压电悬臂梁，长度L= 20 cm，宽度h=5 cm，厚度b=1 cm
21、。假设材料成分沿厚度方向呈梯度变化，考虑3种梯度分布形式： () 底部材料为PZT-4，弹性系数、密度、压电系数和介电系数均按指数函数变化， =0.5；() 底部材料为PZT-4，弹性系数、压电系数和介电系数均按指数函数模式变化， =0.5，密度按幂函数变化， =0.5；() 底部材料为PZT-4，弹性系数、压电系数和介电系数均按指数函数变化， =0.5，密度无变化。光滑子元个数取为4，材料参数如表1所示，求解其固有频率。 图3 悬臂梁模型 Fig. 3 Geometry of cantilever beam 中南大学学报(自然科学版) 第47卷 52 表1 材料常数 Table 1 Mate
22、rial constants 材料 C11/GPa C12/GPa C13/GPa C33/GPa C44/GPa /(tm3) PZT-4 139 77.8 74.3 115.0 25.6 7.6 C-91 120 77.0 77.0 114.0 24.0 7.9 材料 e31/(Cm2) e33/(Cm2) e15/(Cm2) g11/g0g33/g0g0/(Cm2) PZT-4 5.2 15.1 12.7 1 476 1 301 8.8541012C-91 17.3 21.2 20.2 2 557 2 664 8.8541012表2所示为功能梯度压电悬臂梁在I，II和III这3种材料梯度
23、变化模式下，采用4010均匀分布单元，由ICS-FEM和FEM求解得到的前5阶固有频率。从表2可以看出：ICS-FEM计算得到的固有频低于FEM求解的固有频率，两者的相对误差最大为2.85%，从而验证了ICS-FEM的正确性。CS-FEM不需对单元形函数矩阵求导，将求解域内面积分改变为边界积分，形函数的连续性要求低。 表2 不同材料梯度分布形式下的前5阶固有频率 Table 2 First five natural frequency values of materials with different gradient distributions 梯度 分布 阶数 频率/ kHz 频率相对
24、误差/% FEM ICS-FEM I 1 0.727 754 0.723 612 0.57 2 3.708 140 3.636 498 1.93 3 4.730 504 4.728 681 0.04 4 8.540 945 8.323 661 2.54 5 13.806 006 13.412 044 2.85 II 1 0.750 753 0.746 482 0.57 2 3.824 969 3.751 185 1.93 3 4.880 892 4.878 891 0.04 4 8.813 288 8.589 243 2.54 5 14.258 938 13.847 975 2.85 III
25、1 0.828 600 0.823 892 0.57 2 4.215 179 4.134 897 1.90 3 5.394 762 5.391 924 0.05 4 9.719 003 9.473 342 2.53 5 15.669 370 15.261 089 2.60 3.2 算例2 功能梯度压电悬臂梁，长度L=40 cm，其他参数不变，底部材料为PZT-4，顶部材料为C-91，弹性系数、密度、压电系数和介电系数均按指数函数变化。材料参数如表1所示，求解其固有频率和振型。 图4所示为功能梯度压电悬臂梁采用8010均匀分布单元，由ICS-FEM和FEM求解得到的前5阶固 (a) 模式1，FE
26、M；(b) 模式1，ICS-FEM；(c) 模式2，FEM；(d) 模式2，ICS FEM；(e) 模式3，FEM；(f) 模式3，ICSFEM；(g) 模式4，FEM；(h) 模式4，ICS FEM； (i) 模式5，FEM；(j) 模式5，ICSFEM。 图4 功能梯度悬臂梁前5阶振型 Fig. 4 First five order modes of vibration of functionally gradient piezoelectric cantilevers 第1期 蔡斌，等：基于非均匀光滑有限元法的功能梯度压电梁自由振动分析 53 有振型。从图4可看出：两者振型相吻合。这进一
27、步验证了ICS-FEM的正确性和有效性。 表3所示为功能梯度压电悬臂梁采用8010均匀分布单元，由ICS-FEM和FEM求解得到的前5阶固有频率，以Ansys采用32040单元所得结果作为参考解。从表3可以看出：在同样单元条件下，ICS-FEM计算得到的固有频率低于FEM求解的固有频率，其数值解更加接近真实解，从而验证了ICS-FEM可降低有限元系统刚度，提高求解精度，有效地求解功能梯度压电结构的动响应问题。 表3 功能梯度压电悬臂梁的前5阶固有频率 Table 3 First five natural frequency of functionally gradient piezoelect
28、ric cantilevers kHz 阶数 FEM ICS-FEM 参考解 1 0.186 937 0.185 566 0.184 726 2 1.090 311 1.079 114 1.060 758 3 2.348 803 2.316 163 2.306 461 4 2.783 475 2.749 852 2.731 821 5 4.931 086 4.835 222 4.830 042 4 结论 1) ICS-FEM求解功能梯度压电结构的动响应问题是正确的、有效的。 2) ICS-FEM可降低有限元系统刚度，在相同单元条件下，其计算精度高于FEM模拟结果的精度，更接近真实值。 参考文献
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