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1、第33卷第4期2016年8月计算力学学报Chinese Journal of Computational M echanicsVol. 33 , No. 4August 2016DOI: 10. 7511/ jslx201604008 20160601孙树立一种基于单元几何变形的网格修匀方法孙树立 , 苑远, 勾志宏, 张明磊(北京大学工学院力学与工程科学系,湍流与复杂系统国家重点实验室,北京100871)摘要:基于单元几何变形操作提出一种高效的非结构网格质量修匀方法。其基本过程是先对每个单元独立地进行拉伸-收缩操作以优化单元的形状,然后在整个网格中通过对各单元的节点位置进行加权平均来获得改善
2、后的网格。为进一步提高修匀方法对网格质量的优化效果,并使得该方法具备一定的网格调整能力,结合动网格技术提出了对单元进行大范围和较大幅度移动的策略;在修匀过程中还通过适当算法调整单元形心位置和单元尺寸,进一步增强了修匀方法对网格局部进行疏密调节的能力。本文方法可适用于平面和三维非结构网格的质量改善及网格调整。若干算例表明了方法的有效性。关键词:网格修匀;网格调整;单元几何变形;拉伸-收缩操作;动网格中图分类号: O242. 21 文献标志码: A 文章编号: 1007- 4708( 2016) 04- 0478- 07收稿日期: 2016- 06- 01;修改稿收到日期: 2016- 06- 1
3、5.基金项目:国家自然科学基金( 11172004) ;北京市自然科学基金( 1102020) ; 973项目子课题( 2010CB731503)资助项目.作者简介:孙树立 ( 1968- ) ,男,副教授,博士生导师( E- mail: SUNSL mech. pku. edu. cn) .1引言在数值模拟、仿真和可视化等领域中,随着所处理问题的复杂程度越来越高,对离散网格质量的要求也越来越高,由自动生成技术得到的网格质量往往不能满足要求,还存在优化改进的空间。此外,在诸如优化设计 1, 2 、几何形状反算 3 、大变形模拟分析 4以及流固耦合等问题中常常需要进行多次网格更新、调整与重构,网
4、格质量的保持与优化直接关系到这些问题的求解精度与计算效率。目前,主流的网格质量优化方法大体上可以分为两类。一类是拓扑优化,通过边(面)交换、点分裂、点删除和局部重新连接等操作来优化网格;另一类是基于单元形状度量的几何优化,也称作修匀或光顺,一般不改变网格的拓扑结构,只是通过移动或调整节点的位置达到改善网格质量的目的。本文重点关注修匀方法。基于效率上的考虑,修匀通常采用局部算法,即每一次操作只涉及一个或少数几个节点的位置移动。最为简单有效的修匀方法是Laplacian修匀,即将每一个可移动的内部自由节点移动到周围多边形或多面体的中心。在很多学者如Lo 5和Field 6的工作中,几何优化都是通过
5、Laplacian修匀实现的。然而,该方法对网格质量改善的效果有限,且常常会产生非法单元 7 。一般地,基于最优化模型的修匀方法效果较好,如Freitag等 7, 8和Zavattieri等 9分别提出了基于最优化模型的修匀方法。但这类方法由于模型及算法较为复杂,实现起来较为困难,且随着变量数目的增加其计算量明显加大。 Sun等 10提出利用混沌搜索算法来求解修匀方法中的最优化模型,算法实现及求解效率方面有一定改进。 Chen 11和Alliez等 12等基于最优Delaunay剖分理论提出了显式的修匀算法,效率很高,但只适用于三角形和四面体网格,而且节点位置更新公式没有考虑边界的限制约束,易
6、导致非法单元出现 13 。Vartziotis等 14基于单元几何变换提出了一种三角形网格修匀方法GETM e ( Geometric Ele-ment Transformation M ethod) 。单元的几何变换通过依次向外旋转三角形的三条边来实现。每个单元需进行一次正向和反向变换。变换后,新三角形的形状可得到一定的改善,如此重复多次后,三角形单元可收敛为正三角形。该算法无需求解方程,有较高的计算效率。对于四边形单元,也可以进行类似的变换。但对于四边形以上的单元(如五边形、六边形等)则不适用。受文献 14的启发, Sun等 15提出了一种基于单元几何变形的网格修匀方法。其核心思想是,首先
7、按照一定的变形规则对每个单元独立地进行拉伸-收缩操作以得到更优的单元形状,然后对整个网格所有单元的节点进行位置的加权平均,以提高整体网格的质量。目前已将该方法应用到平面及曲面三角形、四边形、任意多边形、四面体、六面体、三棱柱和金字塔等形状的网格质量改善中。尽管有关网格质量修匀方法的研究已取得了很多重要进展,然而仍然有一些问题亟待解决。例如在优化设计、反问题、大变形模拟以及流固耦合分析等领域常常需要对计算网格进行一次或多次更新和调整,更新调整后的网格质量一般会有不同程度的下降。如在动网格或网格变形问题中,有些方法会使得网格发生较为严重的局部挤压,导致在这些挤压区域有很多质量很差的单元聚集在一起。
8、多数局部修匀方法对于此类网格的质量改善都收效甚微。此外,局部修匀方法一般都不具备网格调整能力,而一些网格调整方法在进行网格自适应疏密调节时,一般需要在已有网格中插入或删除节点,进行较为复杂的拓扑重连操作,而且很难同时兼顾到网格质量的保持。为了解决以上问题,本文结合基于单元几何变形的修匀方法与动网格技术,提出对单元进行大范围和较大幅度移动的策略,并通过调整单元形心位置和单元大小,进一步提高修匀方法对网格质量的优化效果以及对网格局部进行疏密调节的能力。2基于单元几何变形的修匀方法基于单元几何变形的修匀方法 15是一个迭代算法,每次迭代分为两个主要步骤,一个是单元的几何变形,另一个是网格的整体修匀。
9、2. 1单元几何变形操作单元几何变形操作是针对网格中每一个单元独立进行,包括对单元进行拉伸和收缩。以三角形单元p( 0)0 p( 0)1 p( 0)2 (图1的小灰色三角形)为例,在拉伸阶段,对每一个顶点p( 0)i ,取对边的单位法线ni ,并沿该方向进行延长,得到三个新的顶点p( 1 )i ,其坐标可表示为p( 1 )i = p( 0)i + ni ( i = 0, 1, 2) ( 1)式中为拉伸系数,代表了几何变形的程度,可用式( 2)计算该系数的值。 = ( 1 - q) l ( 2)式中q为单元的初始质量(如可以取为三角形单元内切圆与外接圆半径比值的2倍, 0 q 1,q = 1时为
10、正三角形, q = 0时三角形非法) , l为初始三角形的平均边长。初始质量较差的单元( q值较小)拉伸系数较大,从而获得较大幅度的变形,可更快地收敛到正三角形。图1三角形单元几何变形的拉伸操作Fig. 1 Stretching operation of a triangle拉伸操作改善了单元的质量,但扩大了单元的面积(图1的大灰色三角形) 。收缩操作以初始单元形心为基准点将扩大了的单元保形收缩到初始单元的尺寸(可使得周长或面积与初始单元相同,而且形心与初始单元形心重合) ,如图2所示。若初始三角形单元的形心为c( 0) ,拉伸后三角形的形心为c( 1 ) ,则收缩操作后新三角形(图2的黑色三
11、角形)三个顶点的坐标为p( 1)i = c( 0) + k( p( 1 )i - c( 1 ) ) ( i = 0, 1, 2) ( 3)式中k为收缩系数,取为拉伸前后单元周长或面积的比值。通过拉伸和收缩这两个操作,单个三角形单元的形状得到了优化。经过若干次变形之后,三角形单元就能很快地收敛到正三角形。三角形单元的拉伸与收缩操作可以很容易地推广到四边形单元、任意多边形单元、四面体单元以及其他形状的三维单元。2. 2网格整体修匀由于没有考虑单元之间的联系,几何变形后单元之间会出现重叠或者分离。网格整体修匀通过一定规则把单元的变化整合起来,协调好单元之间公共节点的位置。整体修匀采用加权平均方案,即
12、对网格中的每一个节点,将其所连接单元的质量改进量(单元变形后的质量与变形前质量的差)作为权重,对该点的临时坐标进行加权平均,得到修匀后节点的新坐标。单元几何变形操作和网格整体图2三角形单元几何变形的收缩操作Fig. 2 Shrinking operation of a triangle974第4期孙树立,等:一种基于单元几何变形的网格修匀方法修匀构成一次完整的修匀过程,重复这个过程,直到网格质量满足要求或收敛为止。3基于大范围和较大幅度单元移动策略的网格修匀-调整方法3. 1大范围和较大幅度的单元移动策略上述修匀方法对于多数网格的质量改善都能取得明显效果,但本质上仍属于局部性修匀方法,节点移动
13、的幅度有限,不能有效处理如图3所示的局部网格严重挤压以及劣质单元聚集的情形。其他局部修匀方法对此类网格基本上也无能为力。对于图3中网格严重挤压的局部区域,直观上一个可行的策略是,把这个扁平的区域向外拉伸,即把区域内的节点向外扩散开,通过大幅度地移动节点或单元进行网格调整,才能有效改善该区域内网格的质量。基于上述考虑,为进一步提高修匀方法的适用性与网格质量改善效果,并能够将修匀方法应用于较大幅度的网格调整,本节结合已有单元几何变形修匀方法和动网格技术,提出对单元进行大范围和较大幅度移动的策略,具体方案如下。首先,在需要特别处理的一个或多个局部区域外围,通过选取一定数量的虚拟点,构造出一个或若干虚
14、拟内边界(如图3虚线所示) ;其次,对这些虚拟内边界施加适当的位移,利用动网格技术将虚拟内边界内部及外部临近区域的网格进行变形,获得整个网格内各单元形心的位移,称为单元形心预位移,通过此预位移在较大范围内较大幅度地移动单元和节点位置,从而克服现有修匀方法只能在很小的局部范围内进行质量改善的局限性;最后,在考虑了预位移的网格单元上再利用单元几何变形修匀方法进行网格质量改善。施加预位移后,单元顶点位置的计算式( 3)变为p( 1)i = c pre + c( 0) + k( p( 1 )i - c( 1 ) )( i = 0, 1, 2) ( 4)式中c pre为单元形心的预位移。图3局部严重挤压
15、的网格Fig. 3 Locally heavily extruded mesh本文提出的单元移动策略涉及虚拟边界的选取、网格变形的实施和单元预位移的计算等。3. 2修正的背景网格映射方案动网格方法主要包括网格变形和网格(局部)重构等,常用来处理包含运动边界的非定常流动和流固耦合问题,还可以推广应用于几何外形设计 3和固体大变形分析 4等问题中的网格重构,以及复杂裂隙系统的网格生成 16等。基于效率的考虑,本文引入Liu等 17提出的Delaunay背景网格映射法来实现对单元的大范围和较大幅度移动。 Delaunay背景网格映射法是一种非迭代插值算法,适用于任意类型的网格。主要步骤包括, Del
16、aunay背景网格生成、每个内部节点在背景网格内的定位、背景网格移动和背景网格移动后内部节点新位置的计算等。在整个算法中,主要计算量集中在每个内部节点在背景网格中的定位和节点新位置计算。 Sun等 18针对这两个步骤提出高效的加速方案,加速效果明显。为满足本文单元移动策略的要求,在Delau-nay背景网格映射法的加速方案 18基础上,对背景网格的构造及移动进行了修改,如下所示。( 1)背景网格外边界点的选取。原方法在构造背景网格时只选取了流场区域边界的角点作为外边界的代表性节点,会导致背景网格非常不均匀。本文目的是处理网格调整问题,或局部区域网格挤压及劣质单元聚集的修匀问题,需要构造较为均匀
17、的背景网格,而且外边界不一定具有规则形状,因此需要在外边界上选取更多的节点参与背景网格的构造,以降低背景网格的不均匀程度。( 2)背景网格内边界点的选取。在本文所处理的网格修匀问题中,原有内边界是保持不动的,内边界上的点当然要参与背景网格构造。除此之外,为有效改善某些局部区域内网格质量,需要围绕这些局部区域构造若干虚拟内边界,最终通过给定虚拟内边界的变形或移动,达到大范围和大幅度移动单元的目的。因此,虚拟内边界上的点也需要参与背景网格构造。然而,本文并不需要像固定内边界那样精确地保持虚拟内边界的形状,只是利用其来移动虚拟内边界内部以及外围临近区域的网格单元,因此,虚拟内边界不必需是封闭的,只需
18、要选取若干虚拟控制点即可。( 3)附加内部点的插入及背景网格的生成。本文采用逐点插入技术由网格外边界、内边界上的点以及虚拟内边界上的控制点构造Delaunay背景084计算力学学报第33卷网格。背景网格的均匀程度比原方法会有所提高,但仍然不能避免狭长单元的出现。为此,在构造背景网格时,还需额外插入一些附加内部点,以进一步提高背景网格的均匀程度。( 4)背景网格的移动变形。在进行背景网格的移动或变形时,原方法一般是固定外边界点,给定内边界点的位移。本文则保持外边界点和内边界点不动,而根据网格调整的需要对虚拟内边界上的控制点施加位移。由于在构造背景网格时还插入了附加内部点,也需要赋予这些点一定的位
19、移。在本文中,这些附加点的位移是按照距离对虚拟控制点的给定位移进行加权平均获得的。通过上述修正,得到一个特殊的背景网格。之后,按照背景网格映射法的基本步骤,就可以实现大范围和较大幅度的单元及节点移动。3. 3网格修匀-调整方法的具体步骤结合基于单元几何变形的修匀方法以及基于修正背景网格映射方案的单元移动策略,本文提出的网格修匀-调整方法具体步骤如下。( 1)根据网格信息建立网格数据结构,包括网格边界信息以及单元-节点索引和节点-单元索引等。( 2)在需要特别处理的一个或多个局部区域内部和周围,选取一定数量的虚拟控制点,并根据网格质量优化预期给定适当的位移。( 3)选取网格的外边界点、内边界点和
20、虚拟控制点,采用逐点插入法构造Delaunay背景网格(在此过程中还插入若干附加内部点) 。( 4)对于网格中每个单元进行以下计算。计算单元形心,并在背景网格中定位;按照虚拟控制点和附加内部点的位移量移动背景网格,并根据单元形心在背景网格中的相对位置计算背景网格移动后的单元形心预位移c pre。( 5)对于网格中每个单元独立地进行几何变形操作,按照式( 1, 2, 4)计算变形后单元节点的临时坐标,并计算单元的质量改进量(单元变形后的质量与变形前质量的差) 。( 6)对网格中的每一个节点,将其所连接单元的质量改进量作为权重,对该点的临时坐标进行加权平均,得到修匀后节点的新坐标。( 7)针对节点
21、新坐标进行单元合法性判断,如果单元合法,则在网格信息中按新坐标更新节点的坐标,否则放弃该新坐标。( 8)回到步骤( 5) ,进入下一次循环迭代,直到网格质量满足要求或收敛为止。一般情况下,经过数次迭代,上述方法均能有效提高网格质量或达到网格调整的目的。4局部网格调整算法在进行单元几何变形操作时,若把新单元的形心在初始单元形心的基础上向某个基准点(如应力集中点)方向移动,同时减小单元的大小,那么网格修匀过程就能使基准点周围的单元自适应地进行收缩聚集,从而达到网格局部加密的效果。因此,可通过在一定局部范围内调整单元形心位置和单元尺寸的方式,较为精细地实现已有网格的局部细化或粗化调节。为实现在某基准
22、点(需要在其周围进行网格局部细化或粗化的点)的附近进行网格局部调整的目的,可按式( 5)构造附近单元的形心位移,c local = 0 if p - c( 0) r ( p - c( 0) ) / r ld if p - c( 0) r ( 5)式中p为基准点, r为基准点p的影响半径,用来确定需要向基准点移动的单元, l为单元的平均边长, d为疏密度指标,用于表征基准点p影响周围网格细化或粗化的程度,取值范围为 - 1, 1 ,取正值表示网格细化,取负值表示网格粗化。式( 5)假定基准点影响半径之内的单元,形心才向基准点进行移动,并且距离基准点越近的单元,其形心移动的距离就越小。相应地,考虑
23、了网格局部疏密调整的单元几何变形公式变为p( 1)i = c local + c( 0) + k ( p( 1 )i - c( 1 ) )( i = 0, 1, 2) ( 6)式中为单元尺寸的调节因子,取为 =1 if p - c( 0) r p - c( 0) / r d if p - c( 0) r( 7)上述网格局部细化与粗化过程只发生在单个单元的变形过程,通过网格的整体修匀,可使得细化与粗化的过渡更为平滑。基准点附近的疏密调节是网格局部疏密调节的基础。直线、弧线甚至其他复杂形状周围区域的粗化与细化都可以在此基础上进行。如将直线或者其他形状离散成有限个点,以这些点为基准点,可以生成其影响
24、半径内网格单元形心的位移场;对于形心位于多个基准点影响区域内的单元,其形心位移则由这些基准点各自引起的位移进行叠加得到。184第4期孙树立,等:一种基于单元几何变形的网格修匀方法5算例及分析为验证本文方法的有效性,给出了二维、三维网格修匀以及二维网格局部加密调整算例。算例中三角形单元的质量度量取为三角形内切圆与外接圆半径比值的2倍,四面体和三棱柱单元的质量度量采用文献 19建议的mean ratio metric。5. 1二维网格的质量修匀算例1二维网格共有4570个节点, 8925个三角形单元。图4( a)给出了机翼附近的初始网格,可以看到,在两个局部区域内网格挤压现象比较严重。分别采用单元
25、几何变形方法 15及本文方法对网格进行质量改善,修匀效果如图4( b, c)所示。可以看出,单元几何变形方法对局部单元挤压现象并没有有效缓解,而本文方法由于引入了大范围单元移动策略(在两个网格挤压区域各取了8个虚拟控制点)使得网格质量得到较大提高,局部单元挤压现象明显减弱。表1给出了初始网格以及优化后网格的质量分布统计对比。结果表明,本文方法大量减少了质量在0. 7以下的单元数量,最差单元质量和单元平均质量也有大幅提高。5. 2三维网格的质量修匀算例2四面体-三棱柱混合网格,外边界为立方体,内边界为球面,共有8619个节点, 32057个四面体单元和4940个三棱柱单元。图5( a)给出了球面
26、边界附近的初始网格。可以看到,球面边界表1算例1网格的质量分布统计Tab. 1 Distribution of mesh quality of example 1网格质量初始网格单元几何变形方法本文方法0. 0 0. 1 1 0 00. 1 0. 2 21 0 00. 2 0. 3 86 2 00. 3 0. 4 247 11 110. 4 0. 5 417 195 230. 5 0. 6 704 547 710. 6 0. 7 896 971 3900. 7 0. 8 1103 1568 17210. 8 0. 9 1588 2050 36300. 9 1. 0 3862 3581 3079
27、平均质量0. 8026 0. 8239 0. 8533最差质量0. 0996 0. 2533 0. 3062表2算例2网格质量分布统计Tab. 2 Distribution of mesh quality of example 2网格质量初始网格单元几何变形方法本文方法0. 1 0. 2 2 0 00. 2 0. 3 33 0 00. 3 0. 4 102 0 00. 4 0. 5 567 3 00. 5 0. 6 1249 172 350. 6 0. 7 2277 1662 7830. 7 0. 8 4826 5566 43830. 8 0. 9 9465 12867 157980. 9 1
28、. 0 18476 16727 15998平均质量0. 8554 0. 8677 0. 8756最差质量0. 1852 0. 4867 0. 5367图4算例1修匀前后的局部网格Fig. 4 Local mesh before/ after smoothing in example 1图5算例2修匀前后的局部网格Fig. 5 Local mesh before/ after smoothing in example 2284计算力学学报第33卷的右上侧网格由于挤压质量较差。分别采用单元几何变形方法 15及本文方法(引入5个虚拟控制点进行大范围单元移动)对网格进行质量改善,图5( b, c)给出
29、了修匀效果。可以看出,本文方法使得局部单元挤压现象明显减弱,网格质量也得到大幅提高。表2给出了初始网格以及优化后网格的质量分布统计对比。结果表明,本文方法大量减少了质量在0. 7以下的单元数量,最差单元质量提高到0. 5367。5. 3二维网格的局部加密调整算例3为某地质体剖面的二维网格,如图6所示,共有21468个三角形单元,节点数为10963。利用本文的网格调整方法在潜在的滑移线附近进行网格局部加密调整。沿滑移线共取了68个基准点,影响半径r取基准点附近单元平均尺度的5倍,疏密度指标d取0. 2。可以看出,本文的网格调整方法取得了很好的效果,同时初始网格和调整后网格的质量分布情况列入表3。
30、由表3可知,本文方法在实现网格疏密调节的同时,很好地保持了网格的质量,完全消除了质量小于0. 6的单元,只有3个单元的质量小于0. 7,最差单元质量提高到0. 6342。表3算例3网格调整前后网格质量分布统计Tab. 3 Distribution of mesh quality of example 3before/ after adjustment网格质量初始网格局部调整网格0. 4 0. 5 3 00. 5 0. 6 18 00. 6 0. 7 152 30. 7 0. 8 713 3060. 8 0. 9 3403 41650. 9 1. 0 17179 16994平均质量0. 9370
31、 0. 9278最差质量0. 4554 0. 6342图6调整后的整体网格以及调整前后的局部网格Fig. 6 Adjusted whole mesh and local mesh before/ after adjustment6结论本文针对网格局部严重挤压或劣质单元聚集的情形,结合单元几何变形修匀方法和动网格技术,提出了对单元进行大范围和较大幅度移动的策略,并通过调整单元形心位置和单元尺寸,提高了修匀方法的优化效果,增强了对网格局部进行疏密调节的能力。本文方法适用于平面和三维非结构网格的质量修匀与调整,若干测试算例表明了本文方法的有效性。本文方法非常适合并行处理,今后可发展基于CPU和GPU
32、的并行方案。另外,本文提出的策略和方法与具有较强变形能力的网格变形技术相结合,还可以进一步发展成高性能的网格变形方法,在网格变形的同时进行网格质量修匀,以获得高质量的变形网格。参考文献( References) : 1 钱令希.工程结构优化设计 M .北京:科学出版社,2011. ( QIAN Ling- xi. Structural Optimization De-sign M . Beijing: Science Press, 2011. ( in Chinese) ) 2钱令希,程耿东,隋允康,等.结构优化设计理论与方法的某些进展 J .自然科学进展国家重点实验室通讯, 1995, 5
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45、f M echanics and Engineering Science, College of Engineering, Peking University, Beijing 100871, China)Abstract: An efficient mesh smoothing approach for unstructured mesh based on element geometricaldeformation operation is proposed. Firstly, shapes of all the individual elements are optimized by a
46、 two-step stretching- shrinking operation, and then the grid quality is improved through weighted average ofthe node position of each element in the mesh. In order to further improve the smoothing effect on thequality of grid, and enable the method to have a certain ability of mesh adjustment, a str
47、ategy of widerange and large scale movement of elements is proposed combining dynamic mesh technique. In smoot-hing process appropriate algorithm for changing the position of element centroid and element size is pres-ented to further enhance the adjustment ability of local grid density. The proposed
48、 approach can beapplied to the quality improvement and adjustment for planar and three- dimensional unstructured mesh.A number of examples are presented to show the effectiveness of the method.Key words: mesh smoothing; mesh adjustment; element geometrical deformation; stretching- shrinkingoperation; dynamic mesh484计算力学学报第33卷