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1、角平分线模型模型 4 角平分线+平行线 如图，P 是MON 的平分线上一点，过点 P 作 PQON，交 OM 于点 Q。 结论：POQ 是等腰三角形。 模型证明PQONPON=OPQ又OP 是MON 的平分线POQ=PONPOQ=OPQPOQ是等腰三角形模型分析有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。 模型实例解答下列问题： （1）如图所示，在ABC 中，EFBC，点 D 在 EF 上，BD、CD 分别平分 ABC、ACB，写出线段 EF 与 BE、CF 有什么数量关系； （2）如图所示，BD 平分
2、ABC、CD 平分ACG，DEBC 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，线段 EF 与 BE、CF 有什么数量关系？并说明理由。 （3）如图所示，BD、CD 分别为外角CBM、BCN 的平分线，DEBC 交 AB 延长线于点 E，交 AC 延长线于点 F，直接写出线段 EF 与 BE、CF 有什 么数量关系？ 解析：（1）由模型可知，ED=BE,DF=CF EF=ED+DF=BE+CF （2） DEBCEDB=DBC又BD 平分ABCDBE=DBCEDB=DBEEBD为等腰三角形BE=ED同理可证：FD=CF EF=ED-FD=BE-CF EF=BE-CF （3）EF=BE+CF（由模型可轻松证明）模型练习 1如图，在ABC 中，ABC、ACB 的平分线交于点E，过点E作MNBC，交 AB 于点 M，交 AC 于点 N。若 BM+CN=9，则线段 MN 的长为 。解析：由模型可得，ME=BM,EN=CN MN=ME+EN=BM+CN=92 如图，在ABC 中，AD 平分BAC，点 E、F 分别在 BD、AD 上，且 DE=CD，EF=AC求证：EFAB。解析：3如图，梯形 ABCD 中，ADBC，点 E 在 CD 上， 且 AE 平分BAD，BE 平分ABC。 求证：AD=AB-BC。