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1、,#,第四,章,随机分析及均方微分方,程,第一,节,二阶矩过,程,第二,节,均方极,限,第三,节,均方连续,性,第四,节,均方导,数,第五,节,均方积,分,第六,节,均方黎曼,司蒂吉斯积,分,第七,节,均方导数与均方积分的分,布,第八,节,均方微分方,程,第一,节,二阶矩过,程,定义,则称为二阶矩过程,首页,例,1,其,中,和,V,是相互独立且都服从正态分布,N,（,0,，,1,）,的随机变量,，,解,由,于,和,V,都服从正态分布，所,以,也具,有,正态分布,，,且,首页,性质,二阶矩过程的协方差函数一定存在,证,由许瓦兹不等式得,故,即二阶矩过,程,的协方差函数存,在,注,首页,说明,在讨
2、论二阶矩过程中，常假定均值为零，这样相关函数的形式和协方差函数的形式,相同。,返回,首页,第二,节,均方极,限,一、均方收敛,定义,1,设随机变量序列,，,n,=,1,2,和随机,变,量,X,都存在二阶矩，,如,果,则称,均方收敛于,X,，,或称,X,是,的均方极,限,记作,或简记为,首页,二、均方收敛准则,定理,1,柯西准则,则,均方收敛的充要条件为,证,只证必要性,因,为,均方收敛于,X,，,所以有,首页,又由,所以,故,首页,注,等价,存在,其说明随机变量序,列,均方收敛的充要条件是,它,的相关函数列按普通极限意义收敛,。,三、均方收敛性质,性质,1,若,则,证,由许瓦兹不等式得,因,故
3、得证,注,当,均方收敛于,X,时,，,的期望收敛于,X,的期,望,首页,性质,2,若,则,证,由许瓦兹不等式得,因,故得证,首页,性质,3,若,则对任意常数,a,、,b,都有,证,因为,故得证,首页,性质,4,若,则,注,因,=,证,于是,即,返回,首页,第三,节,均方连续,性,均方收敛,定义,1,即,则称,在点,t,均方连续。,一、均方连续,称,在,时均方收敛于,首页,二、均方连续准则,定理,1,则,证,充分性,则,所以,首页,再证必要性,又,由均方收敛性质,2,得,定理,2,证,由定理,1,知，,首页,再由均方收敛性质,2,，得,即,首页,定理,3,则,证,由均方连续定义,从而,说明,在均
4、方连续的条件下，均值运算与极限运算的次序可以互换。但要注意，上式左边为普通函数的极限，而右边表示均方收敛意义下的极限。,首页,例,1,试讨论其均方连续性。,解,泊松过程的均值、方差函数为,则相关函数,首页,同样,因此,由于,故,注,此例说明均方连续的随机过程，其样本曲线不,一定是连续的。,返回,首页,第四,节,均方导,数,一、均方导数的定义,定义,1,如果均方极限,存在,则称,在,t,处均方可微，,并将此极限记作,即有,或,首页,二次均方可微,二阶均方导数,定义,2,广义二次可微,存在,首页,二、均方可微准则,定理,1,证,由均方收敛准则知,的充要条件是,存在,而,存在,首页,三、均方导数的性
5、质,性质,1,性质,2,首页,性质,3,性质,4,证,1,首页,其它类似可证,性质,5,首页,四,1,证,注,均方导数,而,的均值等于均值函数的导数。,为普通意义下的确定性函数，故可用分,析的方法求导。,首页,2.,证,首页,注,求偏导数得到。,3,证明,首页,即,同理可得,又因,故,首页,注,随机过程,的相关函数求两次混合偏导数。,例,1,证明,返回,首页,第五,节,均方积,分,一、均方黎曼可积,定义,1,分割,作和式,如果,则称,并称,记作,即,首页,二、均方可积准则,定理,1,即黎曼积分,存在,证,由均方收敛准则可知，,即,存在,首页,如果上式极限存在，其极限值就是黎曼积分,首页,定理,
6、2,证明,由定理,1,知，,三、均方积分的性质,性质,1,首页,性质,2,其中,性质,3,首页,性质,4,性质,5,（均方可积的唯一性,）,四、均方积分的数字特征,1,随机过,程,积分的期,望,首页,证,注,1,注,2,首页,2,均方积分的方差及协方差函数,则,证,首页,注,同样可以证明,3,均方积分的自相关函数及互相关函数,则,首页,证,只证明,其他类似可证,首页,例,1,解,在定义中可取,则,所以,首页,例,2,解,讨论维纳过,程,的均方可积性,。,且有,由于,对一切有穷的,u,存在，,首页,例,3,解,设,所以,首页,同样可得,故得,返回,首页,第六,节,均方黎曼,司蒂吉斯积,分,一、定
7、义,1,、有界变差函数,对任意一组点,作和式,变差,如果对一切可能的分组点，变差所形成的数集,有界，,有界变差函数,首页,2,、,RiemanStieltjes,积分,记,如果均方极限,存在并与分割和,的取法无关，,首页,则,均方黎曼,司蒂吉斯积分,记为,二,、,和,积分存在条,件,定理,1,首页,则,存,在,则,存在,（,1,）,（,2,）,定理,2,且有,注,反之也成立。,首页,定理,3,三、期望与二阶矩,返回,首页,第七,节,均方导数与均方积分的分,布,一、特征函数族,问题,如何利用随机过程的特征函数族，求出其均方导数及均方积分的特征函数族,定理,1,其有穷维特征函数族为,（,1,）,若
8、,的均方导数存在,，,有,首页,（,2,）,有,其中,首页,二、正态过程的均方导数、积分的性质,性质,1,即对每个,i,有,则,X,也是,k,维正态随机向量。,性质,2,首页,性质,3,则,也是正态过程,三、正态过程的均方导数、积分的特征函数,定理,2,（,1,）,特征函数为,首页,（,2,）,则,返回,首页,第八,节,均方微分方,程,一、考察随机微分方程,中,是,，,其,二阶矩过,程,是二阶矩随机变量,。,1,微分方程在均方意义下的唯一解是,2,微分方程解的均值和相关函数,首页,（,在,与,独立时,）,的均值函数,的相关函数,当,注,有,此时有,首页,解,的,微分方程,的,均值函数与相关函数
9、,完,全,由,与,的相关函数所决定,。,注,二、考察一阶线性微分方程,中,，,是二阶矩过程,，,是,其,是普通的函,数,二阶矩随机变量,。,1,方程的解,定理,1,一阶线性微分方程的解为,首页,证,显然,其次，利用求导验证即可。,首页,2,均值与相关函数,均值,相关函数,首页,随机微分方,程,例,1,其中,为平稳过程,且,试求,的均值与自相关函数,解,直接对所给方程两边取均值,首页,解之得,自相关函数,当,时，只要在上式中,交换的位置便,可求得,返回,首页,第五,章,平稳过,程,第一,节,基本概,念,第二,节,平稳过程相关函数的性,质,第三,节,平稳正态过程与正交增量过,程,第四,节,遍历性定
10、,理,第一,节,基本概,念,一、严平稳过程,定义,1,若对任意,n,，任意,则,称为严平稳过,程,首页,二、严平稳过程的特点,1,二维概率密,度,仅与时间,差,有关,，,而与时间起点无关。,证,同理有一维分布函数也与,t,无关，,即,一维,首页,对于二维概率密度，有,证,二维,其中,同理,有关，,二维分布函数也仅与时间差而与时间起点无关，即,首页,2,若严平稳过程存在二阶矩，则,证,（,2,）,相关函数仅是时间差,的函数：,记,（,1,）,均值函数为常数：,只对连续型的情况,首页,记,三、宽平稳过程,定义,2,如果它满足：,则,称,为宽平稳过程,，,简,称,平稳过,程,首页,当,T,为整数集,
11、或,注,2,注,1,严平稳过程不一定是宽平稳过程。,平稳时间序列,因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。,若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。,宽平稳过程也不一定是严平稳过程。,因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推移而改变，这当然不能保证其有穷维分布不随时间,而推移。,注,3,利用均值函数与协方差函数也可讨论随机过程,的平稳性。,首页,因为,均值函数,协方差函数,即表示协方差函数仅依赖,于,，而与,t,无关，与相,关,函数相同。,首页,例,1,试讨论随机变量序,列,的平稳性,。,且均值和方差为,解,因为,注,在科学和工程中，例,1,中的过程称为,“,白噪声,”,，,它是实际中最常
12、用的噪声模型。,首页,试讨论随机序,列,的平稳性,。,例,2,是在,0,，,1,上服从均匀分布的随机变量，,其中,T,=1,，,2,，,解,的密度函数为,所以,注,例,2,中的过程是宽平稳的，但不是严平稳的,返回,首页,性质,1,第二,节,平稳过程相关函数的性,质,一、自相关函数的性质,证,性质,2,证,由许瓦兹不等式得,注,首页,性质,3,证,性质,4,即对任意的,2,n,个实数,证,首页,对于两个平稳过程，重要的是它们是否平稳相关，因此先给出平稳相关概念。,二、互相关函数性质,定义,1,平稳相关,注,两个平稳过程当它们的互相关函数仅依赖于时，它们才是平稳相关的。,首页,证,性质,5,性质,
13、6,证,性质,7,证,首页,证,性质,8,由性质,7,得,而有两个数的几何平均值不超过它们的算术平均值得证,性质,9,则和,也是平稳过程。,其相关函数为,则,首页,则积,性质,10,也是平稳过程,其相关函数为,例,1,设有两个随机过程,其中,U,和,V,是均值都为零、方差都为,的不相,关随机变量，,试讨论它们的平稳性，并求自相关函数与互相,关函数。,首页,因为,解,所以,同样可求得,首页,返回,首页,第三,节,平稳正态过程与正交增量过,程,一、,平稳正态过程,定义,1,则,称,为平稳正态过程,。,注,平稳正态过程一定是严平稳过程。,证,由于,首页,正态过程,的,n,维特征函数为,由过程的平稳性
14、得,所以对任,一,，,有,首页,即,是一个严平稳过程,。,即特征函数不因时间推移而改变。,由特征函数与分布函数的唯一确定性，必有,这表明的一切有限维分布也不随时间推移而改变，,说明,对正态过程，宽平稳过程一定是严平稳过程；,严平稳过程也一定是宽平稳过程。,首页,则,称为正交增量过程。,二、正交增量过程,定义,2,有,定理,1,且,则,首页,证,取,其中,则有,即,所以,同样,可得,故,返回,首页,第四,节,遍历性定,理,介绍从一次试验所获得的一个样本函数来决定随机过程的均值和自相关函数，从而就可以得到该过程的全部信息，即遍历性问题。,定义,1,一、基本概念,称,为沿整个时间数轴上的时间均值；,
15、称,为沿整个时间数轴上的时间相关函数,首页,定义,2,若,则称,的,均值具有遍历性,；,则称,的,自相关函数具有遍历性,如,果,均值、相关函数都具有遍历,性,若,则,称,具有,遍历性,，,或者,说,是,遍历,的,首页,例,1,是否具有遍历性。,解,首页,故有,即此过程是遍历的。,首页,例,2,研究随机过程,的遍历性,其中,Y,为随机变量，且,解,因为,Y,为随机变量，且存在有限的二阶矩，,所以,由此知,是平稳过程，,由于,不是常数,故,即,不是遍历的,首页,注,遍历性随机过程一定是平稳过程，但平稳过程,不一定具备遍历性。,引理,二、遍历性定理,且,则,其中,首页,证,由均方可积条件得,所以,首
16、页,为应用方便，化简上式,令,则,于是,首页,定理,1,均值遍历性定理,首页,证,由引理得,从而,故,首页,注,则,可表示为,定理,2,自相关函数遍历性定理,则相关函,数,具有遍,历,性的充要条件为,首页,其中,证,注,则,首页,三、均值函数与自相关函数的估计式,1,求相关函数常用的两种方法：,2,未,知,的表达形式时，用统计试验的数,据,求相关函数的近似值,。,在实际应用中,，,的表达形式常常不能给出,，,因此下面介绍第二种方法。,如果试验只在时间,0,，,T,上给出了 的一,个样本函数，则均值和相关函数有以下近似估,计式：,首页,用上式估计,m,与,的方法，通常称为数字方法,，,或称均值与相关函数的测量,。,其具体做法如下：,1,得样本函数的,N,个值,将上面的积分表示为和式,2,3,首页,根据这两个估计式，可以算,出,各不,同,数值时相关函数的一系列近似值，从而可以作出,相关函数的近似曲线。,返回,首页,