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1、图1BADCP2013 年全国高中数学联赛河南预赛高一试题一、填空题（共10 小题，每题6 分，满分 60 分）1、已知集合M满足条件：1,2,3,5121,2,3,2013Mg ggg gg， 则符合条件的集合M共有个。2、已知, x yR，11111212xy，则xy3、已知符号函数1,0sgn( )0,01,0 xxxx，则函数( )sgn(ln)lnf xxx的零点有个。4、已知直四棱柱1111ABCDA B C D各棱长均为3，60BADo。长为 2 的线段MN的一个端点M在1DD上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN的中点的轨迹（曲面）与共一顶点的三个面围成的几何体的体积
2、为5、 连接球面上两点的线段称为球的弦。半径为5的球的两条弦AB、CD的长度分别等于6、8，M、N分别为弦AB、CD的中点，则MN的取值范围是。6、已知平面直角坐标系中：( 2,0)A、(2,0)B、(0, 2)C、( 1,0)E、(1,0)F，一束光线从F点出发射到直线BC上的D点经直线BC反射后，再经直线AC反射，两次反射后落到线段AE上（不含端点） ，则直线FD斜率的范围是。7、函数21( )2xf xx的值域是。8、已知函数( )yf x是定义在实数集R上的奇函数，且当0 x时，2( )f xx，若对任意的 ,2xt t，不等式(2 )4( )f xtf x恒成立， 则实数t的取值范围
3、是。9、 （请同学们任选一题作答，若两题都做，则按上面一题正误判分）（必修 3）若1x，2x，g g g，nx的方差是2(0)ss，a、b是常数，则1bxa，2bxa，g g g，nbxa的标准差是。（必修 4）如图所示，在直角梯形ABCD中，ABAD，1ADDC，3AB，动点P在BCDV内运动 （含边界） ，设APABADu uu ruu u ruuu r（、R） ，则的取值范围是。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 10、已知集合
4、22,Am mxyxyZ、。将A中的自然数元素从小到大排列为：1a，2a，g g g。若2013na，则正整数n。二、（本题满分20 分）如图 2 所示，圆1O为ABCV的外接圆，且ABAC，延长AC到D，使ADAB，E为CAB的平分线与BC的交点， 圆2O为CDEV的外接圆，F为两圆的另外一个交点。证明：（1）A、E、F三点共线（2）2O FAD图2O2O1FDEACB三、（本题满分20 分）已知a、bR，且221ab。考察在平面直角坐标系xoy的直线系M：210axbyb（1）若点00(,)P xy到M中的任一条直线的距离都是定值d，求点M的坐标及d的值（2）若直线系M中至多有一条直线经过
5、点( ,)Q x y，求点Q的轨迹方程。四、（本题满分20 分） （请同学们任选一题作答，若两题都做，则按上面一题正误判分）（必修 3）已知对任意的实数0 x，都有1xex（1）长度为 1 的木棍任意的折成两段，较长的一段再随机折成两段，求所得的三段小木棍能组成三角形的概率P；（2）证明：11ln(31)(1)23Pnng g g，其中P为（ 1）中所求的概率。（必修 4）已知函数22( )2 sin(cos)()f xxaxaaR（1）判断( )f x的奇偶性精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -
6、第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 图2O2O1FDEACB（2）若( )0f x仅有一个实数解，求a的值五、（本题满分20 分）已知两条直线1l：1ym和2l：4(1)1ymm，1l与函数lnyx的图像从左至右相交于点A、B，2l与函数lnyx的图像从左至右相交于点C、D。记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a、b。记A、B、C、D四点的横坐标分别为1x、 、3x、4x。（1）证明：12341x xx x；（2）求ba的最小值2013年全国高中数学联赛河南预赛高一试题答案一、填空题1、15012；2、1；3、3；4、29；5、1,7；6、(4,)7、30,3；
7、8、2,)； 9、 （必修 3）b s； （必修 4）41, 3；10、1511二、证明： （1）延长AE交圆1O与1F， 连接1CF。由AE平分BACBAEDAE，结合ABAD，故BAEDAEVV，BD，而1CF AB11CF ECF ADC，E，1F，D四点共圆因此1F也是两圆的交点，从而1F和F重合，即A，E，F共线。（2）由A，E，F共线，AE平分BACBFCF，由对称性得出BFDF，故CFBFDF，因此CFDV为等腰三角形，由于2O为其外心，故2O FCD即2O FAD三、（ 1）由点到直线的距离公式得：00002221(2)1axbybdaxb yab因d是常数，故00020 xy
8、0002xy，即(0,2)P，从而1d精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - （2）由（ 1）知，(0,2)P到直线系M中任一条直线的距离都是1，因此直线系M中每一条直线都是以P为圆心，以1为半径的圆（圆22(2)1xy）的切线由平面几何知识， 圆内的每一点都不被其切线经过，圆上的每一点只能作出一条切线，而圆外的每一点均能作出该圆的两条切线，故Q点的轨迹是圆及其内部，即22(2)1xy四、（必修3）解：设较长的一段长度为a，将a分成的两段
9、长为x，y，1()(,1)2axy，若长度为x，y，1a的三段能构成三角形，则1212112xya，画出图形计算出13P（2）11ln(31)(1)23Pnng g g111ln(31)(1)233nng g g由1xexln(1)xx1ln(11)ln 211ln(1)ln 3ln 22211ln(1)ln 4ln 33311ln(1)ln(31)ln(3 )33nnnngg g以上各式相加得：111ln(31)(1)233nng g g，即11ln(31)(1)23Pnngg g（必修 4） （1）注意到函数( )f x的定义域是R，xR，22()()2 sin(cos()( )fxxax
10、af x，故( )f x为偶函数（2）由于( )0f x仅有一个实数解，且()( )fxf x,故其有唯一解0 x(0)0f22 sin1aa0a或sin1a（i）当0a时，原方程化为20 x，仅有一个解0 x，符合题意精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - （ii）当sin1a时，原方程化为224sin1 sin(cos )4sin 10 xxg，而cos 1,1x，故sin(cos)sin1x24sin 14sin1 sin(cos)
11、xg224sin 14sin1 sin(cos)xxg，等号仅在0 x时成立，符合题意。综上，0a或sin1a五、证明：（1）由题知12lnlnxx12lnlnxx121x x，同理341x x（2）4231424211xxaxxxxx x，42bxx，则24bx xa而12xx，34xx21x，41x，故2ln1xm，44ln1xm12mxe，414mxe41124mmx xe而4441122 (1)2111mmmmmm6(1)m等号在411mm即3m时取到，故ba的最小值为6e精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -