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1、二项式定理的起源及其应用 摘要：二项式定理很多人都不生疏，在初等数学中就对二项式定理有了介绍，它是一种基本的运算。谈到二项式定理的起源，则可以追溯到五六一百零一年之前，古代的欧洲亚洲都对它做过探讨。古时候，关于二项式乘方绽开，人们就有了朴实的思索，到了近代则渐渐完善着它，如今，在众多领域都能见到二项式定理的广泛应用，如开高次方、等差数列求和等等，并且对微积分的发展起到了至关重要的一步，除了在数学领域，在遗传学、物理学也都有相关应用。本文对二项式定理的定义、起源、性质及其在高考等领域的应用进行了充分介绍，希望能对有关探讨起到帮助。 关键词：二项式定理 乘方绽开 应用 二项式定理很多人都不生疏，在
2、初等数学中就对二项式定理有了介绍，它是一种基本的运算。谈到二项式定理的起源，则可以追溯到五六一百零一年之前，古代的欧洲亚洲都对它做过探讨。在概率论的探讨中，二项式定理源远流长，在欧洲的1664年、1665年之间，被艾萨克牛顿首先提出。雅克伯努利也对它做过探讨。在1738年到1738年之间，有学者探讨了多项式，即二项式分布的多维泛化。后来科学家多数状况下运用二项式定理在详细情境下的应用，经过不断发展，亚伯拉罕棣莫弗于1733年首次发表了他的探讨成果，其后皮埃尔西蒙德拉普拉斯、弗朗西斯高尔顿等人将二项式定理应用到物理学中进行统计检验。二十世纪，在遗传学、生物学、植物生态学领域，二项式定理得到了广泛
3、的应用。 一、二项式定理的定义 在初等代数中，二项式定理描述了二项式幂的代数绽开。依据定理，能够扩大多项式n成总和涉及形式上一个ax by。 依据该定理，可以将a+b的任何幂扩展为形式的总和n=an+ an-1b+ an-2b2+ ab n-1+bn，每个n和n-k是一个特定的正整数，称为二项式系数。2=a2+2ab+b2，出现在该扩展中的二项式系数1，2，1对应于Pascal三角形的其次行。x+y的较高幂的系数对应于三角形的较低行： 二、二项式定理的起源 平方和公式对许多人来说都不生疏，古时候的中国就已经在运用这个公式 2=a2+2ab+b2了。平方和公式是公式n的特别化。说到n就必需介绍“
4、贾宪三角”。因为n的系数表为： 以上这个三角形，通常被称为“贾宪三角”。古人认为这个三角形是北宋的数学家贾宪首先发觉。此外，在阿拉伯也有一位数学家在他的著作算术之钥中给出了该三角形，他就是卡西，他同贾宪所用的方法基本一样。 而在欧洲，这个三角形一般被称为“Pascal三角形”，因为大多数欧洲人持这样一个观点：该三角形是法国科学家Pascal首创的。但事实上，从时间上看，中国和阿拉伯发觉这个三角形要早于欧洲。 到了1665年，牛顿对二项式定理进行了推广，除了n为正数以外，n为负数和分数的情境下同样适用，牛顿对推广到了n为分数与负数的情形作了说明，写出了二项式定理的绽开式n=an+an-1b+an
5、-2b2+ abn-1+bn 但牛顿仅仅给出公式，并没有相应的证明，始终到了1811年，才有大数学家高斯的证明，验证了牛顿的猜想。 三、二项式定理在高考中的考查方向 二项式定理作为中学数学课中重要的内容，始终是高考考查的重点难点，在历年高考中都常常出现，有涉及到二项式定理的题型，题目改变多样，不但有选择填空，也有难度较大的证明题。对中学生在实力上的要求，二项式定理并不太高，主要考查方向在于运用二项式定理来分析、解决问题，其他很少做要求。 中学生只须要能够驾驭其基本性质，此外，也要具备娴熟运用的实力，驾驭这两项就能够解决相应问题，如求二项绽开式、二项式系数等多种问题。 二项式定理性质 娴熟驾驭二
6、项式定理的性质才能顺当解题。 1.二项式系数的对称性：若两个二项式系数位于绽开式两端，且满意“对距离”条件，则它们恒保持相等。 2.二项式系数的奇数项和与其偶数项和保持相等。 3.二项式系数的最大项的唯一性。 4.系数的最大项求法，依据最大项的唯一性可很简单得出求法，在这里不再具体赘述。 二项式定理的应用 在历年高考，二项式定理作为中学数学课中重要的内容，始终是高考考查的重点难点，在历年高考中都常常出现，有涉及到二项式定理的题型，题目改变多样，不但有选择填空，也有难度较大的证明题。对中学生在实力上的要求，二项式定理并不太高，主要考查方向在于运用二项式定理来分析、解决问题，其他很少做要求。 中学
7、生只须要能够驾驭其基本性质，此外，也要具备娴熟运用的实力，驾驭这两项就能够解决相应问题，如求二项绽开式、二项式系数等多种问题。 1.求二项绽开式 求二项绽开式为有关二項式的全部考题中最常见也是最简洁的题型，不涉及任何解题技巧，只要熟背公式，运用二项绽开式的通项绽开即可。须要留意假如式子比较困难，可以先化简再用进行绽开，这样可以降低难度。 2.求二项式系数 求二项式系数较求二项绽开式的难度有所增长，但相对来说也比较基础。此处须要利用二项式绽开式的通项公式，并结合二项式系数的性质，可能还需进行二项绽开式的恒等 变换，在历年高考出现的可能性更大，该类题型所占比例也相对较高，针对不同的题型，万变不离其
8、宗，要牢记通项公式并娴熟运用二项式系数的性质，两者相结合求出答案。 3.求二项式有理项 利用二项式定理求二项式有理项问题，在高考中特别常见，只要学生能够娴熟驾驭并敏捷运用通项公式，往往问题不大。须要学生能够熟记通项公式，通过抓住给定条件，找出题目特征，结合通项公式逐个击破。 4.求近似值 利用二项式定理求近似值的问题对计算实力有较高要求，因此不常出现，不作为考查的重点。但也应当知道有这一种题型。 5.求整除或余数问题 有关整除或余数问题也属于高考中一类重难点题型，对于这类题型，有其固定的方法，在解题时肯定要留意细致仔细，避开犯低级错误。 6.证明不等式 证明题始终是许多学生的“老大难”问题。很
9、多学生畏惧证明题，看到证明题就不情愿动手，其实证明题也是有其技巧的，只要记住每种题型的步骤，就很简洁。在中学证明题的主要方法有以下几种，放缩法、分析法、换元法、数学归纳法等，因为证明题本身很难，因此初等数学中考查难度较小，只要多做题，娴熟基本套路即可。 四、二项式定理在其他领域的应用 除了历年高考将二项式定理作为考查的一个重难点，它在其他领域也有着广泛的应用。 二项式定理在概率论中的应用 在概率论和统计学中，二项式法模拟了在几个相同随机试验的独立重复期间获得的胜利数。表示这一系列试验的最直观方式是运用概率树：在每一代树中，从每个节点起先引出两个分支，一个用于胜利，一个用于失败。 在数学上，这个
10、离散概率定律由两个参数描述：n试验的数量，和p胜利的概率，名为伯努利测试。对于每个名为伯努利测试的试验，我们须要定义一个随机变量，该随机变量只有两种取值，0和1，随机试验胜利取1，反之则取值0。随机变量，即全部这些随机变量的总和，计算胜利的数量，为是二项式定律。那么我们则可以很简单得出在重复的n次试验中，获得k胜利的概率： 二项式定理可以用于简洁情境下模拟胜利或失败的概率，例如硬币嬉戏。 高阶等差数列 高阶等差数列在初等数学中常见的题型中为求通项和前n项和，而在高等数学中则有更深层次的问题，即求解差分方程，解决问题的方法有许多，如逐差法、待定系数法、裂项相消法、化归法等，用二项式定理也可简便求
11、解。 在组合数学中的应用模型 证明组合数恒等式，通常采纳赋值法进行构造，再通过探讨甬数关系变更问题获得解决。 二项式定理在遗传学中的应用 遗传学是生物相关专业的重要基础课，难度比较大，不少遗传学问题的解决往往须要利用肯定的数学学问，其中有关二项式定理在遗传学中有着较为广泛的应用。 1.婴儿性别与抛硬币问题 诞生婴儿性别问题是遗传学中常见的问题，该类问题有一下特质，一方面，每一次婴儿诞生时既可能是男孩也可能是女孩，其概率均为50%，另一方面，具體某次诞生婴儿的性别不受其他时间诞生婴儿性别的影响，即在概率论的角度上讲，连续诞生婴儿性别问题是相互独立的事务，相当于进行了n次独立重复试验;此外，婴儿性
12、别只存在两种可能，要么是男孩，要么是女孩。综上所述，在该问题上，可以运用二项式定理求解。 2.杂种后代 群体中基因型分布问题，也可以用二项式定理来解决，这是因为杂合基因在形成配子时，无论配子带有显性基因，抑或是带有隐性基因，他们的概率都是相等的，都是50%，而多对基因组合在概率论的角度上讲，也相当于是独立重复事务。 二项式定理在遗传学中的应用还有许多，此处简要介绍两个比较典型的例子。 五、结语 二项式定理很多人都不生疏，在初等数学中就对二项式定理有了介绍，它是一种基本的运算。谈到二项式定理的起源，则可以追溯到五六一百零一年之前，古代的欧洲亚洲都对它做过探讨。在概率论的探讨中，二项式定理源远流长
13、，在欧洲的1664年、1665年之间，被艾萨克牛顿首先提出。雅克伯努利也对它做过探讨。在初等代数中，二项式定理描述了二项式幂的代数绽开。依据定理，能够扩大多项式n成总和涉及形式上一个ax、by。在历年高考，二项式定理作为中学数学课中重要的内容，始终是高考考查的重点难点，在历年高考中都常常出现，有涉及到二项式定理的题型，题目改变多样，不但有选择填空，也有难度较大的证明题。对中学生在实力上的要求，二项式定理并不太高，主要考查方向在于运用二项式定理来分析、解决问题，其他很少做要求。中学生只须要能够驾驭其基本性质，此外，也要具备娴熟运用的实力，驾驭这两项就能够解决相应问题，如求二项绽开式、二项式系数等
14、多种问题。如今，在众多领域都能见到二项式定理的广泛应用，如开高次方、等差数列求和等等，并且对微积分的发展起到了至关重要的一步，除了在数学领域，在遗传学、物理学也都有相关应用。本文对二项式定理的定义、起源、性质及其在高考等领域的应用进行了充分介绍，希望能对有关探讨起到帮助。 参考文献： 1鄢盛勇.四元数分析中的幂函数与二项式定理J.成都师范学院学报，2022，：120-124. 2孟桂芬.二项式定理的应用J.承德民族职业技术学院学报，2003，：56-57. 3滕旭.由二项式定理到多项式定理的推广探讨J.曲靖师范学院学报，2022，：1-5. 第9页 共9页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页