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1、 第 52 卷第 19 期 2016 年 10 月 机 械 工 程 学 报 JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING Vol.52 No.19 Oct. 2016 DOI： 10.3901/JME.2016.19.001 基于并行策略的多材料柔顺机构多目标拓扑优化*张宪民1胡 凯1王念峰1张 斌2(1. 华南理工大学机械与汽车工程学院 广州 510640； 2. 上海交通大学机械与动力工程学院 上海 200240) 摘要： 多材料柔顺机构能够让设计者充分利用各种材料的优良属性，在力，位移，以及能量转移等方面获得更大的设计自由度，因而受到重视。针对受到广泛研究的柔顺机构
2、，结合多目标拓扑优化的方法，提出相应的基于并行策略的求解模型。该方法的核心是将一个复杂的多材料多目标问题离散成为单材料子问题，然后并行求解，再根据整体目标的需要，对所有子问题的解进行调整以得到原始问题的解。针对多目标情形，提出新的材料与输出目标关系，从而在将多材料问题离散成单材料子问题的同时，也将多目标问题离散成单目标子问题。对所有的单材料单目标子问题采用各向同性材料的刚度插值 -惩罚法并行独立求解。以上方法有其独特优势：在理论和实践上都比较简单，可以处理任意多种材料，可以避免零碎的拓扑结构因而有利于制造。通过算例说明了此方法的有效性。研究结果表明，该方法在某些输出需要特定材料的设计场合更具优
3、势。 关键词： 拓扑优化；柔顺机构；多目标优化；多材料 中图分类号： TB112； TB114 Multi-objective Topology Optimization of Multiple Materials Compliant Mechanisms Based on Parallel Strategy ZHANG Xianmin1HU Kai1WANG Nianfeng1ZHANG Bin2(1. School of Mechanical & Automotive Engineering, South China University of Technology, Guangzhou
4、510640; 2. School of Mechanical Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240) Abstract： Compared to single-material mechanisms, multi-material mechanisms design enables designers to fully exploit the advantages of different materials and achieve more design freedom in force, motion, a
5、nd energy transduction. A new multiple objective topology optimization for multiple materials compliant mechanisms is presented. Central to the method is a parallel penalization that works by decomposing an overall multi-material optimization into a series of single material optimization and coordin
6、ating the sub-optimization so that the joint solution is optimal for the overall system. A new material and objective corresponding relationship is proposed to ensure that each sub-problem contains only one objective. The single-material optimization sub-problems are accomplished by the solid Isotro
7、pic material with penalization (SIMP) method. The overall procedure has its unique benefits: it is simple in concept and practice; it is flexible to handle an arbitrary number of candidate materials; it can avoid fragile topologies and is therefore advantageous for manufacturing. Several numerical e
8、xamples are given to illustrate the effectiveness of the proposed method. The results show that the proposed method is more effective in the design of specific materials. Key words： topology optimization； compliant mechanism； multi-objective optimization； multiple materials 0 前言*柔顺机构是一种依靠自身变形获得力和运动传
9、递的柔性机构1，它不需要装配，没有间隙，因而机构不存在摩擦和磨损，在微机电系统，生物医疗设备和超精密定位等领域有着广泛的应用2-3。 采用拓扑优化的方法设计柔顺机构不需要预先确定铰* 国家自然科学基金 (51575187)、广州市产学研协同创新重大专项 (2014Y2-00217)和广东省自然科学基金团队 (S2013030013355)资助项目。 20151113 收到初稿， 20160627 收到修改稿 链的个数和弯曲关节的位置，具有较大的设计自由度，因而受到人们的重视4-6。常用的拓扑优化设计方法主要有变密度法7-9，基础结构法10-11，水平集法12-13等。目前，国内外对于多目标柔顺
10、机构拓扑优化已有较多的研究。 JOUVE 等14提出采用水平集方法，以新的罚函数作为目标函数研究多输入多输出柔顺机构的拓扑优化。占金青等15采用基础结构法设计多输入多输出柔顺机构，并且研究了输出耦合抑制的问题。李兆坤等16探讨了多输入多输出柔顺机构中的几何非线性拓扑问题。 WANG 等17-23利用贝塞尔曲线设计复杂形状的柔顺元件，并结合万方数据 机 械 工 程 学 报 第 52 卷第 19 期 期 2 遗传算法，对多目标柔顺机构设计中不确定度以及目标匹配等问题进行了大量研究。然而迄今为止，基于多材料的多目标柔顺机构拓扑优化问题的研究相对较少，尚有待深入研究。 在给定边界条件下，以一定的设计目
11、标，寻求各种材料的用量以及在设计域内的最优分布，即为多材料的拓扑优化。若把孔洞也视为一种材料相，则多材料研究一般包括三相及以上。相比于单材料机构，多材料机构能够充分发挥各种材料的优良属性，受到了许多的关注与研究。孙士平等24-25以组分材料用量为约束，提出了多相材料微结构的多目标优化设计模型。 YOON26为多材料和多约束优化问题引入了一种几何非线性动态拓扑优化策略。ALONSO 等27提出了一种序列单元互斥法 SERA的多材料处理策略，即材料的加入与去除通过两个不同的标准完成，使得材料能够在预先定义的材料序列中重新分布。上述的情形中没有涉及多材料与多目标组合优化的问题，大致有以下两个原因：一
12、是将二者的优化问题结合起来后， 与单个问题相比，复杂程度大大增加，当前材料模型或提出的算法难于得到比较合理的结果；二是材料插值模型的局限性，一般问题的材料相最多三种，无法加入更多种类的材料进行优化。因而限制了多材料拓扑优化的应用领域。 本文研究了多材料柔顺机构的多目标优化问题。首先，将原始的多材料问题按照材料的种类离散成单材料子问题，在这个过程中，提出了新的材料与输出目标对应关系，从而在将多材料问题离散成单材料子问题的同时，也将多目标问题离散成单目标子问题。其次，采用刚度插值 -惩罚法 (Solid isotropic material with penalization, SIMP)对这些单
13、材料单目标子问题并行独立求解。接着调整所有子问题的解以得到整体目标的解。最后通过算例说明了所提方法的有效性。 1 基于 SIMP 法拓扑优化问题的表达 形式 各向同性材料的 SIMP 法又称变密度法，其基本思想为：设计域被离散成为微结构单元，设计变量定义为离散单元的相对密度， 可取 0 1 之间任意值。单元的材料属性，比如弹性模量与单元相对密度呈指数变化关系。设0E 为材料原始的弹性模量，E 是单元相对密度值等于ex 时的弹性模量值，则存在关系式：0()ePE xE= ， P 为惩罚因子，通常取值大于 328。 以结构的最小柔度设计问题为例， SIMP 法的 模型可表示为 NTT21 2 11
14、120min ( ) ( ) ( )s.t. ()eP e eeecxVfV= =xxUKU ukuKU U Fxmin01x _(6) 需要注意的是，这里的处理过饱和单元的过程是一个人工选择的过程。它根据人为设定的方法确定出优先度顺序对过饱和单元的材料进行取舍。这种更新方法的流程如图 3 所示。 图 3 设计变量更新流程 该方案是基于单材料拓扑优化的理论研究提出的，其本质是通过特殊策略将多材料问题分解为多种材料对应的单材料子问题进行更新，并保证设计结果的可行性。因此，该方案下除了可以使用擅长处理复杂约束问题的移动渐近线法等进行更新外，还可以使用对简单约束问题具有较优收敛结果以及速度的优化准则
15、法进行更新，从而使得多材料拓扑优化问题的解决效率得到提高。 此外这种方案的执行过程具有很高的分立性与并行性，因此可以很容易地扩展到更多种材料的拓扑优化问题。 4 全局刚度矩阵的求解及收敛性判断 根据刚度可加性理论，也即假定不同材料之间，诸如刚度张量之类的材料属性可以线性叠加，多材料的单元刚度矩阵可以用式 (7)计算 12=1(, ) ()Mee e epeM iiix=kx x x k_=1,2, , =1,2, ,iMeN_ (7) 式中，eix 和eik 分别为第 i 种材料的单元密度和单元刚度矩阵。根据式 (7)，可以得到包含 M 种材料设计域内的全局刚度矩阵 K，然后在式 (2)中求解
16、全局位移矩阵时用到。 本文的收敛准则定义为任意种材料的设计变量最后相邻两步的改变量不大于某一极小值。假定迭代进行了 q 步，修正后的设计变量 q1 与 q 步之间最大差值为 -1max ( ) ( )iq iq =xx (8) 式中，是收敛算子，通常取 0.01 。 5 数值算例及讨论 本节选取几个基于多材料拓扑优化的多目标例子，说明前述理论模型的有效性。为不失一般性，在给出双材料拓扑结果之后，三材料的例子也已给出。在双材料情形中，硬材料和软材料的弹性模量之比假定为 10:1(深色 :浅色 )，而在三材料情形中之比由浅到深为 10:5:1。在所有例子中，采用 8080的双线性四边形网格，泊松比
17、 和罚值 P 分别设定为 0.3 和 3.5。 5.1 双材料夹持器 本例采用一个比较常见的夹持器作为优化对象，与传统的单输出夹持器不同的是，在输出点增加了两个横向输出，以此研究多目标优化。设计域与边界条件如图 4 所示，右边中间区域挖空用于夹持物体。由于对称性，只需要对上半部分进行优化，就可得到整体机构结果。 图 4 双输出夹持器问题边界条件 图 5a、 6a 分别为两种材料的弹性模量均为 10、体积比均为 0.175 的夹持器设计结果以及目标函数收敛曲线；图 5b、 6b 分别为两种材料 (深色 :浅色 )弹性模量之比为 10:1(深色 :浅色 )、体积比分别为0.20、 0.15 的夹持
18、器设计结果以及收敛曲线。 万方数据月 2016 年 10 月 张宪民等：基于并行策略的多材料柔顺机构多目标拓扑优化 5 图 5 双输出夹持器不同约束下设计结果 图 6 对应图 5 中多输出夹持器的优化收敛曲线 观察图 5 的机构设计结果图，可以发现使用本文提出的基于多输出问题的多层模型设计的机构分块明显而独立，从制造的角度看，可以先分块制造，再使用搭接等连接技术连接成一体以生产。此外，这种方法可以依据人的意愿对材料与目标之间进行关联然后设计，在现实设计中通常需要考虑目标由何种材料支撑实现，这种思路能够表达出在常规拓扑优化解决方案中不容易表达的特征。 5.2 双材料多向器 本例设计一个非对称结构
19、的双材料多向器。为了验证前文提出的材料模型， 如图 7a、 7b、 7c 所示，分别规定三种不同边界条件的机构设计域，其右下角 1/4 区域为空材料。三个算例的材料参数设置完全相同， 两种材料的弹性模量之比为 10:1(深色 :浅色 )，体积比分别为 0.150、 0.075，所不同的是右下角的输出方向各异。其设计结果分别对应图 8a、 8b、 8c。 图 7 三种不同边界条件的多向器设计域 图 8 对应图 7 中三种不同约束的多向器拓扑结果 同样从图 8 中的设计结果可以看出，两种材料边界清晰，分块独立。通过对比三个结果不难发现，针对第一个目标输出，对应的深色材料设计的原件基本类似，变化不大
20、。而对于三个不同方向的第二个目标输出，对应的浅色材料均做出了有利于优化输出方向的改变，这体现了前文提出的一种材料对应一种目标输出的思想，在某些输出需要特定材料的设计场合极为有利。 5.3 三材料多向器 为不失一般性，此处用一个三材料的多向器说明方法的有效性。其设计域和边界条件如图 10 所万方数据 机 械 工 程 学 报 第 52 卷第 19 期 期 6 示， 与图 7a 算例唯一不同的是在右边中间处添加了一个向右的目标输出。采用本文提出的材料与目标对应关系，此处设计应使用三种材料，其弹性模量如前所述。图 11a、 12a 为三种材料体积均为 0.1 的多向器设计结果及收敛曲线；图 11b、
21、12b 为三种材料体积分别为 0.15、 0.10、 0.05 的多向器设计结果及收敛曲线。 图 9 对应图 8 中三种多向器的收敛曲线 从图 11 的设计结果可以看到， 优化三材料多目标柔顺机构时， 依然能够得到比较理想的拓扑结构，各材料之间边界清晰，分块独立。材料与目标之间直接关联，而其他材料作为支撑的思想得到了很好的体现。这说明基于新的材料与目标输出关系的并行优化策略能够突破传统的双材料限制，进行真正意义上的任意多种材料的拓扑优化设计。 图 10 三材料多向器设计域及边界条件 图 11 三材料多向器不同约束下设计结果 图 12 三材料多向器对应图 11 中设计结果的收敛曲线 6 结论 (
22、1) 提出了一种新的基于多材料设计多目标柔顺机构的求解方法。将复杂的多材料问题离散为简万方数据月 2016 年 10 月 张宪民等：基于并行策略的多材料柔顺机构多目标拓扑优化 7 单的单材料子问题，然后并行独立求解。 (2) 提出一种能同时解决多材料和多目标问题的新方法。在优化开始前人为设定材料和输出目标之间的对应关系，在将多材料问题离散成单材料子问题的同时，因目标与材料相关联，所有的单材料子问题都为单目标问题。 (3) 基于刚度可加性理论，得到了全局刚度矩阵与各材料之间呈线性关系，并将之用于有限元 分析。 (4) 该方法在理论和应用上都比较简单，并且能够处理任意种材料。需要强调的是，一方面，
23、这种方法允许拓扑优化设计中有更大的人工选择性，尤其适合某些有特殊设计要求的多输出问题， 如 “某输出主要由某材料支持实现”等特殊特征；另一方面，对于传统的多种材料对应同一种输出的情形，可以视为运用新方法处理中的一类特殊问题，该方法依然行之有效。数值算例表明，新方法设计的机构合理，各材料之间分块明显，利于加工，因而方法是有效的。 参 考 文 献 1 张宪民 . 柔顺机构拓扑优化设计 J. 机械工程学报，2003， 39(11)： 47-51. ZHANG Xianmin. Topology optimization of compliant mehcanismsJ. Chinese Journa
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