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1、提高概率论与数理统计教学效果的几点体会 摘 要本文针对概率论与数理统计教学的实际状况，提出了几点教学的体会和建议。通过改进教学，激发学生的学习爱好，使学生更深刻地理解该课程的思想方法，更好地驾驭该课程的内容。 关键词思想方法 联系实际 类比和比较 分类和归纳 中图分类号 O211.1， O212.1 文献标识码 A 文章编号 2095-343722-0058-03 概率论与数理统计是一门公共基础课，也是很多专业探讨生入学考试要求的一部分，它的应用几乎遍及科学技术的各个领域，在社会生活中有着广泛的应用，但这门课又被学生认为是一门较难学好的课程，主要是感到公式太多，记不住，思想方法理解不透，而做题
2、时又无从下手。笔者依据多年的教学阅历，认为可从以下几方面入手提高该门课的教学效果。 一、淡化数学推导，讲好思想方法 在概率论与数理统计课中，为得到某个结论，或为证明某特性质，常常有一些篇幅较长或有肯定技巧性的严密推导，笔者以为应依据实际状况适当淡化这些数学推导。事实上，过多地应用高等数学等学问进行数学推导，往往消耗很多珍贵的学时，而且效果不佳，由于学生对高等数学学问的驾驭还不能达到运用自如的地步，所以当学生陷入对推导细微环节的思索与推敲时，往往不能自拔，从而失去学习该门课的爱好。如教材中分布函数右连续性的证明、泊松定理的证明、由二维正态分布密度推出边际分布密度、听从二维正态分布时求与的相关系数
3、等等，这些严密的推导只需指出思路和方法即可。对于公式和结论不能只停留在给出和推导，应注意说明公式和结论的背景、实际意义和说明的问题，把有限的学时更多地放在说明概率统计的思想和应用理论学问解决实际问题上，避开使数学式子的繁琐变形成课堂的主角。 比如全概率公式，其思想就是采纳“迂回”战术，把问题“化整为零”，其关键是正确找出“划分”。当一个事务的概率不简单求得时，若可以确定划分各事务的概率及所求事务对划分中各事务的条件概率，则可由全概率公式求出事务的概率。对以下简洁题目错误的解答说明白说明全概率公式思想的重要性。 例：一批零件，其中从甲厂进货，从乙厂进货，已知甲、乙两厂的次品率分别是0.02和0.
4、06，现从这批零件中任取一个零件，求取得的零件是次品的概率。 原来这是一个特别简洁的题目，但有的同学最终的解答却是：当所取零件是从甲厂进货，则所求概率为0.02；当所取零件是从乙厂进货，则所求概率为0.06。 这种错误在于没有驾驭全概率公式的思想。事实上，当任取一个零件时，该零件既有可能是甲厂生产，也有可能是乙厂生产，所问的正是在这种状况下，该零件是次品的概率。完整考虑到这两种状况而任取一个零件是次品的概率，体现了全概率公式中的“全”字。“化整为零”的目的就是最终求出一个“总”的概率。 又比如，在讲离散型随机变量数学期望的定义时，应指出该概念的背景是生活中的“平均数”，但不是简洁的算术平均，是
5、一种 “加权平均”，是随机变量根据概率取不同值的状况下的平均取值，这个平均数考虑了随机变量取不同值的可能性，是对随机变量取值的一种综合评价，取不同值的概率就是所谓“加权平均”中的“权”。明显，在有限次试验中，随机变量取各个值和取各个相应值的频率相乘，然后将全部这样的乘积相加便是在有限次试验中随机变量的平均取值，但要从整体上描述随机变量的平均取值，而不仅仅是某些有限次试验中的平均取值，明显用概率替代频率是合理的，这样就得到离散型随机变量数学期望的定义。 二、理论联系实际，注意实践教学 概率论与数理统计是一门应用性学科，它来源于实际生活而又服务于实际生活。因此，在教学中必需联系实际，注意实践教学。
6、 一些与实际生活紧密相连的问题会激发同学的学习爱好，从而使教学过程充溢活力。例如买彩票问题，常常有同学会问：“学好概率是否有助于中奖？”“社会上有人沉迷于探讨彩票，从过去的中奖号码推知将来的中奖号码有无道理？”学好概率的确有助于我们正确相识彩票中奖问题。首先，买一张彩票中大奖的概率特别小，以七星彩为例，中500万大奖要求七位数与开奖结果完全一样，每个位置上的数与中奖号码相同的概率为，而由事务的独立性可知，七位数与中奖号码完全一样的概率为0.0000001，即千万分之一，这是一个特别小的概率，有资料表明七星彩其他级别的中奖概率也是微小概率的事务，概率最大的末等奖中奖概率也仅为一百零一分之五，依据
7、小概率原理我们不能希望中奖，对买彩票未中奖应有一个良好的心态。其次，不难看出不同次抽奖发生的事务是相互独立的事务，过去的中奖号码与将来的中奖号码没有关系。由教材中的例题知：小概率事务在大量重复试验中至少发生一次的概率会很大。将这一结论应用在买彩票问题上，可以看出常常买彩票无疑会提中学大奖的概率。 在介绍了二项分布和泊松定理后，可仍以七星彩为例，计算若使至少中大奖一次概率较高时，需重复购买彩票次数的近似值。像这样与实际生活紧密相连的问题许多，如生日问题、体育竞赛中抽签与依次无关问题、约会问题、分组验血法、保险公司盈利与亏损问题等等。 在课堂教学后，尽可能使学生将所学学问 “回来”到实践中，让学生
8、自己查找资料和收集数据，验证和应用所学的学问。比如，生日问题是教材中的一个好玩例题，通过对n取不同的值列出相应的概率，可能会感到“n个人中至少有两个人生日在同一天”概率比想象的要大，学生可在实际生活中对这样的结论验证和调查。例如，在课外查找44位美国总统的生日资料，发觉其中有2位总统的生日是在同一天，即第十一任总统波尔克和其次十九任总统哈定，他们都诞生在11月2日。类似地，结合古典概型和数学期望的学问分析某个赌博嬉戏或某种彩票；测量部分同学的身高，依据部分同学的身高，给出全部同学平均身高的估计值、在肯定置信度下的置信区间、检验对全部同学平均身高提出的某种假设，看全体同学身高是否听从正态分布等等
9、。这些力所能及的实践活动会促使学生对理论学问的进一步消化，充分体会生活中的数学。 三、留意运用类比和比较的教学方法 概率论与数理统计课概念多、结论多、公式多，不少同学对此有较大的畏难心情。事实上，该门课中许多概念、结论和公式相近但又互有差别，一类结论往往是另外一类结论的推广或者是用同一思想方法处理多种状况，从而得到一系列公式。在教学中，应充分利用该门课的这一特点，运用类比和比较的方法，帮助学生记忆和驾驭基本内容。 类比的教学方法就是从两类事物的相像关系动身，依据一类事物的性质、结论和规律来推想出另一类事物也有相像的状况。比较的教学方法就是对两类事物的相像点和不同点进行对比，从而进一步把握事物的
10、本质特性，加深对两类事物的理解和记忆。比如，在讲解二维随机向量时，应说明二维随机向量的概念和性质均是一维随机向量相应概念和性质的推广，处理问题的思想和方法完全类似，而二维随机向量的联合分布与边际分布的关系则显示了二维随机向量与随机变量的一种联系。可引导学生由随机变量X的分布函数、分布列、分布密度的定义及其性质推想二维随机向量的联合分布函数、联合分布列、联合分布密度的定义及其性质，并对最终的结果进行比较，还可进一步引导学生对高维随机向量的相应概念和性质进行推想，从而得出结论。 类比和比较教学是多层次和多角度的，既有平行内容的类比和比较，也有纵深内容的类比和比较；既有概念和结论的类比和比较，也有解
11、题方法上的类比和比较。比如伯努里概型与超几何分布、离散型随机变量与连续型随机变量、一个随机变量的函数与两个随机变量的函数、矩估计法与最大似然估计法、区间估计与假设检验以及不怜悯况下的区间估计和不怜悯况下的假设检验等等，其中不怜悯况下的区间估计和不怜悯况下的假设检验的数学公式多，内容枯燥，学生畏难心情很大，但该部分内容明显具有用同一思想方法处理多种状况的特点，在教学中紧紧抓住这一特点，引导学生概括出一般的思想方法，类比和比较不怜悯况下的公式，对于学生记忆公式，提高课堂教学对学生的吸引力是非常有益的。可将类比和比较的内容画出表格或给出逻辑联系图，使学生一目了然。 类比和比较的教学方法具有以下优点：
12、 1.类比和比较的过程是展示学问的发生、发展和形成的过程，学生可从中理解学问的来龙去脉，从“变”的现象中发觉“不变”的本质，从“不变”的本质中发觉“变”的规律，有利于学生更深刻地驾驭所学的学问。 2.引导学生在类比推想中得到新的公式、性质和结论，使学生在“探究学习”中体会探究的成就感，从被动地听课转为更主动地参加教学活动，提高了学生的自主性和学习爱好。 3.比较的过程是对过去已学学问进行复习和归纳的过程。通过比较，使学问在学生的大脑中形成学问网络和一个有机联系的整体，分散的学问得到串联，易于理解和记忆。 四、进行题型的分类和归纳 为提高学生的解题实力，变更解题无从下手的状况，考虑到不少概念、结
13、论和方法在某些方面是类似相近但又互有差别，可对概率论与数理统计课中的基本题型进行分类和归纳，指出每类题型的特点和所应用的基本公式。比如，以下是随机变量与二维随机向量部分的一些常见题型： 1.分布函数、分布密度、分布列中未知常数的确定； 2.结合古典概型的学问求分布列； 3.由分布函数求分布列、分布密度； 4.由分布列、分布密度求分布函数； 5.求随机变量落入某区间或随机点落入某区域的概率； 6.分别由联合分布函数、联合分布列、联合分布密度求边际分布函数、边际分布列、边际分布密度； 7.随机变量相互独立的判定和应用随机变量相互独立求得联合分布函数、联合分布列、联合分布密度。 以分布函数、分布密度
14、、分布列中未知常数的确定为例，未知常数的确定通常是由相应概念的性质和原题所给的条件解方程或方程组，如分布函数中的未知常数一般是由分布函数在正、负无穷处的极限和分布函数在分段点处的右连续性求得；分布列、分布密度、联合分布列、联合分布密度中有一个未知常数时，一般可分别由公式 pk=1，fdx=1， pij=1，fdxdy=1 解方程而求得，当有多个未知常数时，上述公式往往是方程组中必定成立的一个方程。 课程中的每一部分均可以归纳出常见题型，其解题方法的规律性很强，可将常见题型应用的公式、方法和基本规律列成表格，也可引导学生自己完成这一工作，这将有利于学生对学问的融会贯穿，从解题的角度复习已学全部学
15、问，进一步促使学问在学生的大脑中形成学问网络。 总之，教学的实践表明淡化数学推导并讲好思想方法、理论联系实际和注意实践教学、留意运用类比和比较的教学方法以及进行题型的分类和归纳是提高概率论与数理统计教学效果的良好方法。只要充分调动学生的学习主动性，主动探究适合学生特点的教学方法，就肯定能够帮助学生克服学习中的畏难心情，使教学收到更好的效果。 参 考 文 献 1 周新全.概率论与数理统计教学改革探讨J.咸阳师范专科学校学报，2000，15：68-69. 2 金大永，徐勇.概率论与数理统计M.北京：高等教化出版社，2022. 3 丁雪梅.七星彩的中奖概率问题J.科技信息，2022，：422. 责任编辑：左 芸 第9页 共9页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页