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1、经济学研究必备的数学基础 目前，数学方法正以日益迅猛的速度和不断扩大的规模向经济学领域渗透。使经济学领域发生了一系列巨大的改变。即从说明现在到预料将来，从表现存在到深化影响，从定性探讨到定量分析。比如：金融、财政、税收、成本、利润、投入、产出、贷款、效益、都干脆地运用数学；再如重点项目建设的厂址选择，国土开发中的环境质量评价、预料模式，土地、能源和水资源综合开发、合理利用的最优组合，全国主要物资的产销区规化和货流规化等。尽管各个项目所涉及到的详细领域不同，但它们共同的特点都是把数学的手段和方法引入经济学，并把数学作为经济学探讨的重要基础之一。 在传统的社会科学领域中，经济学是最胜利地实现数学化
2、的学科，其成就令人瞩目。数学在经济学中的应用，产生了包括数理经济学、计量经济学、经济限制论、经济预料、经济信息等分支的数量经济学科群，以致一些西方学者认为：当代经济学事实上已成为应用数学的一个分支。正如现代计算机之父、数学家、数理经济学家冯诺伊曼所料：经济现象最困难，它要用的数学理论也是最高深的，因为越是抽象的数学工具越适合于分析事实上非常困难的事物。从这个意义上讲，从事经济学探讨的人员必需具备相当的数学修养和水准。不仅须要完备的初等数学基础，而且还必需具备微积分、线性代数、概率统计、模糊数学、集合论、拓扑学、实凸分析、泛函分析、图论以及计算机等许多数学学问。 初等数学是以不变的数量和固定的图
3、形为探讨对象，它不考虑函数改变的速率问题，因此初等数学也被人们称为常量数学。运用常量数学可以有效在描述事物和现象相对稳定的状态，而它不能描述事物的运动和改变，而现代经济学问题的探讨恰恰更重视系统的运动和改变。例如由于科学技术的进步以及世界人口的日益增长，人们利用自然资源的范围扩大了，强度也不断增加，甚至使环境质量恶化，造成生态的不平衡，这是一个动态的过程，因此常量数学不能满意经济学探讨的须要，我们更须要变量数学。 微积分学是变量数学的基本内容之一。19世纪中叶，勒翁瓦尔拉斯和杰文斯提出名为“边际效用理论”的经济学。戈森和门格尔也是这一理论的奠基者。戈森的数学极好。后一代的经济学家们发觉，这一理
4、论中的“边际”原来就是数学中的“导数”或“偏导数”。因此这一理论的出现意味着微分学和其它高等数学已进入经济学领域。从今微积分学成为经济学问题探讨的首要数学基础。 线性代数已胜利地运用于一般经济学、金融、财政、税收等领域，运用于投入产出理论。从企业到整个国民经济，乃至世界经济都可以用投入产出进行规化。线性规化理论可用于在肯定约束下，求极大值微小值问题，例如：使有限的材料得到最充分的应用；如何在商品销售中，调整商品价格，薄利多销，获得最多利润；如何利用有限的空间使得存贮量或货运量最大；如何合理支配人员配制，使全员劳动生产率最高等等，还可以用于发觉资源的短缺和剩余状况及区域规化。所以线性代数与线性规
5、化也是探讨经济学问题的重要数学基础。 初等数学处理的问题属于自然界或社会生活中的必定现象及其规律，它只探讨当某种条件具备时，某种结果必定地、一百零一分之一百零一地出现的状况，这种由条件完全可以预知结果的数学，我们称之为必定的数学，但在经济学问题中常遇到，也更为我们关注的是所谓随机现象的事物，即在某种确定的条件下某种结果不是必定的，而是以肯定的可能性出现的。例如：流域之间的调水问题，投资者必需考虑风险和收益。通常所说的平均收益就是数学期望。另外，在一些项目决策时，大都是在不确定的因素下进行决策的，这种条件和结果没有必定的联系。 不能用必定的数学进行定量分析，而须要用或然的数学探讨。或然数学主要是
6、指概率论和数理统计，由于它们在经济学领域中胜利地应用于投资、贷款、股票、证券、市场预料、风险平估等很多重要领域而得到快速发展。概率论与数理统计特地探讨在肯定条件下，某种结果可能发生，也可能不发生的一类现象，即随机现象。概率论与数理统计已经在经济学探讨中占有特别重要的地位。 初等数学探讨的是内涵和外延都特别明晰的现象，来不得半点模糊，因此初等数学是一种明晰数学。但是在经济学问题的探讨中，我们所遇到的大量概念却都是非明晰的，例环境综合评价中的“污染程度”就是一个模糊概念，污染程度表征的质量分级界限不是截然划分的，而是用一个隶属度来刻划，隶属度可用隶属函数来表达。又例灰色系统，本身就是从模糊数学中派
7、生出来的分析方法。再如经济发展规化、经济周期的确定，都是用模糊方法确定比较精确、适用。模糊数学以模糊现象为自已的探讨对象，给出了使模糊概念定量化的方法以及模糊量运算的规律。 经济学思索的一个核心问题是如何安排日益紧缺的资源，使它在既充溢相互竞争、要求又无法满意的状况下能够达到目的。如何运用数学工具来分析“什么是最隹方案”的问题，是经济学理论的一个焦点。经济学家们始终应用数学上各种各样的技巧来探讨这个非常重要的问题。经济学探讨“最优化”问题，但是不能简洁地理解最优。有这一局部的最优与另一局部最优的关系问题，有局部最优与全社会最优的关系问题。对经济学来说，更重要的不是各自的最优，而是相互间的对策。
8、例如，福利经济学试图在平衡条件下确定对产品与服务作最佳安排。闻名的帕累托定理规定：当至少有一个人生活得更好，而没有一个人生活得更差时，这种安排就可以被认为比原来的安排更优。这里用到了对策论：在二人或二人以上的对策中，假如一个人赢就会有一个人输，称为“零和对策”；假如人人都赢而没有人输，称为“非零和对策”，福利经济学就是要利用非零和对策论。在这样困难的经济活动中，要用到更困难的数学工具。微积分学、集合论、拓扑学、实凸分析以及概率论、数理统计，在用数学方式表达经济理论方面都起到了重要的作用。 保险学中要考虑的很多问题都须要运用数学方法得以解答。例如，对各种风险的评估，不仅涉及到实际的统计资料，还须
9、要运用一整套相应的数学计算方法；此外，保险的理赔支付是否正确，这个问题不论对投保人还是保险公司都是非常重要的，给付太少会使保险公司业务增长遭遇影响，给付太多会使保险公司保费收入不输赢荷，太多与太少皆非所宜。正确的理赔只能以合理的计算为基础，而合理的计算又必需以数学所认定的风险稳定性定理为基础。在人寿保险中，须要依据投保人的年龄、生存与死亡的一般状况列出寿命表，并建立相应的数学模型，以求出每个保险合同的保险费和责任打算金的数学计算公式。一般说来，对每一寿命保险单进行数学描述时，必需给出相应的生命状态模式，以及若干时间函数的定义，从数学模型得到保险费公式和责任打算金公式的详细形式取决于模型函数的数
10、学性质，公式推导通常涉及到级数求和、向量空间、黎曼斯蒂尔吉斯积分、测度论、微分方程、差分方程、积分方程等方面的方法与技巧。 对于大量带有不确定性的经济活动，其每一步骤都有多种可能性出现，以一个动身点为根部，可演化出一个能反映出全部可能的树图，于是图论的学问必不行少。在有无限种不确定情形时，例如商品的种类就可以看作有无穷多种，对应的商品空间也变成无穷维的了，于是，泛函分析成了当然的工具。为了刻画政策对经济的作用，必需做出一个最优限制的数学模型。为了描述多层次经济体中的信息流通，信息论的必要性很明显。 在具备肯定数学学问的同时，还得从经济学与数学交叉的角度动身，将不同学科的思想有机地结合起来，找到
11、结合点，提出数学模型，并依据经济学的基本原理建立模型，然后对模型进行调试、验证。这一系列工作就是通常所说的建模过程。一个经济系统和某种特性的数学模型建立以后，就要对数学模型单独求解，然后对数学模型的解，进行经济学的合理说明，形成经济学问题的解决方案，因此，在经济系统状态、经济要素预料以及经济规化的探讨中，须要普遍运用数学模型。建模是一个创建的过程，它须要的主要不是数学运算技巧，而是平常培育起来的敏锐的洞察力，新奇的思想和清楚的逻辑思维，是一种充溢挑战和创建性的劳动。 数学在经济学中的胜利应用，产生了浩大的数量经济学科群。计量经济学的核心问题是建立计量经济模型。它以肯定的经济理论为背景，利用数理
12、经济学中的探讨成果，列出一系列描述经济行为的数学方程，然后又依据实际的经济统计资料，通过运用现代数理统计的方法对方程组中的未知参数进行估计，从而建立起描述经济活动的计量经济模型。计量经济学反过来又推动了数理统计学的发展，成一百零一上千个方程组成的计量经济模型的运用，为数理统计学家提出了很多新课题。数学渗入到经济学，经济学反过来也推动数学前进。 数理经济学是探讨数学概念和数学技巧对经济，特殊是对经济理论的各种应用，其中一些基本问题是从经济学中提出的，但深化探讨是从数学的角度进行的。其核心内容之一是用一种规范化的方法探讨一般均衡理论，运用的数学工具主要是集合论、群论、拓扑学，其学术文献完全是公理化
13、的。它从一套公设、假定、定义动身，导出一套特别严谨的公理化体系。数理经济学是主要进行定性分析的理论经济学。它是探讨最优经济效果、利益协调和最优价格的确定这些经济学基本理论问题的，为计量经济学、管理科学、经济限制论供应模型框架、结构和理论基础。这样，使两个完全不同的专业得以连接和通畅。 由于计算机和软件的发展特别之快，计算机科学已使许多科学变更了面貌，由定性探讨走向定量探讨的方向。所以在经济学探讨中应用计算机，不仅对经济学的系统化、模型化与最优化有巨大的促进作用，而且开拓了经济学应用软件这样一个广扩的探讨领域，计算机不仅是经济学领域的计算工具，也是强有力的试验工具。目前可以用计算机对经济系统进行
14、模拟仿真；设计经济系统的最优方案，并编制程序在计算机上进行试验，从而得出经济区域发展的战略和策略。所以必需学习计算机语言，驾驭计算机的运用。 在经济现象与经济活动如此困难的今日，我们对经济学探讨也提出了更高的要求：对一时尚不能限制的经济过程和尚未知晓的经济现象，能否深化地相识它并合理地说明它；对于已经熟识的经济过程和现象，能否精确地表达它、模拟它、预料它，能否推断其发生的时间、演化的序列、过程的强度和结果；对于客观的经济系统能否通过有效的改造和调控，使其达到最优状态并能稳定地保持它；对于经济学的基本理论，能否比较精确地、完整地纳入一个统一的基础。为此我们对数学学问的深度和广度都有了更高要求，方能使当代经济学所强调的主题探讨臻于科学化、合理化。因此，数学是经济学探讨的重要基础之一，而以上所述是经济学探讨所必备的数学基础。 参考文献 121世纪中国数学教化展望.北京师范高校出版社，2004. 2张楚廷.数学文化.高等教化出版社，2002. 作者单位： 山西太原师范学院数学系 第9页 共9页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页