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1、空间向量及其线性运算编稿：赵 雷 审稿：李 霞【学习目标】 1. 理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示方法与字母表示方法2掌握空间向量的线性运算（加法、减法和数乘）及其运算律3掌握空间向量的共线定理和共面定理，并能用它们分析解决有关问题【要点梳理】要点一、空间向量的相关概念1.空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：或。（要注意印刷体用a，而手写体为，要区分开）要点诠释：（1）空间中点的一个平移就是一个向量；（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们
2、称之为自由向量。2.空间向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或3空间向量的有关概念：零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。单位向量：长度为1的空间向量，即.相等向量：方向相同且模相等的向量。相反向量：方向相反但模相等的向量。共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于记作共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。要点诠释：当我们说向量、共线（或/）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线向量在空间中是可以平移的空间任意两个向量都可以平移到同一个
3、平面内，因此我们说空间任意两个向量是共面的要点二、空间向量的加减法1加减法定义 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图） 2运算律交换律： 结合律： 要点诠释：（1） 空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；（2） 向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则（3） 空间向量加法的运算的小技巧：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；首尾
4、相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：；要点三、空间向量的数乘运算1. 定义：实数与空间向量a的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算当0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当=0时，a=0a的长度是a的长度的|倍如右图所示 2运算律 分配律：(a+b)=a+b； 结合律：(a)= ()a 要点诠释： （1）实数与空间向量a的乘积a（R）为空间向量的数乘运算，空间向量的数乘运算可把向量伸长或缩短或改为反方向的向量，当01时，向量缩短；当1时，向量伸长；当0时，改为反方向的向量 （2）注意实数与向量的积的特殊情况，当=0时，a=0；当0时若a0时，有a0（3）实数与向量
5、可以求积，但是不能进行加减运算，比如：+a，a无意义要点四、共线定理 1共线向量的定义与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作ab 注意： 0与任意向量是共线向量 2共线向量定理 空间任意两个向量、（），/的充要条件是存在实数，使 要点诠释：此定理可分解为以下两个命题： ab（b0）存在唯一实数，使得a=b； 存在唯一实数，使得a=b（b0），则ab 注意: b0不可丢掉，否则实数就不唯一3. 共线向量定理的用途：判定两条直线平行；（进而证线面平行）证明三点共线。注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量
6、的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。 要点五、共面定理1共面向量的定义 通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 注意： 空间任两个向量是共面的，但空间任三个向量就不一定共面了 2共面向量定理 如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在唯一的有序 实数对（），使推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使 或对空间任一点，有，上式叫做平面的向量表达式3.共面向量定理的用途：证明四点共面线面平行（进而证面面平行）。 【典型例题】类型一：
7、空间向量的线性运算例1.（2015春 南昌期中）如图，空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（ ）A BC D【思路点拨】由题意，把，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项。【解析】 ，故选：A。【总结升华】本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题。举一反三：【变式1】如图：在平行六面体中，为与的交点。若，则下列向量中与相等的向量是（ ） 【答案】A 显然。【变式2】（2015春 遂宁校级期末
8、）已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且，用，表示向量为（ ）A BC D【答案】C【解析】如图所示，连接ON，AN，则，所以。故选C。例2、如右图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是（ ）； A B C D 【思路点拨】 在进行减法运算时，可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量，而在进行加法运算时，首先考虑这两个向量在哪个平面内，然后像平面向量求和那样，运用向量运算定律、平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求解 【解析】 ； ； ； 因此，两式的运算结果为向量，而两式运算的结果不为向量故选A【总结升华】化简向量表达式主要是利用平行四边
9、形法则或三角形法则，遇到减法时既可转化为加法，也可按减法法则进行运算，加、减之间可以相互转化。表达式中各向量系数相等时，根据数乘分配律，可以把相同的系数提到括号外面。举一反三：【变式1】如图，已知长方体，化简下列向量表达式：（1）；（2）。【解析】 化简向量时，一般先用平行四边形得到相等的向量或相反向量，再将它们转化为具有同一起点的向量，最后利用三角形法则或平行四边形法则化简。（1）；（2）。【高清课堂：空间向量及其线性运算399109 例题1】【变式2】 已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量： （1） ； （2） ； 【答案】 (1)(2) 【变式3】如图，已知平行
10、六面体ABCDA1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式：（1）；（2）；（3）；（4）。【答案】向量的加法利用平行四边形法则或三角形法则，封闭图形，首尾连接的向量的和为0。（1）；（2）；（3）；（4）。例3若三棱锥O一ABC中G是ABC的重心，求证：.【思路点拨】 先在OBC中考虑中线OD,然后在OAD中考虑G为AD的分点,分成的比是2：1,两次使用向量的运算性质,把相关向量用表示即可.【解析】如图所示，G是ABC的重心 ，D为BC的中点 【总结升华】(1)灵活应用向量的运算法则是解此类题目的关键；(2)此类例题常用到结论：若OD是OBC的中线，则有举一反三：【变式
11、1】在如图所示的平行六面体中，求证：。【答案】平行六面体的六个面均为平行四边形，又由于，。【变式2】如图，在四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，试证：。【答案】 +得。例4、已知正方体，点E是上底面的中心，求下列各式中x、y、z的值：（1）；（2）。【思路点拨】根据向量运算法则，用向量、表示和，然后利用向量相等来确定x、y、z的值。【解析】（1），又，x=1，y=1，z=1。（2），又，。【总结升华】任何空间向量都可以用三个不共面向量（即是一组基向量）唯一的表示。举一反三：【变式】已知是平行六面体。（1）化简，并在图中标出其结果；（2）设M是底面ABCD的中心、N是侧面对角线上的分
12、点，设，试求、的值。【答案】（1）如图所示取的中点为E，则取F为的一个三等分点，则又，。（表示法不唯一）（2），。类型二：共线向量定理的应用例5 证明：在四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分（此点称为四面体的重心） 【思路点拨】 如图在四面体ABCD中，E、F、G、H、P、Q分别是所在棱的中点，要证明EF、GH、PQ相交于一点O，且O为它们的中点 【解析】 E、G分别为AB、AC的中点，同理， 从而四边形EGFH为平行四边形，故其对角线EF、GH相交于一点O，且O为它们的中点连接OP、OQ 只要能证明向量，就可以说明P、O、Q三点共线，且O为PQ的中点事实上，而O为GH的中点， P
13、Q经过O点，且O为PQ的中点 即证得EF、GH、Q相交于点O，且O为它们的中点，故原命题得证【总结升华】 利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点举一反三：【变式1】设、是平面上不共线的向量，已知，若A、B、D三点共线，求k的值。【答案】由共线的向量定理列出关系式。，。又A、B、D三点共线，由共线向量定理，得，。【变式2】如图，在平行六面体ABCDA1B1
14、C1D1中，E、F、G分别是A1D1、D1D、D1C1的中点。求证：平面EFG平面AB1C。【答案】用共线向量定理证明线线平行，从而证明面面平行。证明：设， 则， ，EGAC又，EFB1C。又EG与EF相交，AC与B1C相交，平面EFG平面AB1C。类型三：共面向量及应用例6已知，从平面外一点引向量，（1）求证：四点共面；（2）平面平面【解析】（1）四边形是平行四边形，共面；（2），又，所以，平面平面【总结升华】在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算举一反三：【变式】已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，试
15、判断：点与是否一定共面？【答案】由题意：，即，所以，点与共面例7.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，O是B1D1的中点， 求证：B1C平面ODC.【解析】【总结升华】（1）利用共面向量定理证明线面平行时，只需考虑一个向量可以用平面内的两个不共线的向量表示即可 （2）利用共面向量定理证明四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中的两个向量线性表示另一个向量，得到向量共面，即四点共面举一反三：【高清课堂：空间向量及其线性运算399109 例题1】【变式1】已知斜三棱柱，设 ， ， .在面对角线和棱上分别取点和 ， , （）.求证： 与向量 ， 共面. 【答案】， 与向量 ， 共面.【变式2】 如右图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，求证：MN平面CDE【答案】 证明：如题图，因为M在BD上，且，所以同理所以又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，共面由于MN不在平面CDE内，所以MN平面CDE