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1、从保守力概念的引入到势能公式的推导 摘 要:本文主要介绍了重力,弹性力,万有引力的做功过程,由它们做功的共同点引入了保守力的概念,再在保守力做功的基础上引入势能的概念。 关键词:重力 弹性力 万有引力 做功 保守力 势能 前 言 在物理学中,势能的概念是非常重要的。在力学,电磁学中,它的存在使保守力做功的过程转换为某种能量的转换过程,它又与势能一起组成机械能,从而使能量这个概念在物理学中具有更加重要的意义。甚至,在理论物理学中,人们已经习惯用相互势能来表示物体间的相互作用。 1.保守力定义的引入 1.1重力做功 如图1所示,质量为m的质点在重力作用下自a点经平面曲线acb运动到平面b点。建立直
2、角坐标系oxy,y轴竖直向上1,考虑到Fx=0,Fy=-mg。 则重力做的功为 A=Fydy=-mgdy=mg(ha-hb) 分析所得结果知,重力所做的功仅取决于质点的始末高度,与质点经过的路径无关。 1.2 弹簧弹性力做功 如图2所示,在(a)中,我们用x=0表示弹簧既无伸长也无压缩的平衡位置。于是有胡克定律Fx=-kx,其中的k为弹簧的劲度系数或力常数。 当x0时,x表示弹簧的伸长量。如图(b)。 当x0时, x表示弹簧的压缩量。如图(c)。 因此,弹性力所做的功为 A=Fxdx=(-kx)dx=-(kx-kx)=-(k-k) 分析所得结果知,弹性力所做的功只与弹簧的始末位移有关,而与中间
3、运动过程无关。 1.3 万有引力做功 在太阳参考系中,考虑地球与月亮之间的相互作用运动,地月之间的相互作用是万有引力=-,其中M,m分别为地球和月亮的质量,r为地月之间的距离。是指地球指向月亮的单位矢量。地球和月亮相对太阳在运动,我们选地球为原点,月亮在引力场中从初位移i经路径L到达末位移f,设月亮在初末位移时相对地球的距离分别为和 。 1.4 提出保守力的概念 以上几种力做功的共同点是力所做的功仅仅依靠于质点的始末位置,和质点经过的路径无关。总结它们的共同点,我们可引入保守力的概念。 2.势能概念的导入 对于保守力,受力质点始末位置肯定,力的功便确定了。因此,我们可以找到一个位置函数,并使这
4、个位置函数在始末位置的增量恰好确定于受力质点自初始位置通过任何路径达到终止位置保守力所做的功。 2.1 保守力做功过程 在引入势能概念之前,我们仍旧先探讨保守力的做功过程。 设一质点在保守力场中运动,该质点从a点经 b运动到 c,在某坐标系oxyz中,质点在a点的矢径为 ,在b点的矢径为 ,在 c的矢径为 。如图3所示。当质点从a点运动到 b点时,设保守力做的功为W1,因为保守力做功与始末位置有关,所以W1可以写成关于, 的函数: W1=W1(, ) 同样的,质点从 b点运动到c点的过程中,保守力所做的功为 W2=W2( , ) 明显有W(, )=W1(, )+W2( , ) 由保守力的定义可
5、知,W仅与 ,有关,而与b点的矢径 无关,那么上式右边的W1+W2也与无关,即在W1,W2中包含 的部分可以通过W1和W2的相加而减去,则W1,W2肯定可以写成分别与初末位置有关的两项,而且包含末位置的项与包含初位置的项符号相反,形式相同。 2.2 势能概念 现在我们探讨位置函数?追r的物理意义,由此可以引入“势能”的概念。 依据量纲的有关学问, 明显?追r具有功和能量相同的量纲,但是功是和质点受力并经验位移这个过程相联系的,所以功不是描述状态的物理量,它是过程函数,而?追r仅仅是位置函数,它只是反映了质点处于始末的状况,所以它不具有功的意义,而只能具有能量的意义,这个能量是由物体间的相对位置
6、确定的。由此可以引入“势能”的概念。 结 论 通过对重力、弹力、引力做功的分析,得到了保守力的概念,明白了保守力做功仅与质点的始末位置有关,而与质点经过的路径无关。在保守力概念的基础上,我们进一步推导出了势能概念。因此我们对势能有了进一步的相识,这对于我们以后的学习有很大的帮助。 参考文献: 1 漆安慎等.一般物理学教程•力学(第一版)M.北京:高等教化出版社.11012. 2 马文蔚.物理学(第三版)M.北京:高等教化出版社.11012. 第5页 共5页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页第 5 页 共 5 页