《2022高一数学教案函数的奇偶性㈡与对称性第4讲 .doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022高一数学教案函数的奇偶性㈡与对称性第4讲 .doc（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、函数的奇偶性与对称性第4讲 函数14级指数函数与相关复合函数满分晋级 函数13级函数的奇偶性（二）与对称性函数12级函数的单调性与奇偶性（一）本讲分成三个板块：一、函数的奇偶性（二）；二、函数的对称性；三、函数的周期性；其中板块一只有一道例题，引出板块二函数的一般对称性；板块三只有目标班出现本讲尖子班建议课时2小时，目标班建议课时3小时4.1函数奇偶性（二）考点1：函数的奇偶性 本板块复习一下上一讲的函数的奇偶性，从图象平移的角度与奇偶函数的本质角度理解一般的奇偶性，并由此引出一般的对称性如是偶函数，从图象平移角度来说：意味着函数的图象向右平移一个单位后，有对称轴，故函数的图象有对称轴从偶函数
2、本质角度来说，偶函数意味着自变量取相反数时，函数值相等，的自变量为，故意味着这说明：与关于对称是等价的命题【例1】 若是偶函数，下列结论正确的有 （写出所有正确的选项） 若是偶函数，下列结论正确的有 （写出所有正确的选项）ABCDE F 若是偶函数，则函数图象的对称轴为_若是奇函数，则函数图象的对称中心为_ 若是偶函数，则函数图象的对称轴为_若是奇函数，则函数图象的对称中心为_ 若的对称中心为，则函数图象的对称中心为 (目标班专用)若的对称中心为，则函数图象的对称中心为_图象的对称中心为_【解析】 B；A、F； ； ； ； 、；4.2函数的对称性偶函数与奇函数代表着最基本的轴对称与中心对称，这
3、两种最基本的对称可以拓展到一般的结论首先说明的是这里所说的函数对称性指的是一个函数自身的对称性，而不是两个函数之间的对称一、轴对称 这里我们要讲的是研究方法： 先来看偶函数，偶函数的图形是关于轴对称的，它具有代数形式是，如何从图象的对称性得到这个代数形式呢？若有两个互为相反数的自变量和，由于图象是关于轴对称的，所以在与处的函数值是相等的，但在这个过程中我们隐藏了一些想法：为什么要取互为相反数的两个自变量呢？因为对称轴是，所以在对称轴左右两边找两个对称的东西，和可以理解为一个是，一个是，也可以理解为与中点为由此角度可以想想，若将对称轴换成呢？此时若想构造轴对称该如何构造？该取什么样的自变量？ 若
4、，则，一定要写成的形式，只需两个括号中的和为即可第1种思考方式：若关于对称，则关于对称的两自变量所对应的函数值相等；第2种思考方式：因为轴对称图形上对称两点连线的中点在对称轴上，所以若和两点关于轴对称，则两自变量满足（中点在对称轴上）如：，括号中的和为，的图象关于对称一定是函数值相等才有轴对称这一说法，若两自变量和为常数且函数值相等，则可表达轴对称：，则关于轴对称 再如：若，此时是否有对称轴？有，仍然为当讨论轴对称时，只要看括号内的和是否为常数就行，不要受其它因素的干扰例：若是偶函数，则的对称轴为_在上一个板块，我们已经从图象平移角度得到过对称轴，这里我们从函数方程角度出发，由关于对称上面的说
5、法只是针对平常出现的，更变态的情况一般不可能出现，如若有，则的图象否有对称性？不一定有，因为和的关系不能确定，但严格意义上还是关于对称，因为与可通过去解决若，则的图象否有对称性？有，关于对应有限制时，不一定对称，如，因为时，的情况无法确定当然，这些问题本身就非常变态了，不必深究本质上来说，当与的值域的并集为时，可以得到对称，否则得不到知识点睛一般的轴对称： 函数的图象关于直线对称； 若函数满足，则的图象关于直线成轴对称【练习1】若函数满足：，则的图象的对称轴为_；若函数满足：，则的图象的对称轴为_；若函数满足：，则的图象的对称轴为_【解析】 ；经典精讲考点2：二次函数的对称性 二次函数是一类很
6、特殊的轴对称函数，对于二次函数来说，只需要两个特殊点的函数值相等就可得到它的对称轴，这是因为它的对称性+单调性决定的对于一般的轴对称函数，并没有这样的性质【铺垫】函数对任意的均有，那么、的大小关系是（）A BC D【解析】 C【例2】 二次函数，若，则等于（ ）A B C D二次函数，若，则等于（ ）A B C D设且，则（ ）A B C D（目标班专用）已知函数（），若，且，则（ ）A. B.C. D.的大小不能确定【解析】 D C B B；考点3：轴对称函数的性质【铺垫】若函数在上为减函数，且对任意的，有，则（ ）A B C D【解析】 D【例3】 已知函数，当时，且恒成立，则当时， 已知
7、为定义在上的函数，且为偶函数，且当时，则当 时，_设函数对于一切实数都有，如果方程有且只有三个不相等的实数根，那么这三根之和等于 （目标班专用）已知函数满足；时，为增函数；，且，则与的大小关系是 【解析】 二、中心对称 对称中心：每个点绕着对称中心旋转后还在图象上奇函数中两自变量的中点是中间的，两函数值中点是，有若将对称中心移到点，可同理，从出发，向左向右距离相等，使其自变量对称，则它们对应的函数值的中点应为，所以当自变量关于对称时，函数值关于对称 例：，则关于中心对称当描述对称性时一定要注意，自变量的和是一个常数时，所表达的一定是对称性，因为对称性就是往两边走例：，则是中心对称的，对称中心为
8、 ，则关于中心对称知识点睛一般的中心对称： 函数的图象关于点对称 若函数满足，则的图象关于点成中心对称【练习2】若函数满足：，则的图象的对称中心为_；若函数满足：，则的图象的对称中心为_；若函数满足：，则的图象的对称中心为_【解析】 ；经典精讲考点4：中心对称函数的性质【例4】 已知函数当时，且恒成立，则当时， 已知当时，且恒成立，则当时，_已知是定义在上的函数且为奇函数，则下列说法不正确的是（ ）A函数不是奇函数 BC函数的图象关于点对称D函数的图象关于点对称已知为定义在上的函数，若函数为奇函数，则下列说法不正确的是（ ）A B函数的图象关于点对称C D函数为奇函数（目标班专用）若定义在上的
9、函数满足：对任意，有，则下列说法一定的是（ ）A是奇函数B是偶函数C是奇函数D是偶函数【解析】 ； ； D； D C；考点5：含绝对值的函数的对称性这里研究三种常见的含绝对值的函数：，：绝对值的几何意义是数轴上坐标为的两点之间的距离，从这个角度去理解：绝对值中的两个对应的零点为，表示到这两个零点的距离之和，两零点应关于对称轴对称，故函数的对称轴为且此函数的最小值为同样的，对，表示的是距离之差，当时，函数值一直为，且为最大值；当时，函数值一直为，且为最小值，在时，函数单调递减知识点睛的图象关于直线对称，且函数的最小值为；的图象关于直线对称，且函数的最小值为；的图象关于点对称，且函数的值域为 对上
10、面结论的证明：方法一：可以由函数图象的对称性获得 （） （）方法二：代数证明 ； ； 经典精讲【例5】 设函数的图象关于直线对称，则的值为（ ）A3 B2 C1 D设函数的图象关于点对称，且函数的最大值为，则_用表示，两数中的最小值若函数的图象关于直线对称，则的值为（ ）A B C D（目标班专用）要使得函数的图象有对称轴，的值为_【解析】 A 或； D 或2或44.3函数的周期性(目标班专用)三、函数的周期性的周期为定义为：定义域为，且，满足对于任意的，均有只要确定为一个周期，那么在每个长为的区间中，函数图象会被不停重复，此区间中的每个性质都会被不停重复下去，所以不可能存在一个周期函数只有一
11、个零点，周期性是一种重复的表达若为周期，那么的任何整数倍也都是它的周期例：函数的周期，当时，则当时，_答案：图象重复，但解析式不一样，解析式的形式是相同的周期性的描述：自变量的差为常数时，函数值保持不变如：，差都为；而，差也一定，也都为周期性的常见表达：，函数的周期；半周期表示：若满足后面两式中的任意一个有周期考点6：函数的周期性与半周期知识点睛1对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有 ，那么函数就叫做周期函数非零常数叫做这个函数的一个周期2如果周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期3 若函数满足：，则函数是周期为的函数； 若函
12、数满足：，则函数是周期为的函数 若函数满足：，则函数是周期为的函数（其中为常数，且）【练习3】如果函数满足下面的关系式，写出它的周期：；【解析】 ；经典精讲【例6】 若是上周期为的奇函数，且满足，则（ ）A B C D定义在上的函数满足且则= 设定义在上的函数满足，若，则 设函数是上的奇函数，且，则 【解析】 A ； ； ；【拓展】已知函数满足，且则 【解析】考点7：对称性与周期性综合问题知识点睛1双对称性函数具有周期性 若函数的图象关于点，及点对称，则函数是周期为的函数证明： 若函数的图象关于直线及对称，则函数是周期为的周期函数证明： 若函数图象关于直线对称，且关于点对称，则函数是周期为 的
13、周期函数证明：2注意区别如下四个关系式反映的函数性质：有对称轴；：有对称中心；：有周期；：有周期 结论:前面的正负相反的表示对称性，正负相同表示周期性在等号两边，且表示对称性时，前面的符号相同表示轴对称，符号相反表示中心对称；在等号两边，且表示周期性时，符号相同直接反映周期，符号相反反映半周期经典精讲【例7】 定义在上的偶函数满足，如果这个函数在上是增函数，则在上函数是（ ）A增函数 B在上是减函数，在上是增函数C减函数D在上是增函数，在上是减函数已知是定义在上的奇函数，且当时，则的值是（ ）A0B2CD1已知是奇函数，且对定义域内任意自变量满足，当时，则当时，_；当，时，_【解析】 A C
14、，备注：周期性问题只有目标班有，所以习题中没有周期性的问题，下面的练习可以作为学生课上或课后的练习其中练习3难度较大，也可以当成拓展例题【练1】定义在上的函数是偶函数，且若在区间上是增函数，则（ ）A在区间上是增函数，在区间上是增函数B在区间上是增函数，在区间上是减函数C在区间上是减函数，在区间上是增函数D在区间上是减函数，在区间上是减函数【解析】 B；【练2】定义在上的偶函数满足：，且在上是增函数，下面关于的判断：；的图象关于直线对称；在是增函数；在上是减函数其中正确的判断是_（把你认为正确的判断的序号都填上）【解析】 ；【练3】是定义在上的以为周期的奇函数，则方程在区间内解的个数的最小值是
15、（ ）A B C D【解析】 C有一个结论：若是定义在上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为，则的值为因为，所以，若的图象的对称轴为，则的图象的对称轴为_；的图象的对称轴为_；的图象的对称轴为_【解析】 ；与是关于轴对称的，故有对称轴；向右平移一个单位得到，故的对称轴为因为，从而，故，记，则有，即有对称轴，即有对称轴实战演练【演练1】对于二次函数，及任意的有( )AB C D【解析】 B【演练2】若二次函数的对称轴为且其图象过点，则的值为（ ）A B3 C2 D1【解析】 A【演练3】若函数满足，且时，则时，_【解析】 ；【演练4】 若函数满足，时，则时，_【解析】 ；【演练5】 已知定义域为的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（ ）ABC D【解析】 D大千世界（2009年全国理11）函数的定义域为，若与都是奇函数，则（ ）A是偶函数 B是奇函数C D是奇函数【解析】 D与都是奇函数，函数关于点及点对称，函数是周期的周期函数，即是奇函数故选D