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1、双曲线的简单性质编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1 知识与技能理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念2过程与方法锻炼学生观察分析抽象概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力3 情感态度与价值观通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对双曲线对称美的感受，激发学生对美好事物的追求【要点梳理】【高清课堂：双曲线的性质 356749 知识要点二】要点一：双曲线的简单几何性质双曲线（a0，b0）的简单几何性质范围，即，或双曲线上所有的点都在两条平行直线x= -a和x= a的两侧，是无限延伸的因此双曲线上点的横坐标满足，或对称性对于双曲线
2、标准方程（a0，b0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线（a0，b0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心顶点双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点双曲线（a0，b0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（-a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，- b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2ba叫做双曲
3、线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆双曲线的焦点总在实轴上实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线离心率双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作因为ca0，所以双曲线的离心率由c2= a 2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度等轴双曲线，所以离心率渐近线经过点A2、A1作y轴的平行线x=a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的
4、渐近线无限接近，但永不相交【高清课堂：双曲线的性质 356749知识要点一、3】要点二：双曲线两个标准方程几何性质的比较标准方程图形性质焦点，焦距范围，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点轴实轴长=，虚轴长=离心率渐近线方程要点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上要点三：双曲线的渐近线（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为，则其渐近线方程为已知双曲线方程，将双曲线
5、方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，焦点在y轴上）（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为要点四：双曲线中a，b，c的几何意义及有关线段的几何特征双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：cb0，ca0，且c2=a2+b2双曲线，如
6、图：（1）实轴长，虚轴长，焦距；（2）离心率：；（3）顶点到焦点的距离：，；（4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、和角结合起来；（5）与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、，有关角结合起来，建立、之间的关系 要点五：直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切)若即，0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点
7、；0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点直线与双曲线的相交弦设直线交双曲线于点两点，则弦长=同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：；双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”【典型例题】类型一：双曲线的简单几何
8、性质【高清课堂：双曲线的性质 356749例1】例1求双曲线的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率【思路点拨】本题的关键是将双曲线化为标准方程【解析】 把方程化为标准方程，由此可知实半轴长，虚半轴长，双曲线的实轴长，虚轴长，顶点坐标，焦点坐标，离心率，渐近线方程为【总结升华】在几何性质的讨论中要注意a和2a，b和2b的区别，另外也要注意焦点所在轴的不同，几何量也有不同的表示 举一反三：【变式1】双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于()A B4 C4 D【答案】A【变式2】已知双曲线8kx2ky2=2的一个焦点为，则k的值等于（ ）A2 B1 C1 D【答案】C例
9、2方程表示双曲线，求实数m的取值范围【解析】由题意得或或 实数m的取值范围为【总结升华】方程Ax2+By2=1表示双曲线时，A、B异号举一反三：【变式1】求双曲线的焦距【答案】8【变式2】设双曲线的渐近线方程为，则的值为（ ）A4 B3 C2 D1【答案】C类型二：双曲线的渐近线例3 根据下列条件，求双曲线方程（1) 与双曲线有共同的渐近线，且过点；（2）一渐近线方程为，且双曲线过点【思路点拨】求双曲线的方程，应先定型，再定量本题中“定型”是顺利解题的关键：（1）与双曲线有有公共渐进线的双曲线方程可设为；（2），以为渐进线的双曲线方程可设为【解析】（1）解法一：当焦点在x轴上时，设双曲线的方程
10、为由题意，得，解得，所以双曲线的方程为当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为由题意，得，解得，（舍去）综上所得，双曲线的方程为解法二：设所求双曲线方程为（），将点代入得，所以双曲线方程为即（2）依题意知双曲线两渐近线的方程是故设双曲线方程为，点在双曲线上， ，解得，所求双曲线方程为【总结升华】求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为（）举一反三：【变式1】中心在原点，一个焦点在(0，3)，一条渐近线为的双曲线方程是（ ）A B C D【答案】D【变式2】过点(2，-2)且与双曲线有公共渐近线的双曲线是
11、 ( ) A B C D 【答案】A 【变式3】设双曲线的渐近线方程为，则的值为A4 B3 C2 D1【答案】C【变式4】双曲线与有相同的（ ）A实轴 B焦点 C渐近线 D以上都不对【答案】C类型三：求双曲线的离心率或离心率的取值范围例4 已知是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点，若是正三角形，求双曲线的离心率【解析】，是正三角形，【总结升华】双曲线的离心率是双曲线几何性质的一个重要参数，求双曲线离心率的关键是由条件寻求a、c满足的关系式，从而求出举一反三：【高清课堂：双曲线的性质 356749例2】【变式1】(1) 已知双曲线的离心率，过点A(0，-b)和B(
12、a，0)的直线与原点间的距离为，求双曲线的方程(2) 求过点(-1，3)，且和双曲线有共同渐近线的双曲线方程【答案】（1）（2）【变式2】已知双曲线=1与x轴正半轴交于A点，F是它的左焦点，设B点坐标为(0，b)，且ABBF，则双曲线的离心率为（ ）A、 B、 C、 D、【答案】B 【变式3】 若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为_【答案】例5 已知双曲线(a0，b0)的左、右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线离心率e的最大值为_【思路点拨】利用构造关于a，c的不等式，从而求出离心率e的取值范围【解析】由|PF1|PF2|2a及|PF1|4|PF2|
13、得：，又，即，所以，即e的最大值为【总结升华】离心率的取值范围和最值问题关键是要找到双曲线几何量的不等关系；如定义、韦达定理等；从而求出e的范围举一反三：【变式1】已知a、b、c分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax2bxc0无实根，则双曲线离心率的取值范围是()A1e2 B1e2C1e3 D1e0(k21)，则k，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点(3)若43k2=0(k21)，则k=，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况)(4)若43k20且k21则k，方程组无解，故直线与双曲线无交点综上所述，当k=1或k=时，直线与双曲线有一个公共点；当k时，直线与双曲线有
14、两个公共点；当k时，直线与双曲线无公共点【总结升华】本题通过方程组解的个数来判断直线与双曲线交点的个数，具体操作时，运用了重要的数学方法分类讨论，而且是“双向讨论”，既要讨论首项系数1k2是否为0，又要讨论的三种情况，为理清讨论的思路，可画“树枝图”如图：举一反三：【变式1】过原点的直线l与双曲线=1交于两点，则直线l的斜率取值范围是 ( )A BC D【答案】B【变式2】直线y=x+3与曲线x|x|+y2=1的交点个数是 ( )A0 B1 C2 D3【答案】D例8（1）求直线被双曲线截得的弦长；（2）求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程【思路点拨】（1）题为直线与双曲线的弦长问题，可以
15、考虑弦长公式，结合韦达定理进行求解（2）题涉及到直线被双曲线截得弦的中点问题，可采用点差法或中点坐标公式，运算会更为简便解：由得得（*）设方程（*）的解为，则有 得，（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为，它被双曲线截得的弦为对应的中点为， 由得（*）设方程（*）的解为，则 ，且，得或方法二：设弦的两个端点坐标为，弦中点为，则得：， 即， 即（图象的一部分）【总结升华】（1）弦长公式；（2）注意上例中有关中点弦问题的两种处理方法举一反三：【变式1】垂直于直线的直线被双曲线截得的弦长为，求直线的方程【答案】【变式2】双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ）A B C D 【答案】C