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1、直线和圆的位置关系【考纲要求】1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.逐步体会用代数方法处理几何问题的思想；4.直线与圆的方程的综合应用.【知识网络】直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系判定代数方法处理解析几何问题的思想直线与圆的位置关系判定知识的综合应用【考点梳理】【高清课堂：直线和圆的位置关系404994 知识要点】考点一：点与圆的位置关系1点与圆的位置关系：（1）点P在圆C外；（2）点P在圆C上；（3）点P在圆C内。考点二：直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有
2、一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点.2.直线与圆的位置关系的判定方法：(1)代数法：判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线与圆C有公共点；有两组实数解时，直线与圆C相交；有一组实数解时，直线与圆C相切；无实数解时，直线与圆C相离.(2)几何法：设直线，圆，圆心到直线的距离记为，则:当时，直线与圆C相交；当时，直线与圆C相切；当时，直线与圆C相离.要点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半
3、径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.考点三：圆与圆的位置关系1.圆与圆的位置关系：(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.2.圆与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解.有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离.(2)几何法：圆与圆，两圆圆心距，则：当时，两圆相交；当时，两圆外切；当时，两圆外离；当时，两圆内切；当时，两圆内含.
4、要点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.考点四：直线与圆的方程的应用在解决实际问题和平面几何问题方面的应用时，常常运用平面几何知识，先用坐标和方程表示相应的几何元素，把直线与圆、圆与圆的位置关系的结论转化为相应的代数问题.要点诠释：坐标法的实质就是借助于点的坐标，运用解析工具(即有关公式)将平面图形的若干性质翻译成若干数量关系.在这
5、里，代数是工具，是方法，这是笛卡儿解析几何的精髓所在.考点四：有关直线与圆的常用方法1.求圆的切线方程的常用方法：(1)直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；(2)待定系数法：设出切点坐标或切线斜率，由题意列出方程(组)解得切点坐标或切线斜率，写出点斜式，最后将点斜式化为一般式；(3)定义法：根据直线方程的定义求出切线方程.常见圆的切线方程：过圆上一点的切线方程是；过圆上一点的切线方程是：.2.用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三部曲”.第一步：
6、建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.【典型例题】类型一：直线与圆的位置关系【高清课堂：直线和圆的位置关系404994 典型例题一】例1（1）过点向圆C:所引切线的方程为 ；(2)已知直线l: ax+by+c=0和圆O: x2+y2=1, 那么a2+b2c2是直线l和圆O相交的( ) 条件？（A） 充分非必要 （B）必要非充分 （C） 充要 （D）既非充分也非必要【思路点拨】首先判定点与圆的位置关系，进一步确定切线（方程）的条数。（1）若点在圆上，则只有一条切线
7、，可以直接用点斜式求；（2）若点在圆外，可以判定有两条切线（两个方程），再结合图形具体求解。应用点斜式求直线方程时，应注意斜率不存在的情况【解析】（1）点在圆C:上直线的斜率切线的斜率故所求切线方程为即。（2）答案：B根据题意，条件：a2+b2c2，结论：“相交”，显然， a2+b2c2“相交”。举一反三：【变式1】过点向圆C:引切线，切点为、，则= ，直线的方程为 ；【答案】：，例2已知动直线:与圆：。（1）求证:无论为何值，直线与圆总相交；（2）为何值时，直线被圆所截得的弦长最小并求出该最小值【思路点拨】直线与圆相交圆心大直线的距离小于半径，或者直线经过圆内一定点。【解析】解法一:设圆心到
8、动直线的距离为，则.当时，故动直线与圆总相交，且当时，弦长最小，最小值为解法二:直线变形为：.令，解得:，故动直线恒过定点而， 点在圆内，故无论为何值，直线与圆总相交由平面几何知，弦心距越大，弦长越小， 过点且垂直的直线被圆所截弦长最小， , 解得 此时弦长为即当时，直线被圆所截弦长最小，最小值为【总结升华】解法一使用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，解法简便，运算量小解法二从所要证的结论分析，什么样的动直线总与定圆相交？一组平行线？不可能！那么可能是过定点的直线系，且定点必在圆内！于是抓住动直线与定圆的几何特征，数形结合，生动直观，迅速解决了问题举一反三：【变式1】已知直线：和圆：.（
9、1）时，证明与总相交。（2）取何值时，被截得弦长最短，求此弦长。【答案】：（1）将直线整理成点斜式方程，则直线过定点，斜率为.将圆整理为标准方程，则圆心，半径. .点在圆内，故时， 与总相交。（2）由，当与垂直时，被截得弦长最短，当即时，弦长最短，设弦端点为、，则，即最短弦长为。【变式2】若直线与圆相交，判断点与圆的位置关系。【答案】：直线与圆相交，则圆心到直线距离小于半径 ，即, 整理得，即点到圆心的距离大于半径, 点在圆外。类型二：圆与圆的位置关系例3.已知圆与圆.(1)求证：圆与圆相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程.【解析】(1)因为圆的半径为，圆心为(0，0)，圆的半径为4，圆心为
10、，所以，所以，所以两圆相交(2)设两圆交于点、，则A、B坐标均满足圆的方程，即两式相减，得，即同理故、均满足，所以过A、B的直线方程为【总结升华】(2)中用到了“设而不求”的思想，把两个相交圆的方程相减即为公共弦所在直线的方程举一反三：【变式1】过点M(2，4)向圆C：(x-1)2+(y+3)2=1引两条切线，切点为P、Q，求P、Q所在的直线方程.【思路点拨】画出如图的示意图，根据对称性知P、Q在以M点为圆心，MP为半径的圆上.直线PQ为两圆的公共弦，两圆方程相减即得公共弦方程.解：因设P为切点，故有CP2+PM2=CM2，解得PM=7，易知P、Q在以M点为圆心，MP为半径的圆上，它的方程是(
11、x-2)2+(y-4)2=49，即x2+y2-4x-8y-29=0. 又P、Q为圆C上的点，所以它们满足方程(x-1)2+(y+3)2=1，即x2+y2-2x+6y+9=0. -，得2x+14y+38=0，即x+7y+19=0.这就是两圆所有公共点都满足的方程，且易知其为一直线方程.又因P、Q两点是两圆仅有的两个公共点，则它们确定的直线方程也就是两圆的公共弦直线方程，即x+7y+19=0.【总结升华】在处理问题时要想到圆的有关性质，这样可以避免繁杂的计算，上述解答回避了求切点问题，思路简洁明了.例4.已知圆和圆，求圆，圆的公切线方程【解析】由圆的圆心坐标为，半径，圆的圆心坐标为，半径，则，所以
12、两圆相离，有四条公切线设公切线方程为，则圆到切线的距离等于 则圆到切线的距离等于 解、所联立的方程组得，或，或，当斜率不存在时，亦与两圆相内切 所求切线方程为，或，或，或【总结升华】(1)对于求切线问题，注意不要漏解，主要是根据几何图形来判断切线的条数(2)一般地，两圆的公切线条数为：相内切时，有一条公切线；相外切时，有三条公切线；相交时，有两条公切线；相离时，有四条公切线类型三：直线与圆问题的综合应用例5已知圆:, 点为圆上一动点，求的最大值与最小值；【思路点拨】解决与圆有关的最值问题，数形结合或利用圆的参数方程进行求解是两种非常重要和常见的方法。【解析】方法一：设，则直线：与圆相切时，取得
13、最大值与最小值。由圆心到直线的距离得故，。方法二：由，三角换元得，（为参数）故，。【总结升华】解决最值问题一定要注意结合所求最值代数式的几何含义，数形结合，把代数问题转化为集合问题加以解决，或者有时利用圆锥曲线的参数方程，也能使问题迎刃而解，同学们 一定要注意 对 这两种方法的掌握。举一反三：【变式】已知圆:, 点为圆上一动点。（1）求的最大值与最小值；（2）若，求的最大值与最小值。【答案】：（1）设，则.*点P(x, y) 既在直线l: kx-y=0上，又在圆C上，即l与圆C有公共点 dC-l =2，解得k. ,.(2)令 u=|PA|2+|PB|2=(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=
14、2(x2+y2)+2=2|PO|2+2欲求u最大（小）值，需求出|PO|的最大（小）值，而|PO|max=|CO|+2=+2=7,|PO|min=|CO|-2=5-2=3， umax=272+2=100,umin=232+2=20.例6.如图，已知定圆的半径为3，定直线与圆相切，一动圆与相切，并与圆相交的公共弦恰为圆的直径，求动圆圆心的轨迹方程。【思路点拨】建立恰当的直角坐标系，充分利用这些几何性质，问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？【解析】取过O点且与平行的直线为轴，过O点且垂直于的直线为轴，建立直角坐标系。设动圆圆心为，圆与圆的公共弦为，圆与切于点，
15、则为圆的直径，垂直平分于，由勾股定理得，而，化简得，这就是动圆圆心的轨迹方程。【总结升华】求轨迹方程的一般步骤：“建系，设点，找关系式，化简，除瑕点”。举一反三：【变式1】 已知圆x2+y2=16,A（2，0），若P,Q是圆上的动点，且，求的中点的轨迹方程【答案】：设中点，如图，为的中点，由垂径定理得，而，化简得，这就是动圆圆心的轨迹方程。【变式2】已知两直线:, :, 有一动圆与、都相交，且、被截在圆内的两条弦的长度分别为定值26、24，求动圆圆心的轨迹方程。【答案】：设点,动圆的半径为，到、的距离分别记为、由垂径定理，有: ，即整理得.动圆圆心的轨迹方程为.例7.某市气象台测得今年第三号台
16、风中心在其正东300 km处，以40 km/h的速度向西偏北30方向移动.据测定，距台风中心250 km的圆形区域内部都将受到台风影响，请你推算该市受台风影响的起始时间与持续时间.(精确到分钟)【思路点拨】利用坐标法来求解.如图，不妨先建立直角坐标系xOy，其中圆A的半径为250 km，过B(300，0)作倾斜角为150的直线交圆于点C、D，则该市受台风影响的起始与终结时间分别为C开始至D结束，然后利用圆的有关知识进行求解.解：以该市所在位置A为原点，正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系，开始时台风中心在B(300，0)处，台风中心沿倾斜角为150方向的直线移动，其轨迹方程为y=(x-300)
17、(x300).该市受台风影响时，台风中心在圆x2+y2=2502内，设射线与圆交于C、D，则CA=AD=250，台风中心到达C点时，开始影响该市，中心移至D点时，影响结束，作AHCD于H，则AH=ABsin30=150，HB=，CH=HD=200，BC=-200，则该市受台风影响的起始时间t1=1.5(h)，即约90分钟后台风影响该市，台风影响的持续时间t2=10(h)，即台风对该市的影响持续时间为10 h.【总结升华】应用问题首先要搞清题意，最好是画图分析，运用坐标法求解，首先要建立适当的坐标系，设出点的坐标.还要搞清里面叙述的术语的含义.构造圆的方程进行解题(如求函数的最值问题)时，必须充
18、分联想其几何意义，也就是由数思形.如方程y=1+表示以(0，1)为圆心，1为半径的上半圆，表示原点与曲线f(x，y)=0上动点连线的斜率.举一反三：【变式1】一艘轮船在沿直线返回港口途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航向，那么它是否会受到台风的影响?解：以台风中心为坐标原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的坐标系，取10 km为单位长度.这样受台风影响的圆形区域的边界所对应的以O为圆心的圆的方程为x2+y2=9，轮船航线所在的直线方程为4x+7y-28=0；而圆心O(0，0)到直线的距离.直线与圆无公共点，故轮船不会受台风影响.