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1、不等式的综合应用【考纲要求】1在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力；2掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式；3通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题；4通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力；5能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等
2、式的问题 6通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识【知识网络】不等式的综合应用解不等式问题实际应用问题不等式中的含参问题不等式证明 【考点梳理】考点一：不等式问题中相关方法 1解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一通过换元，可将较复杂
3、的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰2整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用3在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观
4、、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰通过复习，感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用4比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差(商)变形判断符号(值) 5证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析综合能力、正逆思维等，将会起到很好的促进作用在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系
5、列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的6证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的基本方法要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点 考点二：不等式与相关知识的渗透1不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用在解决问题时，要依据题设、题断的结构特
6、点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。2不等式应用问题体现了一定的综合性这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件利用不等式解应用题的基本步骤：审题，建立
7、不等式模型，解数学问题，作答。要点诠释：解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来求解，。解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用。不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基础上，选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。【典型例题】类型一：不等式求解问题例1解关于的不等式【思路点拨】考虑转化为整式不等式。解：不等式可化为1）当a=1时，原不等式的解集为；2）当时，原不等式的解集为；3）若，则原不
8、等式可化为，故当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为【总结升华】分式不等式应移项、通分，转化为整式不等式。这是解决分式不等式的基本方法和思路。举一反三：【变式1】己知三个不等式： (1)若同时满足、的值也满足，求m的取值范围；(2)若满足的值至少满足和中的一个，求m的取值范围。解：记的解集为A，的解集为B，的解集为C。解得A=（-1，3）；解得B=（1）因同时满足、的值也满足，ABC 设，由的图象可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3时，即可满足（2）因满足的值至少满足和中的一个，因此小根大于或等于-1，大根小于或等于4，因而【高清课堂：基本不等式394889
9、 典型例题一】【变式2】已知函数（1）若的图像与x轴恰有一个公共点，求a的值；（2）若方程至少有一个正跟，求a的范围。解：（1）当时函数为一次函数，符合题意；当时，函数为二次函数，则，所以综上，.（2）当时，为一次方程，不符合题意；当时， 为二次方程，显然所以时有一正一负根，符合题意；当时，综上，a的范围.类型二：不等式证明例2已知ABC的三边长是，且为正数，求证：.【思路点拨】寻找各项的统一性，可以从函数单调性方面来考虑。证明：设，易知是的递增区间，即而【总结升华】函数是高中数学的重要知识，很多问题都可以从函数的角度来思考和分析。举一反三：【变式1】设函数f(x)定义在R上，对任意m、n恒有
10、f(m+n)=f(m)f(n)，且当x0时，0f(x)1.(1)求证：f(0)=1，且当x0时，f(x)1；(2)求证：f(x)在R上单调递减；(3)设集合A= (x，y)|f(x2)f(y2)f(1)，集合B=(x，y)|f(axg+2)=1，aR，若AB=，求a的取值范围.证明：令m0，n=0得：f(m)=f(m)f(0).f(m)0，f(0)=1取m=m，n=m，(m0)，得f(0)=f(m)f(m)f(m)=，m0，m0，0f(m)1，f(m)1(2)证明：任取x1，x2R，则f(x1)f(x2)=f(x1)f(x2x1)+x1=f(x1)f(x2x1)f(x1)=f(x1)1f(x2
11、x1)，f(x1)0，1f(x2x1)0，f(x1)f(x2)，函数f(x)在R上为单调减函数.(3)由，由题意此不等式组无解，数形结合得：1，解得a23a，类型三：不等式与相关知识的融合例3己知，（1）（2），证明：对任意，的充要条件是；（3）讨论：对任意，的充要条件。【思路点拨】已知函数是二次函数，可以综合从二次函数的特征入手思考。证明：（1）依题意，对任意，都有（2）充分性：必要性：对任意（3）即 而当【总结升华】在证明充要条件时，需要既证明充分性又要证明必要性，不能缺漏。举一反三：【变式1】已知奇函数知函数 令 要使10 当 30当 综上： 类型四：不等式相关应用题例4如图，某隧道设计
12、为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽是多少？（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程最小？（半个椭圆的面积公式为s=柱体体积为：底面积乘以高，本题结果均精确到0.1米）【思路点拨】显然本题是一个椭圆模型的实际问题，应该考虑从椭圆方面入手。【解析】1)建立如图所示直角坐标系，则P（11，4.5）椭圆方程为：将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程得故隧道拱宽约为33.3米2)由椭圆方程故当拱高约为6.4米,拱宽约为31.1米时,土方工程量最小.【总结升华】在解决实际应用问题中，模型识别很重要，需要从题目给出的已知条件中辨别出正确的数学模型。