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1、数列求和三大方法第4讲 满分晋级 数列5级求数列通项方法汇总 数列4级数列求和三大方法数列3级等比数列深入知识切片 数列的形式多样，除了较简单的等差和等比数列外，还有很多其它各种数列，求和方法也相对灵活多样，本讲讨论主要的几种数列求和方法考点1： 分组求和知识点睛有些数列，直接求和不易进行，可以将便于求和的项放在一起进行分组求和如有些数列可以对奇偶项分别求和，此时要注意项数分奇偶讨论；有些数列可以将每一项适当拆开，再进行分组；有些数列首尾项相加后为定值，可以用倒序相加的方法分组求和：如果对数列求前项和时，本身恰好是若干比较简单的通项的组合，那么就可以将之转化为求几个更简单的数列（一般是等差或等
2、比数列）的和，这种方法称为分组求和 除了将复杂的通项拆成简单的通项以外，分组求和还有另外一种形式（准确点说应该叫“分项求和”）：如果的通项是分段表示的，那么计算时可以根据的通项形式，将类似的项进行组合，例如：若，则这时候必须要对中的取值分奇偶情形讨论如例即为直接拆分，例1需要分类讨论和局部分组求和，例即为奇偶分组，例讨论奇偶项；例是倒序相加求和经典精讲【铺垫】求下列数列的前项和；数列的通项公式求的前项和【解析】 【点评】数列求和，首先考虑能否直接用等差、等比数列的求和公式求和；其次，考虑能否转化（拆项、合并等）为等差、等比数列，再用公式求和本题通过拆项、合并，构建出等差、等比数列，实现了由非特
3、殊数列求和向特殊数列求和的转化【例1】 求数列的前项和：，（目标班专用）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为，且成等比数列，求数列的前项和求数列的前项和【追问】如果问的是前项和该如何处理？从此问可以引出关于为奇偶不同情况的讨论在数列中，求此数列的前项和的公式【解析】 当时，当时， 前项和为 【追问】 = 【点评】 分组法求和有两种思路，一是根据数列分类再分别求和；二是根据奇偶分类之所以对奇偶分类也是两两分组必然会导致对总项数奇偶的讨论【拓展】已知函数，且，则_【解析】 ； 倒序相加法：倒序相加可以看成特殊的分组求和，和一般的分组求和法区别只在于其分组是确定的倒序相加是推导等差数列的前项和公式
4、时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到个若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和此方法在函数中也有应用【例2】 已知，求；已知，求；求；已知，求【解析】 ； ； 考点2： 裂项相消法知识点睛如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和常用裂项形式有：； ； ；裂项相消是分解与组合思想在数列求和中的具体应用裂项法的实质是将数列中的每一项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的讲完后结合铺垫让学生对进行总结然后可以讲例题的
5、，讲完以后可以让学生尝试及例，从裂项中选出一个合适的，比如就不是很实用经典精讲【铺垫】求下列数列的前项和；【解析】 【例3】 数列的通项公式，若它的前项和为，则项数为 已知数列：1，求它的前项和（目标班专用）已知数列为等差数列，首项，公差，且，设数列的前项和，则 若等式对于所有的正整数都成立，则_，_【追问】已知数列，求该数列前项和【解析】 ； 【追问】【例4】 已知函数满足， 求和的值； 若数列满足，求数列的通项公式； 若数列满足，求【解析】 ； ； 【备选】已知正项数列中，点（）在函数的图象上，数列的前项和求数列和的通项公式；设，求的前项和【解析】 【备选】设等差数列的前项和为，等比数列的
6、前项和为，已知（）， 求数列、的通项公式； 求和：【解析】 ， 考点3：错位相减法知识点睛这种方法是在推导等比数列的前项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列的前项和，其中、分别是等差数列和等比数列此种方法在等比数列初步中涉及过，教师在讲解过程中根据学生掌握情况适当调整，让学生理解用错位相减法的数列通项的式子结构这种方法有固定的套路和解题步骤，唯一需要留意的是运算过程中首项和尾项的系数和指数经典精讲【铺垫】求数列的前项和【解析】 【例5】 求数列的前项和求数列的前项和【解析】 【例6】 设数列满足， 求数列的通项； 设，求数列的前项和【解析】 【挑战4分钟】求和：；答案：；【例7】 （目标
7、班专用）在等差数列中，前项和满足条件， 求数列的通项公式； 记，求数列的前项和【解析】 1已知数列，求该数列的前项和【解析】 方法一：从代数角度看，可以按如下形式对进行变形：，所以， 其中式中的三次方项构成了一个可消去的数列，剩余部分是一个等差数列，这样问题就得以解决了，因此对式两边累加得：类似的方法适用于三次，四次或更高次方求和的情况方法二：我们可以通过几何法来解决：相当于把如下三角形里所有的数加在一起为了把三角形里所有的数加在一起，我们可以对图形进行如下操作：即把三角形旋转到如图所示的三个位置，然后把每个三角形的对应位置相加就可以得出这样一个三角形：所以一共是个相加，就是，再除以三就可以了
8、所以2已知数列，求该数列的前项和【解析】 ，所以， 其中式中的四次方项构成了一个可消去的数列，一个平方数列求和，以及一个等差数列，这样问题就得以解决了，因此对式两边累加得：实战演练【演练1】设数列的前项和为，则等于（ ）ABCD【解析】 D【演练2】数列的通项公式是，求它的前项和【解析】 【演练3】已知，则 _【解析】； 【演练4】为整数，数列的通项，求的前项和【解析】 当时， ； 当时， 当时， 【演练5】已知函数，且对一切正整数都有成立 求数列的通项； 求【解析】 【演练6】 已知数列是等差数列，且，求数列的通项公式；令，求数列的前项和【解析】 大千世界（全国高中数学联赛辽宁省初赛试题）设，（），、分别为数列、的前项和记，则数列的前项和为（ ）A B C D【解析】 D；于是不妨设，于是-得即，即将代入即可