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1、对数函数与相关复合函数第6讲 函数16级集合与简易逻辑满分晋级 函数14级指数函数与相关复合函数函数15级对数函数与相关复合函数新课标剖析 当前形势函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷(理)中考查510分高考要求内容要求层次具体要求ABC对数的概念及其运算性质理解对数的概念及其运算性质；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用换底公式知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数对数函数的概念及其性质通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对
2、数函数的单调性与特殊点指数函数与对数函数互为反函数（且）知道指数函数与对数函数互为反函数（且）北京高考解读2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）2013年（新课标）第3题5分第13题5分第6题 5分第14题 5分第6题 5分第13题 5分第14题 5分第5题 5分6.1对数与对数运算考点1：对数的性质知识点睛1对数的概念一般地，如果，且，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数关系式指数式底数指数幂（值）对数式底数对数真数2对数恒等式与对数的性质对数恒等式：对数（且）具有下列性质： 零和负数没有对数，即； 1的对数为零，即； 底的对数等于1，即
3、3常用对数与自然对数：对数（且）， 当时，叫做常用对数，记做； 当时，叫做自然对数，记做为无理数，对数式与指数式的关系及相互转换利用对数式与指数式这一关系，可以把指数与对数进行互化，从而使问题顺利地得到解决，求某些对数值就可把它转化为指数问题暑假知识回顾求下列各式中的 ；【解析】 ；经典精讲【例1】 在对数式中，实数的取值范围是（ ）A或 BC或D设，则_；设，则_若，则（ ）A B C D （目标班专用）已知，那么等于（ ）A B C D【解析】 C；C；C考点2：对数的运算知识点睛1对数的运算性质：如果，且，那么： ；（积的对数等于对数的和）推广 ；（商的对数等于对数的差） （正数幂的对数
4、，等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数）2换底公式：（）换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于且不等于的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的【教师备案】换底公式的一个重要应用：；还有一个比较常用的变形公式是：暑假知识回顾1下列各等式中，正确运用对数运算性质的是（ ）A BC D【解析】 D2求下列各对数值； ； 【解析】 ；3已知，那么用含，的代数式表示为（ ）ABCD【解析】 C4若、，且、，则（ ）A B C或 D、为一切非的正数【解析】 C经典精讲【例2】 求下列各值； ； ； ；（目标班专用）（目标班专用）按照要求填空 已知，则_（用，表示） 计算：_（目标班专用）
5、计算：_【解析】 ； ； ； ； ；【例3】 （目标班专用）若，且，则_（目标班专用）若，则_【解析】 ；6.2对数函数 知识点睛1对数函数：我们把函数且）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是，值域为实数集2对数函数的图象和性质：函数（且）的图象特征和性质图象性质定义域为值域为当时，即函数图象过定点当时，；当时，当时，；当时，在上是增函数在上是减函数【说明】对数函数的底越大，函数图象在轴上方部分越偏居右侧，如图所示考点3：对数函数的图象经典精讲【例4】 若函数（，）的图象过两点和，则_，_设且，函数的图象恒过定点，则的坐标是（ ）ABCD在同一坐标系中画出函数，的图象，可能正确的是（ ）
6、（目标班专用）函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）【解析】 A； D； D；考点4：对数值的大小比较知识点睛 若两对数的底数相同，则由对数函数的单调性（底数为增函数；为减函数）比较 若两对数的底数不同而真数相同，如与的比较（，） 当时，当时，；当时， 当时，当时，；当时， 如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量进行比较暑假知识回顾1比较大小（填“”，“”或“”） _； _； _； _【解析】 ；2若，则( )ABCD【解析】 A经典精讲【例5】 （2012北京西城高三一模理6）若，则下列结论正确的是（ ）A B C D若，则在这四个数中最大的一个是_ 若，则的取值范围为_； 若
7、，则的取值范围为_； 若，则的取值范围为_； 若，则的取值范围为_（目标班专用）设均为正数，且，则（ ）A B C D【解析】 D ； ；或 A【拓展】 设，且，试比较与的大小【解析】 【备选】求不等式的解集【解析】 【点评】 对于含有参数的两个对数值的大小比较，除了要注意挖掘隐含条件外，还需要对进行讨论不过对于这一类的大小比较问题，并不是底数为参数时，就一定要讨论，而应遵循的原则是：尽量回避讨论，尽量推迟讨论考点5：对数函数与指数函数的关系知识点睛 反函数：当一个函数是一一映射时，可以把一个函数的因变量作为一个新函数的自变量时，而 这个函数的自变量作为新的函数的因变量我们称这两个函数互为反函
8、数 对数函数与指数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称【教师备案】因为对数函数与指数函数密切相关，所以在学习对数函数的概念、图象与性质时，要处处与指数函数相对照如：指数函数的值域为，变成了对数函数的定义域；而指数函数的定义域为实数集，则变成了对数函数的值域；同底的指数函数与对数函数的图象关于直线对称等暑假知识回顾1若函数是函数的反函数，且，则（ ）A B C D【解析】 A；2已知函数的图象过点，其反函数的图象过点，则 ， 【解析】 经典精讲【例6】 将的图象关于直线对称后，再向右平移一个单位所得图象表示的函数的解析式是（ ）A B C D函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的单调减区间为
9、（ ）A B C D若函数的反函数定义域为，则此函数的定义域为 【解析】 B；C；6.3与对数函数相关的复合函数的性质考点6：对数函数相关的定义域、值域问题暑假知识回顾1 函数的定义域是（ ）ABCD 函数的定义域为 函数的定义域为_【解析】 D； ；2求下列函数的值域；【解析】 ；经典精讲【例7】 求函数在上的最值已知，求函数的最大值与最小值 已知函数在上的最大值比最小值大2，求（目标班专用）已知函数的定义域为，值域是，则_【解析】 ， 时，有最小值；时，有最大值点评：本题易错点容易忽略定义域 或； 或；考点7：与对数函数有关的单调性问题暑假知识回顾1函数的增区间为_；减区间为_【解析】 ，
10、；2函数的增区间为_；减区间为_【解析】 ，3函数的增区间为 ，减区间为 【解析】 ，易错点：容易忽略函数的定义域由解得函数的定义域是函数是由对数函数和二次函数复合而成，求其单调区间及值域时，应从的单调性、值域入手，并结合的单调性统筹考虑【方法总结】解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是注意其定义域；二是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数是否大于1进行讨论；三是运用复合函数性质来判断其单调性经典精讲【例8】 判断下列函数的单调性： 函数在上为增函数，则实数的取值范围是_（目标班专用）设，函数在上是增函数，则的取值范围是（ ）A BC D【解析】 在上单调递增，在上单调递
11、减 在上单调递增，在上单调递减 B【备选】设，函数在上单调递减，则（ ）A在上单调递减，在上单调递增B在上单调递增，在上单调递减C在上单调递增，在上单调递增D在上单调递减，在上单调递减【解析】 A；考点8：对数函数的综合问题经典精讲【例9】 若定义在的函数单调递减，且，求不等式的解集 若函数若，则实数的取值范围是_解下列不等式；(目标班专用)【解析】 或若满足，满足，求的值【解析】 由题意知所以、均满足方程 由函数图象法易知有且只有一个交点，所以方程有唯一实根所以所以，即也可令，得到，；与的图象关于对称，故它们与的图象的交点（结合图象知，都存在且都唯一）也关于对称，从而关于的交点对称，即，从而
12、实战演练【演练1】计算: 【解析】 【演练2】已知函数，则函数的值为_【解析】【演练3】若，则下列结论正确的是（ ）A B C D【解析】 D【演练4】 函数的定义域为 函数的值域是（ ）A B C D【解析】 A【演练5】已知（且）， 求的定义域； 求使的的取值范围【解析】 定义域为 当时，所求范围为；当时，所求范围为【演练6】函数在上为减函数，则实数的取值范围是_【解析】 大千世界（2009福建高一数学竞赛第11题）设是不超过的最大整数，则【解析】记（），则，若，则，符合条件的整数有2个；若，则，符合条件的整数有6个；若，则，符合条件的整数有18个；若，则，符合条件的整数有54个；若，则，符合条件的整数有162个；若，则，结合知，符合条件的整数有个