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1、基本不等式编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】 1. 理解基本不等式的内容及其证明.2. 能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小求取值范围等问题.【要点梳理】要点一：基本不等式1.对公式及的理解.（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.2.由公式和可以引申出常用的常用结论：（1）（同号）；（2）（异号）；（3）或.要点诠释： 可以变形为：，可以变形为：.要点二：基本不等式的证明方法一：几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这
2、样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果，我们用、分别代替、，可得：如果，则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，（当且仅当时取等号“=”）方法二：代数法 ，当时，；当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.要点诠释：特别的，如果，我们用、分别代替、，可得：如果，则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，（当且仅当时取等号“=”）.要点三：基本不等式的几何意义如图，是圆的直径，点是上
3、的一点，过点作交圆于点D，连接、.易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.要点诠释：1. 在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2. 如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.要点四：用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三等. 一正：函数的解析式中，各项均为正数； 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； 三等：函数的解析式中
4、，含变数的各项均相等，取得最值.要点诠释：1两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.如是成立的，而是不成立的.2两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.当a=b取等号，其含义是；仅当a=b取等号，其含义是.综合上述两条，a=b是的充要条件.3基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.4利用两个数的基本不等式求函数的最值必
5、须具备三个条件：各项都是正数；和（或积）为定值；各项能取得相等的值.5基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；在定义域内，求出函数的最大或最小值；写出正确答案.【典型例题】类型一：对公式及的理解例1. ，给出下列推导，其中正确的有 .（1）的最小值为；（2）的最小值为；（3）的最小值为.【思路点拨】利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可【答案】（1）；（2）【解析】（1），（当且仅当时取等号）.（
6、2），（当且仅当时取等号）.（3），（当且仅当即时取等号），与矛盾，上式不能取等号，即.【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：“一正”，“二定”，“三等”，缺一不可.举一反三：【变式1】下列结论正确的是()A当且1时，B当0时，C当2时，的最小值为2D当02时，无最大值【答案】B【变式2】设，R，则“1”是“”成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】2|x|y|x|2|y|2x2y21，(|x|y|)2x22|x|y|y22.取x0，不满足x2y21，故是充分不必要条件类型二：利用基本不等式证明不等式例2. 已知
7、、都是正数，求证：.【思路点拨】要把基本不等式和不等式左右两边的结构形式一起来考虑. 【解析】、都是正数 （当且仅当时，取等号） （当且仅当时，取等号） （当且仅当时，取等号） （当且仅当时，取等号）即.【总结升华】 1. 在运用时，注意条件、均为正数，结合不等式的性质，进行变形.2. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号.3. 在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.举一反三：【变式】已知、都是正数，求证：.【答案】、都是正数，（当且仅当时，取等号） （当且仅当时，取等号）
8、（当且仅当时，取等号）（当且仅当时，取等号）即.例3. 已知，求证:.【思路点拨】对于“和”式求最小值时，要设法配凑得“积”为定值，常采用“配分母”的办法.【解析】（当且仅当即，等号成立）.【总结升华】注意凑出条件，再利用基本不等式证明.举一反三：【变式1】已知、都是正数，求证：.【答案】、都是正数 ，（当且仅当即时，等号成立）故.【高清课堂：基本不等式392186 例题3】【变式2】已知a0，b0，c0，求证：.【答案】证明：a0，b0，c0，.类型三：利用基本不等式求最值例4. 求函数()的最小值.【思路点拨】本题采用“配分母”的办法，所以整式部分一定应为（x-5）的倍数.【解析】，（当且
9、仅当即时，取等号）故当时，函数()的最小值为32.【总结升华】1. 形如（，）的函数的最值可以用基本不等式求最值；2. 利用基本不等式求最值时，应注意“一正”，“二定”，“三相等”的条件.举一反三：【变式1】已知，当取什么值时，函数的值最小？最小值是多少？【答案】，（当且仅当即时，取等号） 故当时，的值最小为18.【变式2】已知，求的最大值.【答案】， （当且仅当，即时，等号成立）（当且仅当，即时，等号成立）故当时，的最大值为4. 例5. 已知0，0，且，求的最小值.【思路点拨】要求的最小值，根据基本不等式，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请认真体会.【解析】
10、方法一：，x0，y0，（当且仅当，即y=3x时，取等号）又，x=4，y=12当x=4，y=12时，x+y取最小值16.方法二：由，得x0，y0，y9y9，y90，（当且仅当，即y=12时，取等号，此时x=4）当x=4，y=12时，x+y取最小值16.【总结升华】方法一是求条件最值时常用的方法，方法二用了消元的方式化为函数的最值来求.举一反三：【高清课堂：基本不等式392186 例题1】【变式1】已知0，0，且，则的最小值为_.【答案】 【变式2】已知，则y的最小值是（ ）AB4CD5【答案】 ，答案选C例6. 已知.（1）若，求的最小值；（2）若，求的最大值.【解析】（1）方法一：且，即（当且
11、仅当时取等号），的最小值为4.方法二：且，即（当且仅当时取等号），的最小值为4.（2）方法一：，即（当且仅当时取等号），的最大值为4.方法二：，（当且仅当时取等号），的最大值为4.方法三：，（当且仅当时取等号），的最大值为4.【总结升华】1. 两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若，且，为定值，则，等号当且仅当时成立.2. 两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若，且，为定值，则，等号当且仅当时成立.举一反三：【变式1】已知，求的最小值.【答案】，由（等号当且仅当时成立）故当时，的最小值为6.【变式2】已知，求的最大值.【答案】解法一：， （当且仅当即时，等号成立）故当时，的最大值为
12、16.解法二：，即，可得，（当且仅当时，等号成立）故当时，的最大值为16.类型四：利用基本不等式解应用题例7. 某单位用木料制作如图所示的框架， 框架的下部是边长分别为、(单位：)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积为. 问、分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?【解析】由题意可得，.于是，框架用料长度为.当，即时等号成立.此时，.故当约为2.343 m，约为2.828 m时用料最省.【总结升华】用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或
13、最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.举一反三：【变式】如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四周，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？【解析】(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件知4x6y36，即2x3y18.设每间虎笼面积为S，则Sxy.由于，得，即，当且仅当2x3y时等号成立由，解得故每间虎笼长为4.5 m、宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大(2)由条件知Sxy24.设钢筋网总长为l，则l4x6y.，l4x6y2(2x3y)48，当且仅当2x3y时等号成立由，解得.故每间虎笼长为6 m、宽为4 m时，可使钢筋网总长最小