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1、中考总复习：图形的相似-知识讲解（基础）撰稿：赵炜 审稿：杜少波【考纲要求】1.了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质2.探索并掌握三角形相似的性质及条件，并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题3.掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小4.掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置【知识网络】【考点梳理】考点一、比例线段1. 比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n.在两条线段的比a：b中
2、，a叫做比的前项，b叫做比的后项.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项.如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项.2、比例的基本性质：a：b=c：dad=bc a：b=b：c.3、黄金分割把线段AB分成两条线段AC，BC（ACBC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB.考点二、相
3、似图形1.相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形.也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相似图形).2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形.3.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等.相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.5.相似三角形的性质：(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.(2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比.(3)相似三角形的周
4、长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.【要点诠释】结合两个图形相似，得出对应角相等，对应边的比相等，这样可以由题中已知条件求得其它角的度数和线段的长.对于复杂的图形，采用将部分需要的图形(或基本图形)“抽”出来的办法处理.6.相似三角形的判定：(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另
5、一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相 等，那么这两个三角形相似.考点三、位似图形1.位似图形的定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.2.位似图形的分类：(1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外.(2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上.3.位似图形的性质位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.【要点诠释】位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.4.作位似图形的步骤第一步：在原图
6、上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接截取点.【要点诠释】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐 标的比等于k或-k.【典型例题】类型一、比例线段1.在比例尺1：10 000 000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是8 cm，那么甲、乙两个城市之间的实际距离应为 _km.【思路点拨】地图上的比例尺是一种比例关系，即图上距离与实际距离的比.【答案与解析】1：10 000 000=8：80 000 000，即实际距离是80 000 000c
7、m=800km.【总结升华】本题考点:比例性质.举一反三： 【变式】如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点此时，竹竿与这一点相距6m、与树相距15m，则树的高度为_m【答案】因为，所以树高=7.类型二、相似图形【高清课堂：图形的相似 考点7 （3）】2如图，一个矩形ABCD的长AD=cm，宽AB=cm，E、F分别是AD、BC的中点，连接E、F，所得新矩形ABFE与原矩形ABCD相似，求:的值 【思路点拨】根据相似多边形对应边的比相等，即可求得【答案与解析】矩形ABCD的长AD=，宽AB=，则AE=AD=又矩形AEFB与矩
8、形ABCD相似=，即,即【总结升华】本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键3如图，ABC是一块直角三角形的木块，C=90，AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm，要利用它加工成一块面积最大的正方形木块，问按正方形CDEF加工还是按正方形PQRS加工？说出你的理由.【思路点拨】要加工成一块面积最大的正方形木块，有两种方法，利用相似三角形的判定和性质求出两个正方形的边长，比较大小即可.【答案与解析】(1)如图1，设正方形CDEF的边长为x，则有，得x=cm；(2)如图2，设正方形PQRS的边长为y，作CNAB于N交RS于M，而知CN=， 同样有得(cm)，x-y
9、=0，故xy， 所以按正方形CDEF加工，可得面积最大的正方形.【总结升华】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的比等于相似比举一反三：【变式】已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与BDC相似？【答案】设经x秒后，PBQBCD，由于PBQ=BCD= 90，(1)当1=2时，有：， 即；(2)当1=3时，有：，
10、即 经过秒或2秒，PBQBCD.4.如图，已知平行四边形ABCD中，E是AB边的中点，DE交AC于点F，AC，DE把平行四边形ABCD分成的四部分的面积分别为S1，S2，S3，S4下面结论：只有一对相似三角形；EF：ED=1：2；S1：S2：S3：S4=1：2：4：5其中正确的结论是（ ）.A B C D【思路点拨】利用相似三角形的特征和等高三角形的面积比等于底边之比（共底三角形的面积之比等于高之比）.【答案】B.【解析】ABDC，AEFCDF，但本题还有一对相似三角形是ABCCDA（全等是相似的特例）是错的，EF：ED=1：2,是错的SAEF：SCDF=1：4，SAEF：SADF=1：2S1
11、：S2：S3：S4=1：2：4：5，正确【总结升华】和全等三角形一样，中考试题往往把需要证明的两个相似三角形置于其他图形（如等边三角形、等腰直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形）中，在解题时要充分挖掘其中隐含的相等角、成比例的线段和平行线，注意从复杂的图形中分离出基本的相似三角5（2011四川绵阳）已知ABC是等腰直角三角形，A=90，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E,如图1.(1)若BD是AC的中线，如图2，求的值；(2)若BD是ABC的角平分线，如图3，求的值；(3)结合（1)、（2)，请你推断的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究
12、的值能小于吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，请说明理由. 图一 图二 图三【思路点拨】这是一道几何综合题，涉及到的考点有相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；解直角三角形【答案与解析】（1）设CD=AD=a，则AB=AC=2，在RtABD中，由勾股定理得：BD=，A=E=90，ADB=EDC，BADCED，解得：CE=，=.（2）过点D作DFBC于F，BD是ABC的平分线，AD=DF=m，ABC是等腰直角三角形，A=90DF=FC=m,即DC=m，AC=AB=（+1）m,则=，又BADCED,即=2.（3）当D在A点时，当D越来越接近C时，越来越接近无穷大，的取值范围是1
13、设AB=AC=1，CD=x，AD=1-x，在RtABD中，BD2=12+（1-x）2，又RtABDRtECD，即，解得：CE=，若y=，则有3x2-10x+6=0，0x1，解得x=，表明随着点D从A向C移动时，BD逐渐增大，而CE逐渐减小，的值则随着D从A向C移动而逐渐增大，探究的值能小于，此时AD=CD【总结升华】本题考查了相似三角形的判定和性质，本题从中线，角平分线以及中线与角平线相结合的问题来考查，是一道考查全面的好题类型三、位似图形【高清课堂：图形的相似 考点9 （1）】6 . 如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点若ABC与A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是_ 【思路点拨】连接任意两对对应点，看连线的交点为那一点即为位似中心【答案与解析】连接BB1，A1A，易得交点为（9，0）【总结升华】用到的知识点为：位似中心为位似图形上任意两对对应点连线的交点举一反三：【变式】下列图形中不是位似图形的是( ).【答案】C.