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1、抛物线【考纲要求】1.了解抛物线图形的实际背景及形成过程；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；3.掌握抛物线的简单应用；4.理解解析几何中数形结合思想的运用.【知识网络】抛物线数形结合思想标准方程及简单性质抛物线的实际背景及定义【考点梳理】【高清课堂：抛物线及其性质406508 知识要点】考点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线要点诠释：标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离。p0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件。参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具
2、体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程。考点二、抛物线的标准方程抛物线标准方程的四种形式：，.要点诠释：（1）只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴条件时，才能得到抛物线的标准方程；（2）抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下）（3）抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线的一次项的系数为，故其焦点坐标是.一般情况归纳：方程图象的开口方向焦点准线时开口向右时开口向左时开口向上时开口向下（4）用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛
3、物线的标准方程的类型（依据焦点的位置或开口方向），然后求一次项的系数.考点三、抛物线的简单几何性质抛物线标准方程的几何性质1、范围：，抛物线y2=2px（p0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。2、对称性：关于x轴对称抛物线y2=2px（p0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。3、顶点：坐标原点抛物线y2=2px（p0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。4、离心率：.抛物线y2=2px（p0
4、）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。用e 表示，e=1。5抛物线的通径通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。因为通过抛物线y2=2px（p0）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，所以抛物线的通径长为2p。这就是抛物线标准方程中2p的一种几何意义。另一方面，由通径的定义我们还可以看出，P刻画了抛物线开口的大小，P值越大，开口越宽；P值越小，开口越窄【典型例题】类型一：抛物线的标准方程例1. 已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程。【思路点拨】从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次
5、项系数；从实际分析，一般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件，否则，应展开相应的讨论【解析】抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，可设它的标准方程为x2=2py（p0）。点M在抛物线上，即。因此所求方程是。【总结升华】这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向，选择适当的方程形式，准确求出焦参数P.举一反三：【变式1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.（1）焦点到原点的距离为1；（2）过点（1，2）；（3）焦点在直线x-3y+6=0上.【解析】（1）所求抛物线的方程y2
6、=4x或x2=4y；（2）所求抛物线的方程为或；（3）所求抛物线的标准方程为y2=24x或x2=8y.【变式2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴负半轴上，过顶点且倾角为的弦长为，求抛物线的方程.【解析】设抛物线方程为()，又弦所在直线方程为由，解得两交点坐标, ，解得.抛物线方程为.类型二：抛物线定义的理解例2. 已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，则线段AB的中点到y轴的距离为（A） （B）1 （C） （D）【答案】C. 【解析】由抛物线的定义，AB的中点到准线的距离为，所以到y轴的距离为【总结升华】当抛物线的顶点不在原点，对称轴不是坐标轴时，我们只能根据定义求抛物线的方
7、程。举一反三：【变式1】抛物线y2=4mx（m0）的焦点为F，准线为，则m表示（ ）AF到的距离 BF到y轴的距离CF点的横坐标 DF到的距离的【答案】B【变式2】抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ）A B C D0【答案】B方法一：由题意抛物线为，则焦点为，准线为：；由抛物线上的点M（x0，y0）到焦点的距离与到准线的距离相等，得，即M点的纵坐标为，故选择B。方法二：设抛物线上的点M（x，y），则 ， 解得。故选择B。类型三：抛物线定义的应用【高清课堂：抛物线及其性质406508 例3】例3、过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|，则AO
8、B的面积为( )A. B. C. D【解析】根据抛物线定义得，所以直线方程为：得所以则举一反三：【变式1】若点A的坐标为（3，2），F为抛物线y2=2x的焦点，点P是抛物线上一动点，求|PA|+|PF|取得小值时点P的坐标。【答案】|PF|等于P点到准线的距离，A在抛物线内部，如图：|PA|+|PF|的最小值是由A点向抛物线的准线作垂线（垂足为B）时垂线段AB的长度。|PA|+|PF|取最小值时，P点的纵坐标为2，从而得P的横坐标为2。P点坐标为（2，2）类型四：与抛物线有关的轨迹问题例4. 若动圆与定圆:相外切，且与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程.【解析一】设,动圆半径，动圆与直线切于点，圆
9、心，则,即依题意点在直线的左侧，故.化简得,即为所求.【解析二】设,作，过作于，延长交于，依题意有, ,由抛物线定义可知，点轨迹是以为顶点，为焦点，为准线的抛物线，故为所求.【总结升华】求动点的轨迹方程时，可用定义法列等量关系，化简求解；也可判断后，用类似于公式法的待定系数法求解，但要判断准确，注意挖掘题目中的隐含条件，防止重、漏解。举一反三：【变式1】平面上动点P到定点F（1，0）的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程。【解析一】设P点的坐标为（x，y），则有，两边平方并化简得y2=2x+2|x|。即点P的轨迹方程为y2=4x（x0）或y=0（x0）。【解析二】由题意，动点P到定点F
10、（1，0）的距离比到y轴的距离大1，由于点F（1，0）到y轴的距离为1，故当x0时，直线y=0上的点适合条件；当x0时，原命题等价于点P到点F（1，0）与到直线x=1的距离相等，故点P在以F为焦点，x=1为准线的抛线物上，其轨迹方程为y2=4x。故所求动点P的轨迹方程为y2=4x（x0）或y=1（x0）。【变式2】如图，直线于点，点,以为端点的曲线段上的任一点到的距离与到的距离相等.若为锐角三角形，.建立适当的坐标系，求曲线段的方程.【解析一】如图以直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，O为坐标原点.依题意知:曲线段C是以N为焦点，以为准线的抛物线的一段.设其方程为: (,),作,
11、垂足分别为、.由是锐角三角形，故在线段上， ,.，.(,且)即为所求.【解析二】如解法1建立坐标系，且设方程为(,).则,由，得:(1)-(2)得,代入(1)得 或.是锐角三角形，,， （舍去）， 曲线段C的方程为(,且).类型四：与抛物线有关的综合问题例5过抛物线()的顶点作相互垂直的两条弦、.证明：直角的斜边与抛物线的对称轴的交点是一个定点.【解析】不妨设所在直线方程为(), 则所在直线方程为.由，解得或，同理得.当时，的直线方程，即直线交轴于.当且时，.直线的方程为.令，解得.即直线交轴于由、可知，斜边交抛物线对称轴于定点。【总结升华】B点坐标实际上是将A点坐标中换为直接写出的.应注意直
12、线AB斜率不存在的情况.举一反三：【变式1】抛物线以y轴为准线，且过点M(a，b)(a0)，证明：不论M点在坐标平面内的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹的离心率是定值。【答案】设抛物线的焦点F的坐标为(x0，y0)，根据抛物线的定义可知，点M(a，b)到点F(x0，y0)的距离等于点M到y轴的距离，则 又设抛物线焦点A的坐标为(x，y)，则x0=2x，y0=y，代入得(2x-a)2+(2y-b)2=a2，即抛物线的顶点的轨迹方程为：，抛物线顶点的轨迹是椭圆，其中长半轴长为|a|，短半轴长为，则半焦距，所以它的离心率为定值。【变式2】过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线与抛物线相交于P(x1，y1)、Q(x2，y2)两点，求证：（1）；（2）为定值。【证明】由抛物线的方程可得焦点的坐标为。（1）当直线PQ斜率存在时，过焦点的直线方程可设为，由消去x得：ky22pykp2=0 （）当k=0时，方程（）只有一解，k0，由韦达定理得：y1y2=p2。当直线PQ斜率不存在时，得两交点坐标为，y1y2=p2。综上两种情况：总有y1y2=p2。 （2）由得为定值。