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1、统计学专业数学基础课程改革的研究 摘要：面对统计学专业，为培育理论基础扎实、专业应用性强的学生，相应进行其基础课程数学分析和概率论的教学改革。将两学科统筹支配，从教学内容重点的调整、教学内容依次的变更、数学分析和概率论学问点在统计学中的应用以及两课程学问点的相互渗透等方面进行课程教学改革。本文通过诸多实例，详细阐述了教学改革的方法。 关键词：教学改革；统计学；渗透；概率论；数学分析 中图分类号：G642.0 文献标记码：A 文章编号：1674-932440-00101-03 为培育一批理论基础扎实、专业应用性强的统计学专业的学生，对其专业基础课程数学分析和概率论进行相应的教学改革。不仅在两门课
2、程各自的教学中调整了内容重点，渗透相关学问点在统计学后继专业课程中的应用，而且在两门课程同步教学的过程中，合理支配了教学内容的依次，相互渗透两门课程的学问。在统筹支配下，我们进行了数学分析和概率论的课程改革。 一、统计学专业数学分析课程改革的探讨 数学分析内容经典，体系完整，理论推理严密，既对培育学生数学思维有着重要的作用，也为统计学后继课程供应必要的基础学问和应用工具。在数学分析的教学过程中，除了在教学理念中突出数学分析的思想性和增加应用实力，在教学内容中抓住主要内容，融入建模思想，增设试验课程，以及在教学方法中按学生实力，采纳分层等教学改革外，我们结合统计学专业的特点，从以下几个方面进行教
3、学改革的探讨。 第一，调整课程教学的重点。统计学专业以培育理论基础扎实，专业应用性强的学生为目标。在数学分析的教学中，对重要学问点深化讲解，使学生理解其思想，并通过例题加深体会；而对过于繁杂的证明可适当降低要求，且对一些学问点在几何、物理中的应用部分可作为学生课下自学内容。例如在讲授“实数的完备性”这一章的内容时，授课时重点讲解定理的思想，而对定理的证明适当降低要求，并且证明部分在数学分析第三学期讲授。这样支配一方面是由于统计学专业的学生对数学理论证明的要求并不是很高，另一方也可以避开学生在数学分析学习的前期因繁杂的证明而失去信念和爱好，而且可以在有限的课时内讲解更多的例题、以及数学分析学问点
4、在统计学中的应用。例如在学习“定积分的性质和计算”之后，讲解定积分在统计学中的应用，而对于定积分在几何以及物理中的应用略讲。诸如利用定积分求平面曲线的弧长与曲率，旋转曲面的面积等几何应用部分，以及利用定积分求液体静压力，引力等物理应用部分支配作为学生课下自学内容。同样，在讲解隐函数定理、重积分等的应用时，对其在几何、物理中的应用略讲，而讲解其在统计中的应用。这样，一方面可以增加统计学专业学生学习的爱好，感受到数学分析的基础性作用，另一方面让学生提前感受统计学的相关专业学问和应用。 其次，渗透数学分析学问在统计学中的应用。比如在讲授“微分中值定理”、“泰勒公式”、“极值定理”、“定积分”、“隐函
5、数定理”、“傅里叶级数”时，可渗透其在统计学中的应用。在介绍学问点和性质之后，以例题的形式讲解这些学问在统计学中的应用。例如在“多元函数极值问题”的教学中，以一元线性回来模型参数的最小二乘估计为例题，讲解极值判别法在统计学中的应用，并且提出有实际应用背景方面的例题，比如销售收入和广告费用支出之间的关系。这样既使学生了解了数学建模的方法，又使学生体会到了数学分析的奇异，增加了学习的爱好。例如在讲解“导数的运算”时，以数理统计学的最大似然估计中对似然函数求导取得最值点为例题，渗透导数学问在统计学中的应用；在讲解“高阶导数”时，以时间序列分析中的ARIMA模型为例题，渗透高阶求导在时间序列分析中的应
6、用；在讲解“一样连续性”时，以概率统计中特征函数为例题，证明特征函数的一样连续性。这样，既使学生体会到数学分析对统计学专业课程的重要性，又使学生提前了解了统计学中的部分学问点及其应用，增加了学生学习数学分析和统计学课程的爱好，提高了学习的主动性。 第三，调整课程教学内容的依次。为加开更多的应用型统计专业课程，在统计学专业的培育安排中，概率论课程开设在高校一年级其次学期，数理统计课程开设在高校二年级第一学期。这便须要对先修课程数学分析的进度支配加以调整，以便适应后继专业课程的开设。例如学生在学习概率论中“多维随机变量及其分布”的相关学问之前，在数学分析中已经学习了重积分的概念、性质和计算，因而在
7、数学分析三个学期的教学中，应合理调整讲授内容的依次。详细支配如下：讲解了一元函数的极限和微积分后，介绍多元函数的极限、微分学和重积分，之后再讲授数项级数、函数项级数和幂级数的学问；对于实数的完备性部分仅在数学分析第一学期中讲授定理的思想和应用，而将定理的证明部分支配在第三学期讲解；对于曲线积分、曲面积分、含参量积分部分，支配在第三学期讲授，同时隐函数定理、傅里叶级数也支配在第三学期讲授。这样调整数学分析课程教学内容的依次，既可以使得概率论、数理统计等课程正常开展，又可以兼顾数学分析学问体系本身的系统性和完整性。 第四，在数学分析的教学中开设专题。在数学分析第三学期的教学中，学生已经学习了概率论
8、的相关学问，可开设“数学分析方法在概率论中的应用”、“数学分析方法在统计学中的应用”、“概率论方法在数学分析中的应用”等专题。在专题课上，可通过归纳总结、引入相关例题的方式，介绍数学分析学问在概率论、数理统计、回来分析、时间序列等中的应用；同样也可介绍用概率论方法解决极限问题、无穷级数问题、积分问题、恒等式与不等式问题等。通过这些专题使学生体会到数学各学科间千丝万缕的联系，感受到数学的奇异，增加了学生的学习爱好。 二、统计学专业概率论课程改革的探讨 概率论是随机数学的典型代表，其理论性强，内容抽象，应用广泛。结合统计学专业特点，从以下几个方面进行教学改革的探讨。 第一，在教学中运用案例教学法，
9、融入数学建模的思想。一方面细心选择具有实际背景的例题，使学生在学习中感受到概率论广泛的应用性，激发学生的求知欲和学习的爱好；另一方面，在学问点和例题的讲解中，尽量以详细数字代替抽象的数学符号，避开因符号的抽象性而带来学生理解难度的增大，降低概率论在教学过程中的抽象性。 其次，调整课程教学的重点，并且渗透概率论学问在统计学中的应用。我们将从以下四个方面进行教学改革。重点讲解在统计学后继专业课程中运用较多的学问点，并通过例题让学生深化体会这些学问点的内涵和应用。例如“贝叶斯公式”、“二项分布”、“泊松分布”、“正态分布”、“指数分布”、“随机变量函数的分布”、“相关系数”、“大数定律”和“中心极限
10、定理”等学问点。对于一些极限定理，授课时重点讲解定理和性质的思想，并通过例题使学生理解其内涵，学会其应用的方法；而对于证明部分，可适当降低要求，或实行学生课下自学的方式。例如“概率的上连续性”相关性质的证明，常用的几个“大数定律”的证明和“中心极限定理”的证明。由于授课对象为统计学专业的学生，对一些概率论中的非核心内容而在后继统计学专业课程中比较重要的学问点要具体讲解。例如“伽玛分布”、“蒙特卡罗法”、“分位数”等内容。在概率论课程的教学中，渗透概率论学问在统计学中的应用。例如讲解“中心极限定理”在大样本检验中的应用，“二项分布”在符号检验中的应用，“超几何分布”在Brown-Mood中位数检
11、验中的应用，“Lindburg-Levy中心极限定理”在正态随机数的产生和数值计算误差分析中的应用。 第三，在概率论课程上，适当提前讲解部分数学分析的学问。虽然在数学分析课程的教学改革中，对数学分析课程教学内容的依次进行了调整，但是为了保证概率论课程的正常进行，仍需在概率论课上提前讲授数学分析的部分学问点。例如在讲解“概率的公理化定义”和“离散型随机变量数学期望”时，经过教学改革调整后的数学分析课程还未讲授数项级数部分，这便须要在概率论课程上提前讲解级数的定义和肯定收敛的相关学问。这些讲解无需深化，只需满意概率论课程的正常开展即可。 第四，开设处理实际生活中随机问题的专题。通过介绍一些处理概率
12、论问题中既好玩又有用的新思想、新方法与新内容，开阔学生的视野。例如可开设“分赌注问题”、“抽牌嬉戏”、“信封与信配对问题”、“人寿保险问题”、“乘客等车时间问题”、“下电梯问题”、“价格预料”等专题。 三、概率论与数学分析方法的相互应用 虽然数学分析与概率论是数学的两个不同分支，但数学分析的发展为概率论奠定了基础，而概率论中随机性、反因果论也推动着数学分析的发展。二者的紧密结合性不仅体现在学科发展上，而且在教学上也有着相辅相成的意义。 在数学分析教学中融入建模思想，引入用概率解题的方法 概率论思维与一般数学思维的结构类同，通过建立适当的模型，应用概率方法不仅能解决一些随机的数学问题，而且还可以
13、解决一些确定的数学问题。找寻并归纳总结概率方法、模型和概率论中相关定理在数学分析中的应用，比如用概率论学问方法解决极限问题、无穷级数问题、积分问题、恒等式与不等式问题等。将一些确定性的问题转化为随机性的问题，使得数学分析中某些比较繁杂的问题得以高效、简捷地解决，以期激发学生的学习爱好，使学生从中体会到数学的奇异所在。例如用“蒙特卡罗方法”计算定积分，利用“随机变量分布函数”的性质简化积分的计算等。在下述数学分析求重积分的例题中，用一般的近似方法无法求解，而利用概率论中的“大数定律”可获得n重积分的极限值。 例题：设G=x，x，x？摇x+x+x，0x，x，x1，求极限dxdxdx. 解：设随机变
14、量序列，n=1，2，独立同分布，在0，1上听从匀称分布，则有E=，D=.因此dxdxdx =P，Gn=P+ =P+？摇 =P+？摇-E？摇 P-E？摇？摇 由于独立同分布，故独立同分布。运用辛钦大数定律，知： P-E？摇？摇=1 从而得到P+？摇-E？摇=1.即： dxdxdx=1. 在概率论教学中体会数学分析的思想内涵，增加学生的学习爱好 概率论是探讨随机现象统计规律性的一门学科，有广泛的应用性。但同时，自Kolmogrov提出公理化体系之后，概率论中用以解决实际问题主要是通过分析手段。概率论是在数学分析课程的基础上进行教学的，学生在概率论的学习中可巩固数学分析的基础学问，在概率论数学化论证
15、和严密的推理中进一步体会数学分析的内涵，理解数学分析解决问题的思维方式，使学问整体化、系统化。例如，在概率论中讲授“分布函数”时，学生可巩固数学分析中“无穷积分”的学问；在讲授“泊松分布”时，学生可体会“泰勒绽开”的意义；在讲授“正态分布的数学期望与方差”时，学生可通过积分求值edx=的计算过程对数学分析学问有所巩固提高；在讲授“连续随机变量函数的分布”时，学生可巩固“变上限积分”的学问；在讲授“分布”时，学生可相识到“欧拉积分”的重要性；在讲授“连续随机变量的条件分布”时，学生可体会“积分中值定理”的应用。 在概率论教学中，不仅要帮助学生从中体会数学分析的思想内涵，而且通过概率论的实际解题，
16、帮助学生体会到了数学分析的基础性作用，增加了学生的学习爱好。例如在处理“配对问题”“在一个有n个人参与的晚会上，每个人带了一件礼物，且假定各人带的礼物都不相同。晚会期间各人从放在一起的n件礼物中随机抽取一件，问至少有一个人自己抽到自己礼物的概率是多少”时，通过概率的加法公式可得到至少有一个人自己抽到自己礼物的概率为1-+-+-1。当n5时，计算较为繁杂，这时若用e的泰勒绽开，便可得到此概率的近似值，极大地简化了计算。 总之，通过在探究中不断实践，在实践中不断探究，能够很好的进行统计学专业基础课程数学分析和概率论的教学改革。 参考文献： 1华东师范高校数学系.数学分析M.北京：高等教化出版社，2
17、004. 2茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程M.北京：高等教化出版社，2004. 3孙荣恒.趣味随机问题M.北京：科学出版社，2004. 4张德然.概率论思维论M.合肥：中国科学技术高校出版社，2004. 5王梓坤.概率论基础及其应用M.北京：科学出版社，11019：21. 6薛留根.概率论解题方法与技巧M.北京：国防工业出版社，11016：87-89. 7刘幸东，谢彦君.论数学分析与概率论的相互关系J.贵州师范学院学报，2022，27：16-19. 8黄书亭，刘波.数学技术与概率论的发展J.自然辩证法探讨，11015，11：15-21. 9杨静，徐传胜.数学分析对概率论的渗透与推动J.太原理工高校学报，2022，26：50-53. 第11页 共11页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页