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1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流2.61 双曲线的性质【学习目标】1.理解双曲线的对称性、范围、定点、离心率、渐近线等简单性质. 2.能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程. 3.能用双曲线的简单性质分析解决一些简单的问题.【要点梳理】要点一、双曲线的简单几何性质双曲线22221xyab（a0，b0）的简单几何性质范围22221xxaaxaxaQ即或双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a 和 x=a 的两侧，是无限延伸的。 因此双曲线上点的横坐标满足x -a或 xa.对称性对于双曲线标准方程22221xyab（a0，b0） ，把 x 换成 -x，或把 y 换成 -y，
2、或把 x、y 同时换成 -x、-y，方程都不变，所以双曲线22221xyab（a0，b0）是以 x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。顶点双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。双曲线22221xyab（a0，b0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（-a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，-b） ，B2（0，b） 为 y 轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b
3、。a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。双曲线的焦点总在实轴上。实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。离心率双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作22cceaa。因为 ca0，所以双曲线的离心率1cea。由 c2=a2+b2，可得22222( )11bcaceaaa，所以ba决定双曲线的开口大小，ba越大， e 也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。等轴双曲线ab，所以离心率2e。渐近线经过点 A2、A1作 y 轴的平行线x= a，经过点B1、B2作 x
4、 轴的平行线y= b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是byxa。我们把直线xaby叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。22|bbMNxaxaa22220bxaxaabxxa要点二、双曲线两个标准方程几何性质的比较精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流标准方程22221xyab(0,0)ab22221yxab(0,0)ab图形性
5、质焦点1(,0)Fc，2( ,0)Fc1(0,)Fc，2(0, )Fc焦距2212| 2 ()F Fc cab2212| 2 ()F Fc cab范围x xaxa或，yRy yaya或，xR对称性关于 x 轴、 y 轴和原点对称顶点(,0)a(0,)a轴实轴长 =a2，虚轴长 =2b离心率(1)ceea渐近线方程xabyayxb要点诠释： 双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、 y2的系数，如果 x2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上。对于双曲线， a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一
6、条坐标轴上。要点三、双曲线的渐近线（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为12222byax，则其渐近线方程为02222byax0byaxxaby已知双曲线方程，将双曲线方程中的“ 常数 ” 换成 “0”，然后因式分解即得渐近线方程。（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为0mxny，则可设双曲线方程为2222m xn y，根据已知条件，求出即可。（3）与双曲线12222byax有公共渐近线的双曲线与双曲线12222byax有公共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)xyab（0，焦点在x轴上，0，焦点在 y 轴上）（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，
7、为yx，因此等轴双曲线可设为22(0)xy. 要点四、双曲线中a,b,c 的几何意义及有关线段的几何特征：双曲线标准方程中，a、b、 c 三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：cb0， c a0，且c2=b2+a2。双曲线22221xyab(0,0)ab，如图：（1）实轴长12|2A Aa，虚轴长2b,焦距12|2F Fc，（2）离心率：21211222121122|11|PFPFA FA FcbeePMPMAKA Kaa；（3）顶点到焦点的距离：11A F22A Fca，12A F21A Fa
8、c；（ 4）21FPF中结合定义aPFPF221与余弦定理，将有关线段1PF、2PF、21FF和角结合起来. （5）与焦点三角形21FPF有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式121211sin2PF FSPFPFF PF相结合的方法进行计算与解题，将有关线段1PF、2PF、12F F，有关角21PFF结合起来，建立12PFPF、12PFPF之间的关系 . 【典型例题】类型一：双曲线的简单几何性质精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页
9、- - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流例 1求双曲线22169144xy的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率. 【解析】把方程化为标准方程221916yx，由此可知实半轴长3a，虚半轴长4b，225cab双曲线的实轴长26a，虚轴长28b，顶点坐标(0, 3),(0,3)，焦点坐标(0, 5) , (0,5)，离心率53cea，渐近线方程为34yx【总结升华】在几何性质的讨论中要注意a和 2a，b 和 2b 的区别，另外也要注意焦点所在轴的不同，几何量也有不同的表示.举一反三：【变式 1】双曲线 mx2y21 的虚
10、轴长是实轴长的2 倍，则 m 等于 () A14B4 C4 D.14【答案】 A 【变式 2】已知双曲线8kx2ky2=2 的一个焦点为3(0,)2，则 k 的值等于（）A 2 B1 C 1 D32【答案】 C 类型二：双曲线的渐近线例 2.已知双曲线方程，求渐近线方程。（1）221916xy； （2）22-1916xy【解析】（1）双曲线221916xy的渐近线方程为：220916xy即43yx（2）双曲线22-1916xy的渐近线方程为：220916xy即43yx【总结升华】双曲线22221(0,0)xyabab的渐近线方程为byxa，双曲线22221yxab的渐近线方程为bxya，即ay
11、xb；若双曲线的方程为2222xymn（00mn、，焦点在x轴上，0，焦点在 y 轴上），则其渐近线方程为22220 xymn0 xymnnyxm. 举一反三：【变式 1】求下列双曲线方程的渐近线方程（1）2211636xy； （ 2）2228xy； （3）22272yx【答案】（ 1）32yx； （2）22yx； （3）2yx【变式 2】(2015 北京 )已知双曲线2221(0)xyaa的一条渐近线为30 xy，则 a_【答案】33【解析】渐进线为30 xy，有3ba，由双曲线的方程2221xya得 b=1，且 a0所以33a【变式】（2016 北京文）已知双曲线22221xyab（a 0
12、，b0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦 点为（5,0） ，则 a=_；b=_. 【答案】依题意有52cba，结合 c2=a2+b2，解得 a=1， b=2。例 3. 根据下列条件，求双曲线方程。（1) 与双曲线221916xy有共同的渐近线，且过点( 3,2 3)；（2）一渐近线方程为320 xy，且双曲线过点(8,63)M【解析】（1） 解法一：当焦点在x 轴上时，设双曲线的方程为22221xyab精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - -
13、 - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流由题意，得222243( 3)(2 3)1baab，解得294a，24b所以双曲线的方程为224194xy当焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为22221yxab由题意，得222243(2 3)( 3)1abab，解得24a，294b（舍去）综上所得，双曲线的方程为224194xy解法二： 设所求双曲线方程为22916xy（0），将点( 3,2 3)代入得14，所以双曲线方程为2219164xy即224194xy（2）依题意知双曲线两渐近线的方程是023xy. 故设双曲线方程为2249xy，点(8,63)M在双曲线上，228(63)
14、49，解得4，所求双曲线方程为2211636xy. 【总结升华】求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间 的 关 系 ， 并 注 意 方 程 思 想 的 应 用 。 若 已 知 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程0axby， 可 设 双 曲 线 方 程 为2222a xb y（0）.举一反三：【变式 1】中心在原点，一个焦点在(0,3)，一条渐近线为23yx的双曲线方程是（）A.225513654xyB.225513654xyC.22131318136xyD.22131318136xy【答案】 D 【变式 2】过点 (2，-2)且与双曲线1222yx
15、有公共渐近线的双曲线是( ) A. 14222xyB. 12422yxC. 12422xyD. 14222yx【答案】 A 【变式 3】设双曲线2221(0)9xyaa的渐近线方程为320 xy，则a的值为A4 B3 C2 D1 【答案】 C 【变式 4】双曲线22221xyab与2222(0)xyab有相同的（）A实轴B焦点C渐近线D以上都不对【答案】 C 类型三：求双曲线的离心率或离心率的取值范围例 4. 已知21,FF是双曲线22221(0)xyabab的左、右焦点 ,过1F且垂直于x轴的直线与双曲线的左支交于 A、B 两点 ,若2ABF是正三角形 ,求双曲线的离心率。【解析】12| 2
16、F Fc，2ABF是正三角形，12 3|2 tan303AFcco，224 3|2 tan30cos303cAFccoo214 32 32 3|2333AFAFccca，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流3cea【总结升华】双曲线的离心率是双曲线几何性质的一个重要参数，求双曲线离心率的关键是由条件寻求a、c 满足的关系式，从而求出cea举一反三：【变式 1】(1) 已知双曲线
17、22221(0,0)xyabab的离心率2 33e，过点 A(0,-b) 和 B(a,0)的直线与原点间的距离为32，求双曲线的方程. (2) 求过点 (-1,3)，且和双曲线22149xy有共同渐近线的双曲线方程. 【答案】（1）2213xy（2）2241273yx【变式 2】(2015 山东文 )过双曲线C：22221xyaa(a 0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点 P.若点 P的横坐标为2a, 则 C的离心率为 . 【答案】23【解析】双曲线22221xyaa的右焦点为（ c，0）.不妨设所作直线与双曲线的渐近线byxa平行，其方程为()byxca，代入22221xy
18、aa求得点 P 的横坐标为222acxc，由2222acac，得2()410ccaa，解之得23,23ccaa（舍去，因为离心率1ca） ，故双曲线的离心率为23. 【变式 3】已知 a、b、c 分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax2bxc0 无实根，则双曲线离心率的取值范围是() A1e52 B1e2 C1e3 D1e0，b0)的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3 倍，则双曲线的渐近线方程为 () Ay2xBy2 2xCy24xDy 3x6 （2016 天津文）已知双曲线)0,0(12222babyax的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02yx垂直，则双曲线的方
19、程为（）A1422yxB1422yxC15320322yxD12035322yx二、填空题7已知双曲线C：22221xyab(a0，b0)的实轴长为2，离心率为2，则双曲线C 的焦点坐标是_8椭圆22214xya与双曲线2221xya焦点相同，则a_. 9（ 2015 春黑龙江期末改编）与双曲线2214yx有共同的渐近线，且过点（2,2）的双曲线方程为10 （2016浙江文）设双曲线2213yx的左、右焦点分别为F1，F2若点 P 在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是 _三、解答题11.设 F1，F2分别为双曲线22221xyab(a0，b0)的左、右焦点
20、若在双曲线右支上存在点P，满足212PFF F，且 F2到直线 PF1的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程12设双曲线2222byax=1（0a0，b0)过点( 14,5)A，且点 A到双曲线的两条渐近线的距离的积为43.求此双曲线方程14已知双曲线2214xy的两个焦点分别为12FF、，点 P 在双曲线上且满足1290F PFo，求12F PF的面积 . 15如下图，已知F1， F2是双曲线22221xyab(a0，b0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边 MF1的中点在双曲线上，求双曲线的离心率【答案与解析】1 【答案】： C 【解析】由双曲线右焦点为F2（
21、5，0） ，则 c=5，54ceaQ， a=4 b2=c2a2=9，所以双曲线方程为191622yx2【答案】：B 【解析】：由双曲线的定义得：|PF1|-|PF2|=2a,(不妨设该点在右支上) |PF1|+|PF2|=3b,所以 |PF1|=22332,|22abbaPF，两式相乘得2294944baab。结合222cab得53ca，故53e,故选 B。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删
22、除只供学习与交流3 【答案】：D 【解析】：设双曲线方程为22(0)yx焦点(0, 43),0,又22(4 3),244. 【答案】：B 【解析】：因为 |PF2|=|F2F1|， P 点满足2222byac=1，22bycaa, 222bccaa,即 2ac=b2=c2-a2, 12ee,故 e=1+2. 5. 【答案】：B 【解析】：如图，分别过双曲线的右顶点A，右焦点 F 作它的渐近线的垂线，B、C 分别为垂足，则OBA OCF，13OAABOFFC，13ac，2 2ba，故渐近线方程为：2 2yx. 6. 【答案】：A 【解析】由题意得5c，122baa，221141xyb，选 A 7
23、. 【答案】：( 2,0) 【解析】：由题意得：a1，eca2，所以c2，又由标准方程可得焦点在x 轴上，所以焦点坐标为( 2,0)8【答案】：62【解析】；由题意得 4a2a21，2a23， a62. 9 【答案】：221312xy【解析】设双曲线方程为224yxk，因为双曲线过点（2,2），所以 k=3,所以双曲线的方程为221312xy。10. 【答案】(27,8)【解析】由已知a=1，3b，c=2，则2cea，设 P（x，y）是双曲线上任一点，由对称性不妨设P 在右支上，则1x2，|PF1|=2x+1，|PF2|=2x1， F1PF2为 锐 角 ， 则 |PF1|2+|PF2|2 |F
24、1F2|2， 即 (2x+1)2+(2x 1)2 42， 解 得72x， 所 以722x，12| 4(2 7,8)PFPFx11. 【解析】：过F2作 F2APF1于 A，由题意知F2A2a，12F F2c，则1AF2b，1PF4b，而1PF2PF2a，4b2c2a，c2ba，c2(2ba)2，a2b24b2 4aba2，解得43ba，双曲线的渐近线方程为43yx. 12.【解析】： 由已知，l的方程为ay+bx-ab=0, 原点到l的距离为34c，则有2234abcab, 又 c2=a2+b2, 243abc，两边平方，得16a2(c2-a2)=3c4. 两边同除以a4并整理得3e4-16e
25、2+16=0， e2=4 或243e. 0ab, 1ba,221ba,得22222212abbeaa, e2=4，故 e=2. 13.【解析】：双曲线22221xyab的两渐近线的方程为bx ay0. 点 A 到两渐近线的距离分别为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流122|145 |badab，222| 145badab已知 d1d243，故2222|145|43baab()
26、 又 A 在双曲线上，则14b25a2 a2b2() ()代入 ()，得 3a2b24a2 4b2() 联立 ()、( )解得 b22，a24. 故所求双曲线方程为22142xy. 14. 【解析】：解法一：由双曲线的方程知a=2, b=1, 5c. 因此12| 22 5F Fc. 由于双曲线是对称图形，如图所示，设 P点坐标为 (x,142x)，由已知 F1PF2P，111F PF Pkk, 即221144155xxxx，得2245x，12212111|12 512425F PFxSF F解法二： (|PF1|-|PF2|)2=4a2=16, 又由勾股定理得|PF1|2+|PF1|2=(2c)2=20, |PF1|PF2|=21|PF1|2+|PF2|2-(|PF1|-|PF2|)2=21(20-16)=2, 121F PFS. 15.【解析】：设MF1的中点为P，在 RtPMF2中， |PF2|MF2| sin60 2c323c.又由双曲线的定义得 |PF2|PF1|2a，所以312ac，23131cea. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -