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1、浅谈贝努利试验、二项分布和两点分布的关系和应用 【摘要】本文给出了贝努利试验、二项分布和两点分布之间的关系，并将这些关系应用到中心极限定理和大数定律的收敛速度的探讨中. 【关键词】贝努利试验；二项分布；两点分布 【基金项目】江苏省自然科学基金，金融保险中的大偏差和定价. 本文给出了贝努利试验、二项分布和两点分布之间的关系，并将应用这些关系来探讨中心极限定理和大数定律的收敛速度. 定义1 在n重独立重复试验中，假如每次试验的结果只有两种，则称该n重试验为贝努利试验. 定理1 设事务A发生的概率为p，则在n重贝努利试验中事务A发生k次的概率为Cknpkn-k，k=0，1，2，n. 定义2 假如随机
2、变量X听从二项分布B，则随机变量X的分布律为P=Cknpkn-k，k=0，1，2，n. 定理2 贝努利试验和二项分布的关系：在n重贝努利试验中，事务A发生的次数听从二项分布. 定理2的证明 设X表示n重贝努利试验中事务A发生的次数，则P表示n重贝努利试验中事务A发生k次的概率；另一方面，由贝努利定理我们知道，n重贝努利试验中事务A发生k次的概率为Cknpkn-k，所以P=Cknpkn-k，即X听从二项分布B. 二项分布和两点分布的关系：二项分布B即为两点分布；二项分布B可以看成是n个独立同分布的两点分布的和.设XB，X1，X2，Xn是独立同分布的随机变量序列P=p，则X和nk=1Xk具有相同的
3、分布.要证明X与nk=1Xk同分布，只须要证明X与nk=1Xk具有相同的特征函数.X的特征函数为n，nk=1Xk的特征函数为）n=n.X和nk=1Xk的特征函数相同，所以它们具有相同的分布率. 下面我们给出X和nk=1Xk具有相同的分布这一结论的两个应用. 应用1 由中心极限定理知，nk=1Xk-npnp近似听从N，由于正态分布的线性函数仍旧是正态分布，所以nk=1Xk近似听从N），所以X也近似听从N），这样我们就可以用一个正态分布去近似二项分布. 应用2 由大偏差理论，对于随意的0，有 Pnk=1Xkn-pexp-ninfI：x， 其中I=supRx-log0，故nk=1XknPp，而X和n
4、k=1Xk同分布，所以XnPp，而Xn表示事务A發生的频率，p为事务A的概率，XnPp表示频率稳定于概率，并且，Xn“快速”稳定到p. 【参考文献】 1茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程M.北京：高等教化出版社，2022. 2杜海霞.贯穿概率论的n重贝努利概型J.价值工程，2022：289-290. 3王君.概率论贝努利概型课堂教学中的思维训练设计J.新疆师范高校学报，2022：101-101. 4孔运，王渊.贝努利试验的推广及应用J.科技传播，2022：120-122. 5Amir Dembo，Ofer Zeitouni.Large Deviations Techniques and ApplicationsM.Berlin，Heidelberg：Springer，19101. 第3页 共3页第 3 页 共 3 页第 3 页 共 3 页第 3 页 共 3 页第 3 页 共 3 页第 3 页 共 3 页第 3 页 共 3 页第 3 页 共 3 页第 3 页 共 3 页第 3 页 共 3 页第 3 页 共 3 页