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1、浅析特征函数、母函数的概念教学及其应用 摘 要正确相识和理解基本概念是学好概率论的前提和基础。本文浅析了对特征函数、母函数的概念的相识和理解，并举例说明白它们在解决问题中的应用。 关键词特征函数 母函数 应用 中图分类号 文献标识码 文章编号 2095-343702-0047-02 概率论是探讨随机现象统计规律的一门数学分科，用随机变量来描述随机现象，使得概率论从探讨定性的事务及其概率扩大为探讨定量的随机变量及其分布，从而扩充了探讨概率论的数学工具，特殊是便于运用经典分析工具，使得概率论真正成为一门数学学科。分布函数是用来完整地描述随机变量分布规律的最基本的方法，特征函数是概率论中的一个重要分
2、析工具，它和分布函数之间存在一一对应的关系，可以运用特征函数来分析探讨随机变量，并且可以大大简化有关随机变量的一些计算和证明，然而在探讨仅取非负整数值的随机变量时，以母函数代替特征函数比较便利。可是在教学过程中发觉，不少学生对特征函数和母函数的概念没有正确相识，甚至出现一些错误的相识和理解，从而导致计算的盲目性。本文主要探讨了对特征函数与母函数的概念的相识和理解，并通过实例介绍了它们的一些应用，以期对学习概率论能起到肯定的指导作用。 一、特征函数 特征函数的定义及性质 设是一个实值随机变量，其分布函数为F，则称eitX的数学期望EeitX为随机变量X或其分布函数F的特征函数，记为？渍X，即？渍
3、X=EeitX=eitXdF，其中i=，tR。 分析 根据定义，特征函数是一个实变量的复值函数。由于对随意实数tR，都有eitX=2+2=1，所以任何随机变量的特征函数总是存在的。并且它能把寻求独立随机变量和的分布的卷积运算转换成乘法运算，还能把求分布的各阶原点矩转换成微分运算，特殊地它能把寻求随机变量序列的极限分布转换成一般的函数极限问题。下面介绍特征函数的主要性质。 性质1 假如随机变量，n相互独立，则。 分析 特征函数的这一性质在证明随机变量列的极限问题时将发挥重要作用，然而这一性质的逆不成立。在教学中我们举如下例子来说明逆不成立，以此来加深学生对此性质的理解。 例1设二维随机变量的联合
4、密度函数为p=xy，x1，y10，其他.，可以证明X+Y的特征函数等于X，Y的特征函数的乘积，但是X与Y并不相互独立。 性质2 假如随机变量X有n阶矩，则它的特征函数可微分n次，并且有Ek=？渍，k=1，2，n成立。 分析 性质2表明，假如已知随机变量的特征函数，且其矩存在，则可以通过对特征函数微分来求得随机变量的矩，这比由分布函数通过积分求矩要简洁的多。 特征函数的应用举例 求独立随机变量和的分布的卷积运算转换成乘法运算 在概率论中，独立随机变量和的问题占有“中心”地位，用卷积公式去处理独立随机变量和的问题是常用的方法但相当困难，然而可以很便利的运用特征函数相乘求得独立随机变量和的特征函数，
5、由此大大简化了处理独立随机变量和的难度。 例2 设随机变量j听从二项分布B，j=1，m.且相互独立，求证Xj听从二项分布B。 分析 可以运用卷积公式通过困难的计算证明二项分布的上述可加性，现在用特征函数方法可以很便利地证明二项分布的可加性。 证明 因为Xj听从二项分布B，它的特征函数为=n j，j=1，2，m.由于X，Xm相互独立，所以，依据性质1有Xj的特征函数为，由唯一性定理知Xj听从二项分布B。 2.求分布的各阶原点矩转换成微分运算 例3 利用特征函数的方法求伽玛分布Ga的数学期望和方差。 解 因为伽玛分布Ga的特征函数及其一、二阶导数为？渍-，？渍=-1，？渍；？渍=-2，？渍-；所以
6、，依据性质2有EX=，DX=-？渍+）2。 3.求随机变量序列的极限分布转换成一般的函数极限问题 例4 2设Xn，n1，2，是独立同分布的随机变量列。假如Xn的数学期望存在，EXn=a，则对随意的0，有P1。 证明 由于P1等价于Yn=Xk以分布收敛于a，再依据连续性定理，只要证？渍Yneia t。设Xn的共同的特征函数为？渍。依据性质2，？渍=iEX1=ia，从而？渍有泰勒绽开式？渍=？渍+？渍t+o=1+iat+o。所以Yn=Xk的特征函数为？渍n=1+on。故有？渍neiat，即？渍Yneia t。 母函数 1.母函数的概念及其性质3 设随机变量X的分布列为pk=P，其中pk1，称PEs
7、X=pk sk为随机变量X的母函数。 性质3 非负整数值随机变量的分布列由其母函数唯一确定。 性质4 独立随机变量之和的母函数等于它们母函数的乘积。 2.母函数的应用举例 例5 从装有号码为1，2，3，4，5，6的小球的袋中，有放回地抽取5个球，求所得号码总和为15的概率。 解 令Xi为第i次取得的小球的号码，且Xi相互独立，X=X1+X2+X5为所取球号码的总和。Xi的母函数为Pi=，依据性质4有，X的母函数为P=55-5，所求概率为P绽开式的s15的系数，因此P。 分析 针对上述古典概型问题，许多教科书都运用排列、组合的方法来求解，计算比较困难，而且在有些困难场合排列、组合的方法难以凑效。
8、从例5的求解中可以看到，利用母函数求取非负整数值随机变量的概率问题比较简便。关于利用母函数方法求解古典概率问题，读者可参见文献45等。 参 考 文 献 1 茆诗松，程依明，濮晓龙. 概率论与数理统计教程M.北京：高等教化出版社，2004. 2 丁万鼎，刘寿喜等. 概率论与数理统计M.上海：上海科学技术出版社，11017. 3 王志刚.应用随机过程M.合肥：中国科学技术高校出版社，2022. 4 朱松涛，唐秋晶.利用母函数方法求解古典概率问题J. 济宁师专学报，19101，：13-15. 5 农吉夫. 概率母函数在求非负整数值随机变量分布的应用J.高校数学，2022，：203-206. 责任编辑：林志恒 第6页 共6页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页