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1、2025高考数学专项复习第5讲 利用正余弦定理和三角形的边长关系解决圆锥曲线问题含解析第5讲 利用正余弦定理和三角形的边长关系解决圆锥曲线问题 一选择题（共9小题）1设双曲线的方程为，若双曲线的渐近线被圆所截得的两条弦长之和为12，已知的顶点，分别为双曲线的左、右焦点，顶点在双曲线上，则的值等于ABCD2已知双曲线的左右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，若，则双曲线的离心率为ABCD3已知，为双曲线的左右焦点，点为双曲线右支上一点，交左支于点，是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为A4BC2D4已知，分别是双曲线的左右焦点，的右支上的一动点，则的取值范围是AB，C，D，5已知双曲线的一条渐近线方
2、程，且点为双曲线右支上一点，且，为双曲线左右焦点，的面积为，且，则双曲线的实轴的长为A1B2C4D6已知双曲线的左右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，若，则的长为ABCD7已知点和是椭圆上一动点，则的最大值ABCD8已知为经过抛物线焦点的弦，为抛物线的准线与轴的交点，若弦的斜率为，则的正切值为ABC1D不存在9设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于点，则与的面积之比ABCD二填空题（共8小题）10已知双曲线的左右焦点分别为，为坐标原点，点为双曲线右支上一点，若，则双曲线的离心率的取值范围为11设，分别是椭圆的左右焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为，
3、最小值为12设、分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最小值为 13已知点为双曲线的右焦点，点为双曲线左支上一点，线段与圆相切于点，且，则双曲线的离心率为14抛物线的过焦点的弦，为坐标原点，则以为直径的圆与轴有 个公共点；抛物线准线与轴交于点，若， 15设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于，则与的面积之比16已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点若，则17已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于、两点，若以为直径的圆过，则三解答题（共1小题）18设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（
4、2）设过点的直线与椭圆交于不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围第5讲 利用正余弦定理和三角形的边长关系解决圆锥曲线问题 参考答案与试题解析一选择题（共9小题）1设双曲线的方程为，若双曲线的渐近线被圆所截得的两条弦长之和为12，已知的顶点，分别为双曲线的左、右焦点，顶点在双曲线上，则的值等于ABCD【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为，双曲线的渐近线被圆，即所截得的两条弦长之和为12，设圆心到直线的距离为，则，即，即，由正弦定理可得，故选：2已知双曲线的左右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，若，则双曲线的离心率为ABCD【解答】解：在等腰三角形中，可得，由
5、双曲线的定义可得，即有故选：3已知，为双曲线的左右焦点，点为双曲线右支上一点，交左支于点，是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为A4BC2D【解答】解：设，是等腰直角三角形，由，由，由可得，由余弦定理可得，故选：4已知，分别是双曲线的左右焦点，的右支上的一动点，则的取值范围是AB，C，D，【解答】解：，分别是双曲线的左右焦点，得，双曲线的焦距为，点在双曲线上运动，当，时，当，时，的取值范围是，故选：5已知双曲线的一条渐近线方程，且点为双曲线右支上一点，且，为双曲线左右焦点，的面积为，且，则双曲线的实轴的长为A1B2C4D【解答】解：双曲线的渐近线方程为，由一条渐近线方程为，可得，由双曲线定义有，
6、两边平方得由余弦定理，有，即为由可得，的面积为，可得，解得，故选：6已知双曲线的左右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，若，则的长为ABCD【解答】解：双曲线的，在等腰三角形中，可得，由双曲线的定义可得，解得，则，故选：7已知点和是椭圆上一动点，则的最大值ABCD【解答】解：为椭圆左焦点，设右焦点为，则由椭圆定义，于是当不在直线与椭圆交点上时，、三点构成三角形，于是，而当在直线与椭圆交点上时，在第三象限交点时有，在第一象限交点时有显然当在直线与椭圆第一象限交点时有最大值，其最大值为故选：8已知为经过抛物线焦点的弦，为抛物线的准线与轴的交点，若弦的斜率为，则的正切值为ABC1D不存在【解答】解：抛
7、物线方程为，焦点坐标为，准线方程为点坐标为，直线经过点，的斜率为，设点的坐标为，代入抛物线方程可得，可以解得，或（舍去），同理，可以解得，故选：9设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于点，则与的面积之比ABCD【解答】解：抛物线方程为，焦点的坐标为，准线方程为，如图，设，过，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，则，把代入抛物线，得，直线过点与方程为，代入抛物线方程，解得，在中，故选：二填空题（共8小题）10已知双曲线的左右焦点分别为，为坐标原点，点为双曲线右支上一点，若，则双曲线的离心率的取值范围为，【解答】解：法一：，设，则，法二：，令，故答案为：，11设，
8、分别是椭圆的左右焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为15，最小值为【解答】解：将的坐标代入椭圆方程可得，即在椭圆外，连结、，椭圆的，由椭圆的定义可得，由，的最大值和最小值分别为15和故答案为：15，12设、分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最小值为【解答】解：，当且仅当三点，共线时取等号故答案为：13已知点为双曲线的右焦点，点为双曲线左支上一点，线段与圆相切于点，且，则双曲线的离心率为【解答】解：根据题意，设双曲线的左焦点为，连接，设圆的圆心为，圆的方程为的圆心为，半径，则有，若，则，；线段与圆相切于点，则以及，则有，即，即，由双曲线的性质有，则双曲线的离心率
9、；故答案为：14抛物线的过焦点的弦，为坐标原点，则以为直径的圆与轴有1个公共点；抛物线准线与轴交于点，若， 【解答】解：抛物线的焦点，准线方程为，设，由抛物线的定义可得，设的中点为，可得到准线的距离为，即有到轴的距离为，则以为直径的圆与轴相切，可得与轴有1个交点；由，可得直线的斜率为，即有直线的方程为，代入抛物线的方程，可得，解得，即有，可得直线的斜率为，直线的斜率为，则，由，解得，则故答案为：1，15设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于，则与的面积之比【解答】解：抛物线方程为，焦点的坐标为，准线方程为如图，设，过，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，则，把
10、代入抛物线，得，直线过点与，方程为，代入抛物线方程，解得，在中，故答案为16已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点若，则2【解答】解：抛物线的焦点，过，两点的直线方程为，联立可得，设，则，整理可得，即，故答案为：217已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于、两点，若以为直径的圆过，则2【解答】解：抛物线的焦点，过，两点的直线方程为，联立，可得，设，则，以为直径的圆过，整理可得，即，解得故答案为：2三解答题（共1小题）18设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，
11、且，求直线的斜率的取值范围【解答】解：（1）设，由得，可得，又，可得，椭圆方程为：；设直线的方程为，由方程组得，解得，或，由题意可知，进而得，由（1）知，设，则，由题意得，解得，直线的方程为，与直线的方程联立，可得点的横坐标，在中，由，得，得，解得，或，故直线的斜率的取值范围为：第6讲 破解离心率问题之建立齐次式和几何化 一选择题（共9小题）1如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率为ABCD2如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（在轴上方），连结并延长交椭圆于另一点，且，若垂直于轴，则椭圆的离心率为ABCD3设，分别是双曲
12、线的左、右焦点圆与双曲线的右支交于点，且，则双曲线离心率为ABCD4如图，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为ABCD5设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于A或B或C2或D或6设，分别是椭圆的左、右焦点，轴，若，成等差数列，则椭圆的离心率为ABCD7如图，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为ABCD8如图，已知双曲线上有一点，它关于原点的对称点为，点为双曲线的右焦点，且满足，设，且，则该双曲线离心率的取值范围为ABCD9已知在菱形中，曲线是以
13、，为焦点，且经过，两点的椭圆，其离心率为；曲线是以，为焦点，渐近线分别和，平行的双曲线，其离心率为，则ABC1D二多选题（共1小题）10已知椭圆，双曲线若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是A椭圆的离心率B双曲线的离心率C椭圆上不存在点使得D双曲线上存在点使得三填空题（共9小题）11已知椭圆，双曲线若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆与双曲线的离心率之积为12如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点，线段与椭圆的交点为，且则该椭圆的离心率为 13如图，在平面直角
14、坐标系中，已知，分别为椭圆的右、下、上顶点，是椭圆的右焦点若，则椭圆的离心率是14如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的右焦点，分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为，且直线的斜率为，则该椭圆的离心率为 15如图，在平面直角坐标系中，点位椭圆的左顶点，点、在椭圆上，若四边形为平行四边形，且，则椭圆的离心率等于16已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切，且与双曲线的两渐近线分别交于点，若，则该双曲线的离心率为17已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线的半焦距，点是圆上一点，线段交双曲线的右支于点，且有，则双曲线的离心率是18设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线
15、的离心率等于19已知双曲线右支上有一点，它关于原点的对称点为，双曲线的右焦点为，满足，且，则双曲线的离心率的值是第6讲 破解离心率问题之建立齐次式和几何化 参考答案与试题解析一选择题（共9小题）1如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率为ABCD【解答】解：设右焦点，将代入椭圆方程可得，可得，由，可得，即有，化简为，由，即有，由，可得，可得，故选：2如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（在轴上方），连结并延长交椭圆于另一点，且，若垂直于轴，则椭圆的离心率为ABCD【解答】解：设椭圆的左、右焦点分别为，设，由垂直于轴可得，由，
16、可得，设，由，可得，解得，将，代入椭圆方程可得，即，即有，则，故选：3设，分别是双曲线的左、右焦点圆与双曲线的右支交于点，且，则双曲线离心率为ABCD【解答】解：可设为第一象限的点，且，由题意可得，由双曲线的定义可得，由勾股定理可得，联立消去，可得：，即，则，故选：4如图，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为ABCD【解答】解：设，由整理可得：，即，因为点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，所以，所以点坐标为，设点，则，由可得，所以，因为点在双曲线上，所以，整理可得：，所以，即，两边同时平方可得：，所以，即，可得：或（舍，所以，故选：
17、5设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于A或B或C2或D或【解答】解：由题意可设：，当圆锥曲线为椭圆时，离心率；当圆锥曲线为双曲线时，离心率综上可知，圆锥曲线的离心率为或故选：6设，分别是椭圆的左、右焦点，轴，若，成等差数列，则椭圆的离心率为ABCD【解答】解：，成等差数列，由椭圆定义可得，可得，所以椭圆的离心率；故选：7如图，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为ABCD【解答】解：，联立，解得，在第二象限，设，则，由，得，又，化简得：，即，解得：或（舍可得故选：8如图，已知双曲线上有一点，它关于原点的对
18、称点为，点为双曲线的右焦点，且满足，设，且，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）ABCD【解答】解：在中，在直角三角形中，可得，取左焦点，连接，可得四边形为矩形，故选：9已知在菱形中，曲线是以，为焦点，且经过，两点的椭圆，其离心率为；曲线是以，为焦点，渐近线分别和，平行的双曲线，其离心率为，则ABC1D【解答】解：，设，则，椭圆是以，为焦点，且经过，两点的椭圆，得，则椭圆的离心率为，则双曲线是以，为焦点渐近线分别和，平行的双曲线，则双曲线中，的斜率，即，则，即，得，则，则，故选：二多选题（共1小题）10已知椭圆，双曲线若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下
19、列结论正确的是A椭圆的离心率B双曲线的离心率C椭圆上不存在点使得D双曲线上存在点使得【解答】解：椭圆，双曲线，若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，设椭圆的右焦点坐标，则正六边形的一个顶点，对于将代入椭圆方程，得：，结合，可得，因为，解得，故正确；对于把代入双曲线的渐近线方程不妨设，得，所以，则双曲线的离心率，故正确；对于当点是短轴的端点时，最大，由，得，又，从而可得，所以，则，即，所以，故错误；对于当点在实轴的端点时，向量与向量夹角为，此时，故正确；故选：三填空题（共9小题）11已知椭圆，双曲线若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个
20、正六边形的顶点，则椭圆与双曲线的离心率之积为【解答】解：不妨设，可设椭圆的焦点坐标，正六边形的一个顶点，由，即，解得椭圆的；双曲线的渐近线的斜率为，即，可得双曲线的离心率为即有椭圆与双曲线的离心率之积为故答案为：12如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点，线段与椭圆的交点为，且则该椭圆的离心率为【解答】解：直线的方程为，直线的方程为，联立方程组，解得，把代入椭圆方程得：，即，化简得：，解得或（舍去）故答案为：13如图，在平面直角坐标系中，已知，分别为椭圆的右、下、上顶点，是椭圆的右焦点若，则椭圆的离心率是【解答】解：，化为：，解得，故答案为：14如图，在平面
21、直角坐标系中，为椭圆的右焦点，分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为，且直线的斜率为，则该椭圆的离心率为【解答】解：由题意可得，由直线的方程代入椭圆方程，消去，可得，即为，直线的斜率为，可得，即有，由，可得，即故答案为：15如图，在平面直角坐标系中，点位椭圆的左顶点，点、在椭圆上，若四边形为平行四边形，且，则椭圆的离心率等于【解答】解：是与轴重合的，且四边形为平行四边形，则、两点的纵坐标相等，、的横坐标互为相反数，、两点是关于轴对称的由题知：四边形为平行四边形，则，可设，代入椭圆方程解得：，设为椭圆的右顶点，由于，四边形为平行四边形，则，对点：，解得，根据得，即有，即故答案为：16已
22、知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切，且与双曲线的两渐近线分别交于点，若，则该双曲线的离心率为【解答】解：法1（代数法）：因为与相切，所以直线斜率，由对称性不妨考虑情形又双曲线的渐近线方程为，则垂直其中一条渐近线，故与一渐近线的交点，即为该渐近线与在第二象限的交点，可得，如图，设中点为，由，即，则有，又，故，且为的中点，所以为的中点，则，三等分，由，得，由在另一渐近线上，即有，则，故离心率法2（几何法）：设，则，由题意易知，在中，又，则有，即，故离心率法3（参数方程法）：直线的参数方程为为参数），代入，可得对应的参数又对应的参数，由及与相切，可知，即，则，则有，故离心率故答案为：17已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线的半焦距，点是圆上一点，线段交双曲线的右支于点，且有，则双曲线的离心率是【解答】解：由，可得，由双曲线的定义可得，在直角三角形中，在直角三角形中，即为，则故答案为：18设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于或【解答】解：，若圆锥曲线是椭圆，则，；若圆锥曲线是双曲线，则故答案为：或19已知双曲线右支上有一点，它关于原点的对称点为，双曲线的右焦点为，满足，且，则双曲线的离心率的值是【解答】解：，可得，在中，在直角三角形中，可得，取左焦点，连接，可得四边形为矩形，故答案为：