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1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,6.,全概率公式与贝叶斯公式,解：,B=AB+,B,且,AB,与,B,互不相容。,P(B)=P(AB+,B,),=P(AB)+P(,B),=P(A)P(B|A)+P(,)P(B|,),=0.7,0.95+0.3,0.8,=0.905,例,1,市场上供应的灯泡中，甲厂产品占,70,，乙厂占,30,，甲厂产品的合格率是,95,，乙厂的合格率是,80,若用事件,A,，,分别表示甲、乙两厂的产品，,B,表示产品,为合格品。求市场上买一个灯泡的合格率，及买到合格,灯泡是甲厂生产的概率。,2,定理,1(,全概率公式
2、,),若事件,A,1,A,2,构成一个完备事件组,并且都具有正概率，则对任何一个事件,B,有,证：,A,1,A,2,两两互斥，故,A,1,B,A,2,B,两两互斥,由加法法则,再由乘法法则,3,定理,2(,贝叶斯公式,),若事件,A,1,A,2,构成一个完备事件组，,且都具有正概率，则对任何一个概率不为零的事件,B,有,各原因下条件概率已知 求事件发生概率,求是某种原因造成得概率 事件已发生,全概率,贝叶斯,4,例,2,设,5,支枪中有,2,支未经试射校正，,3,支已校正。,一射手用校正过的枪射击，中靶率为,0.9,，用未校,正过的枪射击，中靶率为,0.4,。,(1),该射手任取一支枪射击，中
3、靶的概率是多少？,(2),若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校,正的概率。,解：设,A,表示枪已校正，,B,表示射击中靶,5,例,3,有三个同样的箱子，,A,箱中有,4,个黑球,1,个白球，,B,箱中有,3,个黑球,3,个白球，,C,箱中有,3,个黑球,5,个白球。,现任取一箱，再从中任取一球，求,(1),此球是白球的概率,(2),若取出的是白球，求它取自,B,箱的概率。,解：用,A,、,B,、,C,表示,A,、,B,、,C,三个箱子取球,用,D,表示取出的是白球。,则,A,、,B,、,C,是完备事件组。,6,7,例,4(,抽签的公正性,),设,10,支签中有,4,支难签。甲、乙、丙,依次
4、不放回的抽取。求各人抽到难签的概率。,解：分别用,A,、,B,、,C,表示甲、乙、丙抽到难签。,8,例,5,设验血诊断某种疾病的误诊率仅为,5,，即若用,A,表,示验血阳性，,B,表示受验者患病，则,若有,10000,人受检，患病者仅,50,人，其中验血阳性约,47.5,人,而,9950,健康人中，验血阳性者为,9950,0.05,497.5,人,9,7,独立试验概型,(,一,),事件的独立性,故若,A,独立于,B,，则,B,也独立于,A,称事件,A,与事件,B,相互,独立。,关于独立性有如下性质：,定义,1,若事件发生的可能性不受事件,B,发生与否的影响，,即,P(A|B)=P(A),则称事
5、件,A,独立于事件,B,。,定义,2,若,n(n2),个事件,A,1,A,n,中任何一个事件发生的,可能性都不受其它一个或几个事件发生与否的影响，,称,A,1,A,2,A,n,相互独立。,10,(1),事件,A,与,B,独立的充分必要条件是,P(AB)=P(A)P(B),证：必要性,若,A,与,B,中有一个事件概率为零，结论成立。,设,A,与,B,的概率都不为零，由独立性,P(B|A)=P(B),而由乘法法则可得,P(AB)=P(A)P(B|A),=P(A)P(B),充分性,设,P(B)0,则,=P(A),即,A,与,B,独立。,11,证：,类似可证其它两对事件独立。,12,(3),若事件,A
6、,1,A,2,A,n,相互独立，则有,P(A,1,A,n,)=P(A,1,)P(A,n,),证：,P(A,1,A,n,),P(A,1,)P(A,2,|A,1,)P(A,n,|A,1,A,n-1,),而,P(A,2,|A,1,)=P(A,2,),P(A,n,|A,1,A,n-1,)=P(A,n,),故,P(A,1,A,n,),P(A,1,)P(A,2,)P(A,n,),13,例,1,设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中,目标的概率分别为,0.9,和,0.8,。求一次射击中，目标被,击中的概率。,解：分别用,A,B,表示甲、乙击中目标。,目标被击中，即至少有一人击中，即,A+B,A,与,B,
7、独立。故,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),=P(A)+P(B)-P(A)P(B),=0.9+0.8-0.9,0.8,=0.98,或由性质,(4),=0.98,=1-0.1,0.2,14,例,2,一名士兵用步枪射击飞机，命中率为,0.004,。求：,(1),若,250,名士兵同时射击，飞机被击中的概率。,(2),多少名士兵同时射击，才能使飞机被击中的概率达,到,99,？,解：用,A,i,表示第,i,名士兵击中飞机，,P(A,i,),0.004,0.99,即,0.996,n,0.01,15,例,3,甲、乙、丙,3,部机床独立工作，由一个工人照管，,某段时间内它们不需要工人照管的概率分
8、别为,0.9,，,0.8,及,0.85,。求在这段时间内有机床需要工人照管的概,率以及机床因无人照管而停工的概率,。,解：用,A,、,B,、,C,分别表示在这段时间内机床甲、乙、,丙不需要照管。,则,A,、,B,、,C,相互独立，且,P(A)=0.9P(B)=0.8P(C)=0.85,16,例,4,图中开关,a,、,b,、,c,开或关,的概率都是,0.5,，且各开关是,否关闭相互独立。求灯亮的,概率以及若已见灯亮，开关,a,与,b,同时关闭的概率。,解：令,A,、,B,、,C,分别表示开关,a,、,b,、,c,关闭，,D,表示灯亮,P(D)=P(AB+C)=P(AB)+P(C)-P(ABC),
9、=P(A)P(B)+P(C)-P(A)P(B)P(C),=0.5,0.5+0.5-0.50.50.5,=0.625,ABD=AB,=0.4,a,b,c,17,例,5,甲、乙、丙三人独立射击一个目标，命中率分别为,0.4,，,0.5,，,0.7,，若只有一人击中，目标被摧毁的概率是,0.2,，若二人击中，则目标被摧毁的概率是,0.6,，若三人,都击中，目标一定被摧毁。若目标被摧毁，求它是一人,摧毁的概率。,解：用,A,i,表示有,i,个人击中目标，,i=0,1,2,3,用,B,表示目标被摧毁。,P(B|A,0,)=0P(B|A,1,)=0.2P(B|A,2,)=0.6P(B|A,3,)=1,P(
10、A,0,)=0.6,0.50.3,=0.09,P(A,1,)=0.40.50.3+0.60.50.3+0.60.50.7,=0.36,P(A,2,)=0.40.50.3+0.40.50.7+0.60.50.7,=0.41,P(A,3,)=0.40.50.7,=0.14,0.458,18,(,二,),独立试验序列概型,进行,n,次试验，若任何一次试验中各结果发生的可能性,都不受其它各次试验结果发生情况的影响，则称这,n,次,试验是相互独立的。,在同样条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序,列概型。,若在每次试验中只关心某事件,A,发生或不发生，且每次,试验结果与其它各次试验结果无关，即在每次
11、试验中事,件,A,发生的概率都是,p(0p1),。,这样的,n,次重复试验称为,n,重贝努里试验。,19,例,6,一批产品的废品率为,p,(0p1),重复抽取,n,次，,求有,k,次取到废品的概率。,解：设所求事件的概率为,P(B),事件,B,由下列,m,个互,不相容的事件组成：,B,1,=(,废，,，废，正，,，正,),B,2,=(,废，,，废，正，废，正，,，正,),B,m,=(,正，,，正，废，,，废,),P(B,1,)=P(B,2,)=P(B,m,)=p,k,(1-p),n-k,20,一般地，有如下的定理：,解：设,B,表示至少有两件一级品,1-P,10,(0)-P,10,(1),例,
12、7,一条自动生产线上产品的一级品率为,0.6,，现,在检查了,10,件，求至少有两件一级品的概率。,21,例,8,某药物对某病的治愈率为,0.8,，求,10,位服药的,病人中至少有,6,人治愈的概率。,解：设,A,表示至少有,6,人治愈。,P,10,(6)+P,10,(7)+P,10,(8)+P,10,(9)+P,10,(10),而正好有,8,人治愈的概率为,=0.302,22,例,9,在四次独立试验中，,A,至少出现一次的概率,为,0.59,，求,A,至多出现一次的概率。,解：设在一次试验中,A,出现的概率为,p,则,A,至少出现一次的概率为,故,(1-p),4,=0.41,1-p=0.8,
13、p=0.2,A,至多出现一次的概率为：,P,4,(0)+P,4,(1),=0.82,23,例,10(,分赌注问题,),甲、乙各下注,a,元，以猜硬币方式,赌博，五局三胜，胜者获得全部赌注。若甲赢得第,一局后，赌博被迫中止，赌注该如何分？,解法一：,应按照比赛双方最终获胜的可能性分赌注。,即在余下的四局中甲赢得,2,局以上即可。,甲最终获胜的概率为,P,4,(2)+P,4,(3)+P,4,(4),24,解法二：,一般情况下不必比到第五局，有一方赢得三局即中止。,甲方在第三局结束赌博获得胜利的概率为,甲方在第四局结束赌博获胜的概率为,甲方在第五局结束赌博获胜的概率为,故甲方最终获胜的概率为,P(B,3,+B,4,+B,5,),=P(B,3,)+P(B,4,)+P(B,5,),赌注应按,11,：,5,的比例分配。,25,例,11(,赛制的选择,),在体育比赛中，若甲选手对乙选,手的胜率是,0.6,，那么甲在五局三胜与三局两胜这两,种赛制中，选择哪个对自己更有利。,解：在五局三胜赛制中，甲获胜的概率为,P,5,(3)+P,5,(4)+P,5,(5),=0.6826,在三局两胜赛制中，甲获胜的概率为,P,3,(2)+P,3,(3),=0.648,甲应选择五局三胜制。,