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1、2025八年级上册数数学(RJ)13.4 课题学习 最短路径问题213.4 课题学习 最短路径问题教学目标1.目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟转化思想.2.能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题教学过程教学内容与教师活动学生活动设计意图一、创设情景 引入课题师：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点
2、的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题” （板书）课题学生思考教师展示问题，并观察图片，获得感性认识.从生活中问题出发，唤起学生的学习兴趣及探索欲望.二、自主探究 合作交流 建构新知追问1：观察思考，抽象为数学问题这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 活动1：思考画图、得出数学问题将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线 追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？ 师生活动：学生尝试回答， 并互相补充，最后达成共识：（1）从A 地出发，到河边l
3、饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图） lABCB强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”活动2：尝试解决数学问题问题2 ： 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 追问1你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B吗？ B。Al问
4、题3 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？BlAC师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充如果学生有困难，教师可作如下提示作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B；（2）连接AB，与直线l 相交于点C，则点C 即为所求 如图所示：BlCAB问题3你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 教师展示：证明：如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知， BC =BC，BC=BC AC +BC = AC +BC = AB， AC+BC = AC+BCBlABCC方法提炼
5、：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.问题4练习如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径 ABCPQ山河岸大桥基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最小” 问题5 造桥选址问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）BA思维分析：1、如图假
6、定任选位置造桥，连接和，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？BA思维点拨：改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？（估计有以下方法）1、把A平移到岸边.2、把B平移到岸边.3、把桥平移到和A相连.4、把桥平移到和B相连.教师：上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请检验.1、2两种方法改变了.怎样调整呢？把A或B分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢?问题解决：如图，平移A到A1，使A1等于河宽，连接A1交河岸于作桥，此时路径最短. 理由；另任作桥，连接，. 由平移性质可知，.
7、 AM+MN+BN转化为，而转化为. 在中，由线段公理知A1N1+BN1A1B因此 AM+MN+BN 如图所示：BAA1NM方法提炼：将最短路径问题转化为“线段和最小问题”动手画直线观察口答动手连线观察口答独立思考合作交流汇报交流成果，书写理由.思考感悟活动1中的将军饮马问题，把刚学过的方法经验迁移过来学生独立完成，集体订正学生独立完成，集体订正互相交流解题经验独立完成，交流经验观察思考，动手画图，用轴对称知识进行解决各抒己见合作与交流交流体会为学生提供参与数学活动的生活情境，培养学生的把生活问题转化为数学问题的能力.经历观察-画图-说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力.达到
8、轴对称知识的学以致用注意问题解决方法的小结：抓对称性来解决及时进行学法指导，注重方法规律的提炼总结.学以致用，及时巩固注意问题解决方法的小结：抓轴对称来解决经历观察-画图-说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力.提炼思想方法：轴对称，线段和最短体会转化思想，体验轴对称知识的应用动手体验动手作图体验转化思想教学内容与教师活动学生活动设计意图三、巩固训练1、最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CACB最短，这时点C是直线l与AB的交点(2)求直线同侧
9、的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CACB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B，则点C是直线l与AB的交点2.如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+桥MN和PQ在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的
10、方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处.学生独立思考解决问题独立思考，合作交流.巩固所学知识，增强学生应用知识的能力，渗透转化思想.提炼方法，为课本例题奠定基础.四、反思小结 布置作业小结反思 （1）本节课研究问题的基本过程是什么？ （2）轴对称在所研究问题中起什么作用？解决问题中，我们应用了哪些数学思想方法？你还有哪些收获？ 作业布置、课后延伸必做题：课本P93-15题；选做题：生活中，你发现那些需要用到本课知识解决的最短路径问题自由发言,相互借鉴.自我评价.总结回顾学习内容，帮助学生归纳反思所学知识及思想方法.关注学生的个体差异. 13.4
11、最短路径问题两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题方法提炼：将最短路径问题转化为“线段和最小问题”板书设计：教学反思：141整式的乘法141.1同底数幂的乘法1理解并掌握同底数幂的乘法法则(重点)2运用同底数幂的乘法法则进行相关运算(难点)一、情境导入问题：2014年9月，一个国际空间站研究小组发现了太阳系以外的第100颗行星，距离地球约100光年.1光年是光经过一年所行的距离，光的速度大约是3105km/s.问：这颗行星距离地球多远？(1年3.1536107s)31053.153610710033.1536107
12、1051029.4608105107102.问题：“107105102”等于多少呢？二、合作探究探究点一：同底数幂的乘法的计算【类型一】 底数为单项式的同底数幂的乘法 计算：(1)23242；(2)a3(a)2(a)3；(3)mn1mnm2m.解析：(1)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；(2)先算乘方，再根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；(3)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可解：(1)原式234128；(2)原式a3a2(a3)a3a2a3a8；(3)原式mn1n21m2n4.方法总结：同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1的幂，进行运算时，不能忽略了
13、幂指数1.【类型二】 底数为多项式的同底数幂的乘法 计算：(1)(2ab)2n1(2ab)3(2ab)n4；(2)(xy)2(yx)5.解析：将底数看成一个整体进行计算解：(1)原式(2ab)(2n1)3(n4)(2ab)3n；(2)原式(xy)2(xy)5(xy)7.方法总结：底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算(ab)n探究点二：同底数幂的乘法法则的运用【类型一】 运用同底数幂的乘法，求代数式的值 若82a38b2810，求2ab的值解析：根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加，可得a、b的关系，根据a、b的关系求解解：82a38b282a3b2810，2a3b210，解得2a
14、b9.方法总结：将等式两边化为同底数幂的形式，底数相同，那么指数也相同【类型二】 同底数幂的乘法的实际应用 经济发展和消费需求的增长促进了房地产的发展，使得房价持续上涨，2015年前5个月，某市共销售商品房8.31104平方米据监测，商品房平均售价为每平方米4.7103元，2015年前5个月该市的商品房销售总额是多少元？解析：先根据题意列出算式计算即可解：8.311044.7103(8.314.7)(104103)3.9057108(元)答：2015年前5个月该市的商品房销售总额是3.9057108(元)方法总结：本题考查了同底数幂的乘法的应用，关键是根据题意得出算式，注意结果要用科学记数法表
15、示【类型三】 利用同底数幂的乘法探究指数的关系 已知2a3，2b6，2c18，试问a、b、c之间有怎样的关系？请说明理由解析：观察题目的已知可以发现3618，利用同底数幂相乘，底数不变指数相加解答解：3618，2a2b2ab2c，abc.方法总结：解答此类问题就是利用同底数幂的乘法，将等式两边转化为底数相同的形式，然后让指数相等解答探究点三：同底数幂的乘法法则的逆用 已知am3，an21，求amn的值解析：把amn变成aman，代入求值即可解：am3，an21，amnaman32163.方法总结：逆用同底数幂的乘法法则把amn变成aman.三、板书设计同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即amanamn(m、n都是正整数)条件：(1)同底数幂；(2)乘法结果：(1)底数不变；(2)指数相加在同底数幂乘法公式的探究过程中，学生表现出观察角度的差异：有的学生只是侧重观察某个单独的式子，把它孤立地看，而不知道将几个式子联系起来；有些学生则既观察入微，又统揽全局，表现出了较强的观察力教师要善于抓住这个契机，适当对学生进行指导，培养他们“既见树木，又见森林”的优良观察品质对于公式使用的条件既要把握好“度”，又要把握好“方向”