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1、第六节Green 公式Gauss 公式推广推广一、高斯公式一、高斯公式*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 *三、通量与散度三、通量与散度 高斯公式 *通量与散度 第十章 1GaussGauss 公式公式 前面我们将前面我们将 Newton-Lebniz 公式推广到了平面公式推广到了平面区域的情况，得到了区域的情况，得到了Green 公式。此公式表达了平面公式。此公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系。下面我们再把的关系。下面我们再把Green 公式做进一步推广，这公式做进一步推广，
2、这就是下面将要介绍的就是下面将要介绍的GaussGauss 公式，公式，GaussGauss 公式表达了公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系，同时之间的关系，同时GaussGauss 公式也是计算曲面积分的一公式也是计算曲面积分的一有效方法。有效方法。一、一、Gauss Gauss 公式公式2定理定理3oxyz证明证明首先假设穿过首先假设穿过内部且平行于坐标轴的直线与内部且平行于坐标轴的直线与的边界曲面的边界曲面的交点恰好为两个的交点恰好为两个以投影区域的边界曲线为准线，母线平行与以投影区域的边界曲线为准线，母线平行与
3、坐标轴的柱面上介于上下边界曲面之间的部分坐标轴的柱面上介于上下边界曲面之间的部分4根据三重积分的计算法根据三重积分的计算法根据曲面积分的计算法根据曲面积分的计算法5同理同理6合并以上三式得：合并以上三式得：高斯公式高斯公式由两类曲面积分之间的关系知由两类曲面积分之间的关系知GaussGauss公式的实质公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系曲面上的曲面积分之间的关系.7注注 不满足上述条件，可以引进若干张辅助曲面不满足上述条件，可以引进若干张辅助曲面分成几个有限的小区域使之都满足上述条件分成几个有限的小区域使之都满足上述条
4、件注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分绝对值注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分绝对值相等，而符号相反，相加时正好抵消，因此上述公相等，而符号相反，相加时正好抵消，因此上述公式对这样的区域也成立，式对这样的区域也成立，故一般地故一般地1。若若82。公式成立的条件公式成立的条件 根据根据Gauss 公式，用三重积分来计算曲面积分公式，用三重积分来计算曲面积分是比较方便的，但是比较方便的，但Gauss 公式同时也说明，可用公式同时也说明，可用曲面积分来计算三重积分曲面积分来计算三重积分9例例1 解解二、简单的应用二、简单的应用10(利用柱面坐标得利用柱面坐标得)11解解空间曲面在空间曲面在 面
5、上的投影域为面上的投影域为曲面曲面 不是封闭曲面不是封闭曲面,为利用为利用高斯公式高斯公式1213故所求积分为故所求积分为14注注 应用应用Gauss 公式计算曲面积分时，要求公式计算曲面积分时，要求曲面必须是封闭曲面，若不封闭，则需要添加曲面必须是封闭曲面，若不封闭，则需要添加一辅助曲面使其封闭，而在所添加的曲面上，一辅助曲面使其封闭，而在所添加的曲面上，曲面积分应是容易计算的，用曲面积分应是容易计算的，用Gauss 公式计算公式计算三重积分，最后减去所补曲面上的积分值，往往三重积分，最后减去所补曲面上的积分值，往往可使计算简化可使计算简化 Gauss 公式要求曲面取外侧这一点也不容公式要求
6、曲面取外侧这一点也不容忽视，尤其是对非封闭曲面的曲面积分，所添加忽视，尤其是对非封闭曲面的曲面积分，所添加的辅助曲面的侧一定要和所给曲面的侧相容，若的辅助曲面的侧一定要和所给曲面的侧相容，若不满足外侧的要求，可利用反向性予以调整不满足外侧的要求，可利用反向性予以调整 （相差一个负号）（相差一个负号）可以证明在特殊情况下，可以证明在特殊情况下，Gauss 公式就是公式就是Green 公式公式15例例3.设 为曲面取上侧,求 解解:作取下侧的辅助面用柱坐标用柱坐标用极坐标用极坐标16例例3（Green 第一公式）第一公式）设函数设函数 u(x,y,z)和和 v(x,y,z)在闭区域在闭区域上具有一
7、阶和二阶连续偏导数，证明上具有一阶和二阶连续偏导数，证明17证证 在在Gauss 公式中公式中 令令移项即得移项即得Green 第一公式第一公式18例例4 证证由由Green 第一公式第一公式（Green 第二公式）第二公式）19两式相减得证两式相减得证Green 第二公式第二公式例例5 计算计算解解取下侧取下侧oxyzz=1由由Gauss 公式得公式得20而曲顶柱体的体积（而曲顶柱体的体积（用柱坐标用柱坐标）21或用先重后单法或用先重后单法22三、沿任意闭曲面的曲面积分三、沿任意闭曲面的曲面积分 为零的条件为零的条件对空间区域对空间区域 G ,若若 G 内任一闭曲面内任一闭曲面所围成的区域全
8、属于所围成的区域全属于G，则称，则称G 为空间二维单连域为空间二维单连域与沿任意闭曲线的曲线积分为零的问题相类似与沿任意闭曲线的曲线积分为零的问题相类似有下述结论有下述结论定理定理设设G 是空间二维单连域是空间二维单连域,P,Q,R 在在G内具有内具有连续的一阶偏导数，则曲面积分连续的一阶偏导数，则曲面积分23沿沿G内任意闭曲面的曲面积分为零的充要条件是内任意闭曲面的曲面积分为零的充要条件是在在G内除点内除点M0（x0,y 0,z0)外连续外连续称为奇点称为奇点则则G内任意包含内任意包含M0 的同侧闭曲面的曲面积分相等的同侧闭曲面的曲面积分相等 24四、物理意义四、物理意义-通量与散度通量与散
9、度1.1.通量的定义通量的定义:252.2.散度的定义散度的定义:26散度在直角坐标系下的形式散度在直角坐标系下的形式由积分中值定理由积分中值定理,两边取极限两边取极限,27 向量场的散度表征场在向量场的散度表征场在 M 附近的变化情况，可以想附近的变化情况，可以想象为从象为从 M 附近的单位体积向外散发（向内汇集）的附近的单位体积向外散发（向内汇集）的向量线的数目，向量线的数目，div A 0 的点称为源，的点称为源，div A 0 的点称为汇的点称为汇 div A =0 的场称为无源场的场称为无源场高斯公式可写成高斯公式可写成28五、小结五、小结1、高斯公式、高斯公式2、高斯公式的实质、高斯公式的实质（1）应用的条件）应用的条件（2）物理意义）物理意义29思考题思考题曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？思考题解答思考题解答曲面应是分片光滑的曲面应是分片光滑的闭闭曲面曲面.30练习题练习题313233练习题答案练习题答案34