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1、等差数列前n项和的性质及应用2018年3月1知识回顾：1.an为等差数列为等差数列 .，an=，更一般的，更一般的，an=，d=.an+1-an=d2an+1=an+2+ana1+(n-1)dan=an+b a、b为常数为常数am+(n-m)d2.等差数列前n 项和Sn=.2复习：复习：等差数列的前等差数列的前n项和公式项和公式 31、通项公式与前、通项公式与前n项和的关系：项和的关系：例例1、已知数列、已知数列a n的前的前n项和为项和为 ，求这个数列的通项公式。这个数列是，求这个数列的通项公式。这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？分别是
2、什么？4分析：分析：所以当所以当n 1时，时，当当n=1时，时，也满足上式。也满足上式。因而，数列因而，数列是一个首项为是一个首项为，公差为，公差为2的等差数列。的等差数列。5注：由上例得注：由上例得S n与与之间的关系：之间的关系：由由的定义可知，当的定义可知，当n=1时，时，当当n 2时，时，6新课178探究：探究：如果一个数列如果一个数列的前的前n项和为项和为，其中，其中p、q、r为常数，且为常数，且，那么这个数列一定是，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？分析：由分析：由，得，得令令p+q+r=2p (p+q)，
3、得，得r=0。=所以当所以当r=0时，数列时，数列是等差数列，首项是等差数列，首项a 1=p+q，9等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题一、10例题例题：已知等差数列已知等差数列 的前的前 n 项和项和为为 ，求使得，求使得 最大的序号最大的序号 n 的值。的值。分析：分析：等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题11121：数列an是等差数列，是等差数列，（1）从第几项开始有）从第几项开始有（2）求此数列前）求此数列前n项和的最大值项和的最大值练习：13小结：小结：aan n 为等差数列，求为等差数列，求S Sn n的最值。的最值。14已知等差数列已知等差数列an中中
4、,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法1由由S3=S11得得 d=2当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49.7n113Sn能力提升15已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法2由由S3=S11得得d=2当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49.an=13+(n-1)(-2)=2n+15由由得得16已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法3由由S3=S11得得d=20,S13013a1+136d0等
5、差数列等差数列an前前n项和的性质项和的性质37(2)Sn图象的对称轴为图象的对称轴为由由(1)知知由上得由上得即即由于由于n为正整数为正整数,所以当所以当n=6时时Sn有最大值有最大值.Sn有最大值有最大值.38作业作业求集合求集合的元素个数，并求这些元素的和的元素个数，并求这些元素的和.39作业作业1 1、已知等差数列、已知等差数列25,21,19,25,21,19,的前的前n项和为项和为Sn,求使求使得得Sn最大的序号最大的序号n的值的值.2 2：已知在等差数列：已知在等差数列 an n 中中,a10=23,a25=-22,Sn为其前为其前n项和项和.（1 1）问该数列从第几项开始为负？
6、）问该数列从第几项开始为负？（2 2）求）求S10（3 3）求使）求使 Sn0的最小的正整数的最小的正整数n.(4)(4)求求|a1 1|+|+|a2 2|+|+|a3 3|+|+|+|a2020|的值的值401.1.根据等差数列前根据等差数列前n n项和，求通项公式项和，求通项公式.2 2、结合二次函数图象和性质求、结合二次函数图象和性质求 的最值的最值.413.等差数列等差数列an前前n项和的性质项和的性质性质性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n,也在等差数列也在等差数列,公差为公差为在等差数列在等差数列an中中,其前其前n项的和为项的和为Sn,则有则有性质性质2:若若Sm=p,Sp=m
7、(mp),则则Sm+p=性质性质3:若若Sm=Sp(mp),则则 Sp+m=性质性质4:(1)若项数为偶数若项数为偶数2n,则则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中为中间两项间两项),此时有此时有:S偶偶S奇奇=,n2d0nd(m+p)42性质性质4:(1)若项数为奇数若项数为奇数2n1,则则 S2n-1=(2n 1)an (an为中间项为中间项),此时有此时有:S偶偶S奇奇=,两等差数列前两等差数列前n项和与通项的关系项和与通项的关系性质性质6:若数列若数列an与与bn都是等差数列都是等差数列,且且前前n项的和分别为项的和分别为Sn和和Tn,则则性质性质5:
8、为等差数列为等差数列.an43新课544倒序法求和倒序法求和倒序相加法：倒序相加法：将数列的顺序倒过来排列，与原数列两式将数列的顺序倒过来排列，与原数列两式相加，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，这相加，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，这样的数列可用倒序相加法求和。样的数列可用倒序相加法求和。45倒序法求和倒序法求和例例1.1.若若，则，则的值为的值为 。【解析】【解析】46裂项法求和裂项法求和所谓所谓所谓所谓”裂项法裂项法裂项法裂项法”就是把数列的各项分裂成两项之差就是把数列的各项分裂成两项之差就是把数列的各项分裂成两项之差就是把数列的各项分裂成两项之差,相邻的相邻的相邻的相邻
9、的两两两两项彼此相消项彼此相消项彼此相消项彼此相消,就可以化简后求和就可以化简后求和就可以化简后求和就可以化简后求和.一些常用的裂项公式一些常用的裂项公式:4748利用数列周期性求和利用数列周期性求和 有的数列是周期数列，把握了数列的周期则可顺利求和有的数列是周期数列，把握了数列的周期则可顺利求和.关关键之处是寻找周期。键之处是寻找周期。例例3 3：在数列：在数列中，中，求求解：由解：由 可得可得49利用数列周期性求和利用数列周期性求和 而而 50例例4 4：求和：求和其它方法求和其它方法求和 合合 并并 求求 和和 法法解：设解：设当当n n为偶数时，设为偶数时，设n=2kn=2k，则，则而且而且51练习：求和练习：求和裂项法求和裂项法求和提示：提示：525354