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1、1.1.2 空间向量的数量积运算 导学案一.学习目标1.认识与理解空间两向量的夹角、数量积、向量投影以及投影向量的概念；（数学抽象） 2.理解与掌握空间向量数量积的性质及其运算律，能利用空间向量的数量积解决向量的模、夹角问题，以及判断两个向量的垂直关系.（数学运算、逻辑推理）二.学习过程（导学、自学）（一）探究新知1空间向量的数量积（互学）1.空间向量的夹角如图，已知两个非零向量 a , b ，在空间中任取一点O ，作向量OA= a ， OB= b ， 则 (0) 叫做向量 a 与 b的夹角,记作 = .注：特别地，（1）当 0 时， a 与 b ；（2）当 时，a 与 b ；（3）当 2 时
2、，我们说 a 与 b ，记作 .温馨提示两向量的夹角的范围是 ，这样两个向量的夹角是唯一确定的，且a , b= b , a ； 两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角.2.空间向量的数量积如图，已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a b，即 a b= .规定：零向量与任一向量的数量积为 0，即 0 a= ;温馨提示(1)数量积运算中间是“”，不能写成“”，也不能省略不写.(2)向量的数量积是一个实数(数量)，不是向量，它的值可正、可负、可为0.3.空间向量数量积的性质设两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 ，由向量数
3、量积定义 a b=|a|b|cos可得如下的性质（1） a b ; 注：当 a b时，= ，cos90= ，则 a b=|a|b|cos90= .（2）a2=aa=a2,则有a=a2; 注：a , a= , cos0= ,则 a2=aa=|a|a|cos0= .4.空间向量数量积的运算律由空间向量数量积的定义可得如下的运算律 对于空间向量a, b , c和实数 ，有（1） 交换律：ab= ; （2） 结合律：a b= ;（3） 分配律：(a+b)c= ； （4）完全平方公式：a+b2= ; （5）平方差公式：a+ba-b= . 注：等式( ab) c= a(bc) ，因为( ab) c表示与
4、共线的向量， a(bc)表示与 共线的向量，而 a与 c 不一定 ，所以( ab) c= a(bc)不一定成立.（二）探究新知2空间向量的投影向量（互学）1.向量a 向向量b的投影如图 ，在空间，向量a 向向量b的投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面 内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c ,且 c= ,（注：=a , b ，e为向量b的 向量）向量c称为向量 a在向量b上的 向量.2.向量a向直线 l 的投影类似地，如图 ，在空间，向量a向直线 l 的投影，由于向量a是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面 内，进而利用平面上向量的投影，得到与直线
5、l 共线的向量c ,且c= ,（注：=a , b ，e为直线 l 的共线向量，且e=1） 向量c 称为向量a向直线 l 的 .3.向量a向平面的投影 如图，向量a向平面的投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为A，B，得到向量 ，向量 称为向量a在平面上的 向量. 这时，向量 的夹角就是向量a所在直线与平面所成的角.三.典例分析（互学）例1 如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，AB=5，AD=3，AA=7，BAD=60，BAA=DAA=45求:(1)ABAD; (2)AC的长(精确到 0.1)解：（1） AB=5，AD=3，AA=7，BAD=60， ABAD=|AB|
6、AD|cosBAD=53cos60=5312=152（2） AC2=AC2=AB+AD+AA2 =AB2+AD2+AA2+2ABAD+ABAA+ADAA =52+32+72+2(53COS60+57COS45+37COS45) =98+562 AC=98+56298+561.41413.3 注：据加法的平行四边形法则可知“平行六面体（包括正方体与长方体）相邻三条棱表示的向量之和总等于它们所夹对角线表示的向量.”例2 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，则AB 在AC1上的投影向量的模为 .解：正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1 AB=1，AC1=AB2+BC2+C
7、C12=3ABBC=ABCC1=0,且AC1=AB+BC+CC1如图，过点B作BEAC1,垂足为E则向量AE即为AB在AC1上的投影向量， AE=ABcosAC1AC1=ABAC1AC1AC1AC1=ABAB+BC+CC1AC1AC1AC1 =AB2+ABBC+ABCC1AC1AC1AC1 =AB2AC12AC1=1232AC1=13AC1=33例3 如图，m，n是平面内的两条相交直线，如果 lm，ln，求证: l.证明：在平面内作任意一条直线g，分别在直线 l,m，n，g上取非零向量l，m，n，g.直线m 与n相交，向量m，n不平行.由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，
8、使 g=xm+yn将上式两边分别与向量l作数量积运算，得 lg=xlm+yln lm，lnlm=0，ln=0 lg=0 lg lg即 l 垂直于平面g内的任意一条直线 l注： 由于空间向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，空间图形的许多性质可以由向量的线性运算及数量积运算表示出来.四.达标检测（迁移变通、检测实践）1.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱CC1上任意一点，则AMBC=( )A. 1B. 2C. -1D. -2【答案】A解：连接AC，如图所示：在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱CC1上任意一点，设CM=CC1=AA1，01，AA1A
9、D，ABAD，AMBC=(AC+CM)AD=(AB+AD+AA1)AD=0+AD2+0=1故选A2.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，BD=3，AD1DC-AB1BC=4，则cos=()A. 23B. -23C. 34D. -34【答案】B【解答】解：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设AB=a，AD=b，AA1=c，则由已知条件得|c|=AA1=2，|b-a|=BD=3，AD1DC-AB1BC=(AD+AA1)AB-(AB+AA1)AD=ADAB+AA1AB-ABAD-AA1AD=AA1AB-AA1AD=AA1DB=4，即AA1BD=c(b-a)=-4，所以co
10、sAA1,BD=AA1BDAA1BD=cb-acb-a=-423=-23，故选：B3.已知在空间四边形ABCD中，ACD=BDC=90，且AB=2，CD=1，则CD在AB上的投影向量是()A. 14ABB. 12ABC. 14D. 12【答案】A【解答】解：根据已知ACD=BDC=90，得ACCD=DBCD=0，所以ABCD=(AC+CD+DB)CD=ACCD+|CD|2+DBCD=|CD|2=1，所以CD在AB上的投影向量是ABCD|AB|AB|AB|=14AB4.已知A，B，C，P为空间内不共线的四点，G为ABC的重心(1)证明：PA+PB+PC=3PG；(2)若向量PA，PB，PC的模长
11、均为2，且两两夹角为3，求PG【答案】解：(1)证明：因为G是ABC的重心，所以GA+GB+GC=0，则GP+PA+GP+PB+GP+PC=0，即PA+PB+PC=3PG(2)由(1)得PG=PA+PB+PC3，所以PG2=PA2+PB2+PC2+2PAPB+PAPC+PBPC9，=223+2322cos39=249，即PG2=2 635.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60，M是PC的中点，设AB=a，AD=b，AP=c(1)试用a，b，c表示出向量BM；(2)求BM的长【答案】解：(1)M是PC的中点，BM=12
12、(BC+BP)，AD=BC，BP=AP-AB，BM=12AD+(AP-AB)结合AB=a,AD=b,AP=c，得BM12b+(c-a)=-12a+12b+12c(2)AB=AD=1，PA=2，|a|=|b|=1，|c|=2ABAD，PAB=PAD=60ab=0，ac=bc=21cos60=1BM=-12a+12b+12cBM2=(-12a+12b+12c)2=14(a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc)=14(1+1+4+0-2+2)=32|BM|= BM2= 62，即BM的长等于 626.如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2,A1A
13、B=A1AD=120(1)求AC1；(2)求AA1BD【答案】解：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2,A1AB=A1AD=120(1)记AB=a,AD=b,AA1=c，则AC1=AB+BC+CC1=AB+AD+AA1=a+b+c，ABAD=ab=0，ABAA1=ac=12(-12)=-1，ADAA1=bc=12(-12)=-1，|AC1|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=1+1+4+2(0-1-1)=2，即有|AC1|= 2；(2)AA1BD=AA1(AD-AB)=c(b-a)=cb-ca=-1-(-1)=0五、课堂小结：本节课我们都学习了那些知识？