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1、第五节古典概型考纲 1.理解古典概型及其概率计算公式2会计算一些随机事件所包 含的基本事件数及事件发生的概率.抓基础自主学习I理教材双基自主测评知识梳理1 .古典概型具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型（古典的概率模型）.（1）试验的所有可能结果只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果；（2）每一个试验结果出现的可能性招圆.2 .古典概型的概率公式事件A包含的可能结果数4试验的所有可能结果数n学情自测1 .（思考辨析）判断下列结论的正误.（正确的打“，错误的打“X”）（1） “在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.（）（2）掷一枚硬币
2、两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.（）（3）从一3, -2, 一1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同.（）（4）利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率.（）答案（1）X （2）X （3）V （4）X2 .（教材改编）下列试验中，是古典概型的个数为（）向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；3 向正方形A5CD内，任意抛掷一点P,点P恰与点C重合；从123,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；在线段0,5上任取一点，求此点小于2的概率.A. 0B. 1C.
3、 2 D. 3B 由古典概型的意义和特点知，只有是古典概型.3. (2016全国卷III)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得 第一位是M, 1, N中的一个字母，第二位是123,4,5中的一个数字，则小敏输 入一次密码能够成功开机的概率是()A.表B.C.tD.C(M2), (M3), (M4),(),(1,2), (/,3), (7,4),(1,5), (N,l), (M2), (M3), (N,4), (N,5),事件总数有15种.正确的开机密码只有1种， JL4 . (2015全国卷I )如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长， 则称这3个数为一组勾股数，从123,
4、4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成 一组勾股数的概率为()A岛B-ICDJOu-20C 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,3,4), (1,3,5), (1,4,5), (2,3,4), (2,3,5), (2,4,5), (3,4,5),其中 勾股数只有(3,4,5),所以概率为七,故选C5 .甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择 1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为.1 由乘法计数原理，两人各选一种运动服有3义3 = 9种方法，其中同色的有3种情况.3 1所以所求事件
5、的概率P=x=vV 3明考向题型突破|析典例.探求规律方法卜例恰有1个白球，1个红球的概率为()着精彩微课B.102?简单古典概型的概率(2017佛山质检)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有io个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中D. 1C-21(2)(2015江苏高考)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只 红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为.(1)B (2)| (1)从袋中任取2个球共有CX= 105种取法，其中恰好1个白球，1个红球共有CloCg = 5O种取法，所以所取的球恰好1个白球，1个红球的】50 10才既率为诟
6、=五(2)由古典概型概率公式，得所求事件的概率为P=-厂规律方法1.计算古典概型事件的概率可分三步：(1)计算基本事件总个数 及；(2)计算事件A所包含的基本事件的个数相；(3)代入公式求出概率P.2 .确定基本事件个数的方法：(1)基本事件较少的古典概型，用列举法写出所有基本事件时，可借助“树 状图”列举，以便做到不重、不漏.(2)利用计数原理、排列与组合的有关知识计算基本事件.变式训练1 (1)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为() A.1B. |D.c.l(2)(2016江苏高考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1,2,
7、3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的 概率是.(1)C (2)| (1)设正方形的四个顶点分别是A, B, C, D,中心为O,从这 5个点中，任取两个点的事件分别为AB, AC, AD, AO, BC, BD, BO, CD, CO, DO,共有10种，其中只有顶点到中心。的距离小于正方形的边长，分别 是 AO, BO, CO, DO,共有 4 种.4 3所以所求事件的概率P= 1 而=与.(2)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2
8、),，(6,6),共 36 种情况.设事件 A= 出 现向上的点数之和小于10”，其对立事件了 = 出现向上的点数之和大于或等 于 10”，A 包含的可能结果有(4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6),共 6 种情|考向2 |况所以由古典概型的概率公式，得所以P(A)=l-t4复杂的古典概型的概率(2015四川卷改编)某市A, 3两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了 3名男生、2名女生，8中学推荐了 3名男生、4名女生，两校所推荐 的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A
9、中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人 数不少于2人的概率.解(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从5中学抽取(等价于人中学没有学生入选代表队)的概率为瑞 _ 1 =Too-1 go因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1一面=砺.5分(2)设参赛的4人中女生有 4人,乙=1,2,3.C4c3 3CjC 1则雄=廿予10分由互斥事件的概率加法公式可知，3 1 4P62) = Pq=2)+P(=3) =5+弓=子故所求事件的概率为U12分规律方法1.求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义, 把实
10、际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者 先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公 式求解.2.注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.变式训练2 (2016山东高考)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣 味活动.参加活动的儿童需转动如图10-5-1所示的转盘两次，每次转动后，待转盘 停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x, y.奖励规则 如下：指针图 10-5-1若孙W3,则奖励玩具一个；若孙28,则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩
11、具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.解用数对(%, y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间。与 点集 S=(x, y)|xGN, yN,l4W4,lWyW4对应.因为S中元素的个数是4X4= 16,所以基本事件总数=16.3分(1)记“xyW3”为事件A,则事件A包含的基本事件数共5个，即(1,1), (1,2),(1,3), (2,1), (3,1).所以。5)=焉 即小亮获得玩具的概率为得 (2)记“肛三8”为事件3, “3肛8”为事件C则事件3包含的基本事件数共6个，即(2,4), (3,3), (3,4), (4,2), (4,3), (4,
12、4),事件C包含的基本事件数共5个,10分即(1,4), (2,2), (2,3), (3,2), (4,1).53 5所以P(O=正因为QE所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.12分|考向3 |古典概型与统计的综合应用(2015全国卷n)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A, B两地区分别随机调查了 20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:62738192958574645376 78869566977888827689B地区:73836251914653736482 93486581745654766579根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两
13、地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可);AW BMg456图 10-5-2(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C “A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求。的概率.解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:AM区6 46 8 8 6 49 2 8 6 57 5 532312456789B地区13 6 42 4 5 53 3 4 63 2 11 32分通过茎叶
14、图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满 意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比 较分散.5分(2)记Cai表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；CA2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；Cbi表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；金2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”；则 Cai与 Cbi独立，Ca2与 Cb2独立，Cbi与 Cb2互斥，且 C=CbiCai+ Cb2cA2.*.P(Q = P(CbiCai U Cb2cA2)= P(CbiCai) + P(Cb2cA2)= P(Cbi)P(Cai)+
15、P(Cb2)P(Ca2).8 分164108又根据茎叶图知 P(Cai)=与，P(Ca2)=4，P(Cbi)=4，P(C52)=4.10 分因此尸(。=而乂而+而又而=石=0.48.12分规律方法1.本题求解的关键在于作出茎叶图，并根据茎叶图准确提炼数 据信息，考查数据处理能力和数学应用意识.2.有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成 为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、 分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是关键.变式训练3海关对同时从A, B,。三个不同地区进口的某种商品进行抽 样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：
16、件)如下表所示.工作人员用分层 抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A, B, C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件 商品来自相同地区的概率.解 因为样本容量与总体中的个体数的比是京益匚而=击，2分 JU I 1 JU I 1 JU所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50X7=1,150X7=3,100X7=2.所以A, B,。三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.5分6X5(2)从6件样品中抽取2件商品的基本事件数为C=t7=15,每个样品被 z X 1抽到的机会均等，
17、因此这些基本事件的出现是等可能的.8分记事件。：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件。包含的基本事4件数为CHC2=4,所以P(Z)=E.10分4故这2件商品来自相同地区的概率为百.12分名师微博思想与方法1 .古典概型计算三步曲第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三， 事件A是什么，它包含的基本事件有多少个.2 .确定基本事件的方法3 1)当基本事件总数较少时，可列举计算；4 2)列表法、树状图法；5 3)利用计数原理、排列与组合知识计算.3.较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式简化运算.易错与防范古典概型的重要特征是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总 数和事件包括的基本事件个数时，它们是否是等可能的.