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1、第3讲组合及组合数5种题型总结【考点分析】考点一：组合及组合数的概念组合：一般地，从个不同元素中取力加2）个元素 合成一组，叫做从个不同元素中取出m个元素 的一个组合.组合数：从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号 C；表示.考点二：组合数公式及其性质八T 心4：（一吸一2）（一加+ 1）n公式：C” =-7r4；mlm!（/?-/?）!性质：性质 1：C； = C；m性质 2: C： = C： + C：T规定：C；=l【题型目录】题型一：组合的概念题型二：组合数的计算题型三：解组合数方程和不等式题型四：组合数的性质及恒等式题型五：组
2、合的简单应用【典型例题】题型一：组合的概念【例1】（多选题）下面问题中，是组合问题的是（）A.由1, 2, 3三个数字组成无重复数字的三位数B.从40人中选5人组成篮球队C.从100人中选2人抽样调查D.从1, 2, 3, 4, 5中选5个数组成集合【例2】下列问题中，组合问题的个数是（）从全班50人中选出5人组成班委会；从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员；从1, 2, 3,，9中任取出两个数求积；从1, 2, 3,，9中任取出两个数求差或商.【例3】（多选题）给出下列问题，属于组合问题的有（）A.从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调
3、查，有多少种不同的选法B.有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法C.某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种D.从2, 3, 5, 7, 11中任选两个数相乘，可以得到多少个不同的积【题型专练】1 .以下四个问题，属于组合问题的是（）A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D.从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地2 .（多选题）下列问题中，属于组合问题的是（）A. 10支战队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少次比赛B.
4、 10支战队以单循环进行比赛，这次比赛的冠、亚军获得者有多少种可能C.从10名员工中选出3名参加同一种的娱乐活动，有多少种选派方法D.从10名员工中选出3名分别参加不同的娱乐活动，有多少种选派方法3 .（多选题）下列问题中是组合问题的有（）.A.某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票B.从7本不同的书中取出5本给某同学C. 3个人去做5种不同的工作，每人做一种，有多少种分工方法D.把3本相同的书分给5个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法4.（多选题）给出下列问题，其中是组合问题的是（）A.由1, 2, 3, 4构成的含3个元素的集合B.从7名班委中选2人担任班长和团支书C.从
5、数学组的10名教师中选3人去参加市里新课程研讨会D.由1, 2, 3, 4组成无重复数字的两位数题型二：组合数的计算【例1】c；+c公（）A. 25B. 30C. 35D. 40【例2】已知小掰为正整数，且之加，则在下列各式中错误的是（）A. A：=120；B. A：2=CA；C. C；+C3=C：j D.禺=&一【例 3】C；+C；+C；+C”.【例4】设为正整数，则关于仁工+仁：:，下列说法正确的是（）A.该代数式的值唯一确定B.该代数式的值有两种情况C.该代数式的值有三种情况D.该代数式的值有无数种情况【题型专练】1 .求值：7C；4。；=.2 .A；-10C；=.（用数字作答）3 .
6、C；+C；+C；=()D. C；A. C：B. C；C. C；题型三：解组合数方程和不等式厂【例1】已知则加=.253【例2】若xCi+A：=4C,则x的值为【例3】若3C；=5A：,则正整数 =【例4】已知11则=C =C ,3【题型专练】i.已知c：, a，c；成等差数列，则cr=,2.C5 + C3 19己知则的值是（）J-35A.B. 7C. 9 或6D. 83. （1）若C：C则的取值集合是. （2） C； + C；+C；+ + C；o =题型四：组合数的性质及恒等式【例1】已知xeN,则方程C；=C；i的解是【例2】已知C：=C，则。厂2+。厂.品=【例3】下列等式不正确的是（）B
7、. A-A： = n2A：-C. A：=nA：；D.仁=优+1）。+】+【例4】（多选题）对于zW，加， eN关于下列排列组合数，结论正确的是（CmnmlB.J? - G川=Cn + CnD.A：= mA：；【例5】（多选）C； + 2CC+CJ=（B. C；9C.D. C；oo【例 6】计算：C；+C：+C；+C；+C；+C：o+，【题型专练】1 .已知C；=C：；2,则X的值为（）A. 3B. 3 或 4C. 4D. 4 或 52 .已知C：r=C5 （xgZ）,则=.3 .（多选题）下列四个关系式中，一定成立的是（）（1）1A. A；1= jB.C. 3C；2C；=148 D. C：+C
8、；+C：+ + C： = 3284 .（多选题）下列有关排列数、组合数计算正确的有（）A. C； =5x4x3 = 60B.从2,3,5,7中任取两个数相乘可得C；个积c. C+c；+c； + +c；0c=C/D.100!= 101C101+1005.（多选题）对加且下列等式一定恒成立的是（）.AA. C：=C；rB. c：=瑞A”C. C3=c： + c;“D. A=A：+A；：t6.（多选题）下列有关排列数、组合数的计算，正确的是（）A. A；=1B. （ + 2）（ + l）A： = A；：；nC. c；+c；+c；+鼾0=。：。|D. C/i+cK是一个常数7计算：C+C；+CM+ +
9、 C=.题型五：组合的简单应用【例1】如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CZ）段马路由于正在维修，暂时不通，则从力到3的最短路径有（）CDAA. 20 条B. 21 条C. 22 条D. 23 条【例2】绿水青山就是金山银山，浙江省对“五水共治”工作落实很到位，效果非常好.现从含有甲的5位志 愿者中选出4位到江西，湖北和安徽三个省市宣传，每个省市至少一个志愿者.若甲不去安徽，其余志愿 者没有条件限制，共有多少种不同的安排方法（）A. 228B. 132C. 180D. 96【例3】新课程改革后，普通高校招生方案规定：每位考生从物理、化学、生物、地理、政治、历史六门学 科
10、中随机选三门参加考试，某省份规定物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有（）A. 14 种B. 15 种C. 16 种D. 17 种【例418名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名医生，其中 医生。不能去甲医院，则不同的选派方式共有（）A. 280 种B. 350 种C. 70 种D. 80 种【例5】平面上，四条平行直线与另外五条平行直线互相垂直，则它的矩形共有 个（结果用数值表示）.【例6】将某商场某区域的行走路线图抽象为一个2x2x3的长方体框架（如图），小红欲从4处行走至8处,则小红行走路程最近的路线共有.（结果用数字作答）【例7】我国古代
11、典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻”和阴爻“”，如图就是一重卦.如果某重卦中恰有3个阴爻，则该重卦可以有种.（用数字作答）【例8】2022年4月，新型冠状病毒疫情牵动着全国人民的心，某市根据上级要求，在本市某人民医院要 选出护理外科、心理治疗方面的专家4人与省专家组一起赶赴上海参加救助工作，该医院现有3名护理专 家4，4, 4，5名外科专家氏，B2, By&，B”2名心理治疗专家G，。2.（1）求4人中有1位外科专家，1位心理治疗师的选法有多少种？（2）求至少含有2位外科专家，且外科专家用和护理专家4不能同时被选的选法有多少种？【题型专练】1.教育
12、部于2022年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业专项行动，某市4所高校的校长计划拜访当地 的甲、乙两家企业，若每名校长拜访1家企业，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有（）A. 8 种B. 10 种C. 14 种D. 20 种2.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物“冰墩墩” 和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者 安装，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（）A. 8B. 10C. 12D. 143.北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪
13、容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与 奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会， 某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装不同 的吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（）A. 8B. 10C. 12D. 144.（多选题）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目， 下列说法正确的是（）A.若任意选择三门课程，则选法种数为35B.若物理和化学至少选一门，则选法种数为30C.若物理和历史不能同时选，则选法种数为30D.若物
14、理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，则选法种数为205 .从1, 2,，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有 种取法（用数字作答）.6 . 8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名， 再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第三、四名，则该大师 赛共有 场比赛.7 .某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷.现要选派 划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有8从4男2女共6名学生中选出1人吃原味薯片,2人吃黄瓜味薯片，剩下3人吃番茄味薯片，共有种选法；如果男生不吃原味薯片，共有 种选法.（用数字作答）9.有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）共有多少种放法？（2）恰有一个盒子不放球，有多少种放法？（3）恰有两个盒不放球，有多少种放法？10.如图，在某城市中，两地之间有整齐的6x6方格形道路网，其中A是道路网中的一点.今在道路 网”,N处的甲、乙两人分别要到N,/处，其中甲每步只能向右走或者向上走，乙每步只能向下或者向左 走.（1）求甲从/到达N处的走法总数;（2）求甲乙两人在A相遇的方法数.