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1、第三节 全称量词命题与存在量词命题考试要求：能正确地对全称量词命题与存在量词命题进行否定.必备知识回顾教材重“四基”/一、教材概念结论性质重1 .全称量词与存在量词全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“星”表 示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“3” 表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.2 .含有一个量词的命题的否定命题命题的否定YxR M,夕（x）北-F（x）夕（x）YxRM, -77（x）微提醒1 .对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出
2、 命题的否定，否则易出错.2 .注意“或” “且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”.二、基本技能思想活动经验1 .判断下列说法的正误，对的画“，错的画“X .（1） 的否定是Vvo，.（ V ）（2） “长方形的对角线相等”是存在量词命题.（X ）（3） x +1 0v为真命题.（X ）写存在量词命题的否定时，存在量词变为全称量词.（V ）“mxGM,夕（X）”与“YxGM, Y（x）”的真假性相反.（V ）2 .已知命题夕：Vx0,总有（x+l）el,则0为（）A. 3z0,使得（x+l）e”WlB. 3y0,使得（x+l），WlC. Vy0,使得（x+l）elD. DxW
3、O,使得（x+l）e*WlB解析：“Vx0,总有（x+l）el”的否定是Fx0,使得（x+l）e*Wl”.3 .（多选题）下列命题为全称量词命题的是（）A.奇函数的图象关于原点对称B.正四棱柱都是平行六面体C.棱锥仅有一个底面D.存在大于等于3的实数x,使V2x3N0ABC解析：A, B, C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A, B, C都是全称量词命题；D中命题含有存在量词“存在，所以D是存在量词命题.故选ABC.4.（多选题）下列命题是*3”的另一种表述方法的是（）A.有一个xR,使得丁3成立B.对有些xR,有f3成立C.任选一个xR,都有V3成立D,至少有一个xR,使得寸3成立ABD
4、解析：原命题为存在量词命题，A, B, D选项均为对应的存在量词命题，是原命题的 表述方法，C为全称量词命题.5.以下四个命题中既是存在量词命题又是真命题的是（）A.锐角三角形有一个内角是钝角B.至少有一个实数必使VWOC.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数必使工2 XB解析：锐角三角形的内角都是锐角，所以A项是假命题；当x=0时，V = 0,满足VW0, 所以B项既是存在量词命题又是真命题；因为鱼+（一&）=0不是无理数，所以C项是假 命题；对于任意一个负数% 都有乂0,不满足工2,所以D项是假命题.XX-关键能力研析考点强“四翼”/考点1全称量词命题、存在量词命题的否定一一基础性多维
5、训练1 .命题sin xWx”的否定为（ ）A. 3X0, sin xxB. mxNO, sin xxC. sin xxD. VXO, sin xWxB解析：原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题.因为否定的是结论而不是条件，所以A选项错误，B选项正确.故选B.2 .命题“VxR,使得的否定形式是（）A. VxWR, a/yEN*,使得水/B. VyeR,使得/C. 2eR, B/yeN% 使得水fD. 2%eR, vM,使得VD解析：改变量词，否定结论.所以夕应为mxR, Vz?eN使得丁.”3 .命题FxR, 2%2cos x” 的否定为.VxR, 2/cos x解析：存在量词命题的否
6、定为全称量词命题，所以命题3xGR, 2?cos ，的否定为 VxR, 2/cos x” .解题通法1 .解决此类问题一般是先改写量词，再否定结论.2 .对于省去量词的命题要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写.考点2全称量词命题、存在量词命题的真假判断一一综合性典例引领例D7（1）下列四个命题中的真命题是（）A. V金R, nnB. V/R,m n=mC. 3zz7R,/nnD. n 1D.4是真命题，夕：0, + ）, （log三1C解析：因为0l.2.（多选题）命题小存在实数xR,使得数据1, 2, 3, x,6的中位数为3.若命题夕为真 命题，则实数x的取值集合可以为（）A. 3,
7、 4, 5B. x|x3C. xx3D. x|3WxW6ABCD解析：根据中位数的定义可知，只需x23,则1, 2, 3, x,6的中位数必为3,选项A, B, C, D中的取值集合均满足x3.考点3全称量词命题、存在量词命题的应用一一应用性典例引领例*（1） “Vx 2, 1, V2忘0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.g0B.启1C.启2D.启3D解析：2, 1, J2aW0”为真命题，即2a2/在王 2, 1时恒成立，所 以2H24,所以a22,即“Vx 2, 1, /-20为真命题的充要条件是a22,所以可转化为求22”的充分不必要条件，即找集合A=伯| a22的非空真子集，结合
8、选项知故选D.（2）（多选题）使命题1, 2）, f（x）=f+ax+4W0”为假命题的充分不必要条件 可以为（）B. Qa3C. dV3D. 10” 为真命题，则即T -0 + 40解得 1/(2) 0,(-4 + 2a + 40,0Wa3,结合选项知BD正确.同源异考/例2(1)改为“打-2, 1),才2一2口忘0”为真命题，则a的取值范围为0, +8).解题通法解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集 合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.多维训练1.命题“存在xR,使f+ax4aV0为假命题”是命题“一16Wa0”的( )A.充要条件B.必
9、要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必耍条件A解析：因为存在xR,使x -ax4aQ为假命题，所以任意不R,使V +打刀-4打0 为真命题，则/=才+16己 (0, + 8), A xx+1 是假命题，所以(0, + ), x x为真命题，即4Wx+工在(0, +8)上恒成立.当x(0, +8)时，工+工，2,当且仅当x XX=1时，等号成立，所以4W2.课时质量评价(三)A组全考点巩固练1 .命题“三王(0, +oo), In x=x-l”的否定是( )A. (0, +), In xWx1B.三廨(0, +), In x=xYC. (0, +), In xWxlD. V褊(0, +
10、), In x=x1C解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，将结论加以否定，所以命题的否定为“Vx (0, +), In xWx1” .2.已知命题使2/+gl)x+：W0”是假命题，则实数a的取值范围是()A. ( 8, 1)B. (1, 3)C. ( 3, + )D. ( 3, 1)B解析：由题意得，“VxR,使2/+gl)x+O”为真命题，所以/ = g1)240, 即| a 11 0).因为 照满足 2ax+6=0,所以照=/.当x=Xo时，函数F(x)取得最小值F(xo),所以广(Xo),从而A, B, D 2a为真命题，c为假命题.5.若引，勿Wtan x+1”为真命题，则实数力
11、的最大值为.440 解析：因为上，1,勿 Wtan x+1” 为真命题，所以 mW (tan x+l)min,L 44 J4n 4卜又牙卜：，T时，一IWtan xWl,所以OWtan x+lW2,所以实数/的最大值为0.6 . (2022 临沂模拟)命题 1, 1, f+3x1W0” 的否定是.V%e-1, 1, /+3%-10解析：先对全称量词改变，再对结论进行否定，因此命题“打 e -1, 1, f+3x1W0” 的否定是 “Vx 1, 1, V+3xio” .7 .若命题夕是“Vx(0, +8), x+l”，则命题可写为.三不 (0, + 8), Wx1解析：因为夕是夕的否定，所以只需
12、将全称量词变为存在量词， 再对结论否定即可.8 .已知函数 F(x) =9 2x+3, gx) =V% + /7,对任意的 xi,即1, 4有 Hxi)g(x2)恒成 立，求实数力的取值范围.解:f(x) = x2x+3= (x1) + 2.当 Xl, 4时，F(X)min=F(l) =2,g(x)max = g(4)=2 +R，则 /(X)ming(x)max 即22 + /，解得水0.故实数/的取值范围是(一8, 0).B组新高考培优练9 .(2022 潍坊二模)十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数2,关于x, y, z 的方程x+V=/没有正整数解”.经历三百多年，1995年数学
13、家安德鲁怀尔斯给出了证 明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为()A.对任意正整数，关于笛y, z的方程都没有正整数解B.对任意正整数2,关于 y, z的方程x+/=z至少存在一组正整数解C.存在正整数关于x, y, z的方程/+/=/至少存在一组正整数解D.存在正整数2,关于x, y, z的方程x+/=z至少存在一组正整数解D解析：命题为全称量词命题，则命题的否定为：存在正整数2,关于x, % z的方程 /+/=/至少存在一组正整数解.故选D.10.(多选题)(2023 德州模拟)下列四个命题中为真命题的是()a.(0, +8),B. E (0,1), logi%logiXC. (0,
14、 +8), ()嗯D. Vx。，I), (|)% Q厂成立，故A是假命题；对于B,当x=工时，有l = log工工=log工工log工三成立，故B是真命题； 22q3o 2对于C,当0xV工时,x,故c是假命题;对于 D, Vx(0, 0 , 0 1 1=工l, x?2). x-l(1)若mx2, +),使/(=/成立，求实数力的取值范围；(2)若Vm2, +8), 3%2e 2, +8),使得/(矛J =g(2),求实数。的取值范围.解：Hx)=二:不+工:不一1+2+122 + 1 = 3,当且仅当%=2时等号成立.所以， x-lx-lx-l若mx2, +8),使Mx)=加成立，且/(x)min = 3,则实数力的取值范围为3, +). 当 入22 时，fx N3, g(x) 2才.若 +), 3X2 2,+8),使得 f(xi)=晨X2), 则43,解得 遮.所以 a(l, V3.lal,