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1、学科教师辅导讲义学员编号:课时数：3学员姓名:辅导科目：奥数学科教师:授课主题第15讲抓“不变量”解题授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结掌握“总量不变”，“相差量不变”和“部分量不变“三种不变量思想，并能用这些思想解决现实教学目标生活中的问题。授课日期及时段T (Textbook-Based) 同步课堂知识梳理一个数量的变化，往往会引起其他数量的变化。如“某班转走3名女生”，女生人数变了，总人数也跟着变 了，男生与女生、女生与总人数之间的倍数关系也变了只有注意到这些变化，才能防止出错。但在这些数 量变化时，与它们相关的另外一些数量却没有改变。在分析数量关系时，这种不变量常常会起到非常重要的
2、作 用。抓住不变量进行思考，可以顺利解答一些经典的应用题，能达到事半功倍的效果。根据不变量的不同，可 以将“量不变”应用题分为三种类型：“总量不变”应用题、”相差量不变”应用题和“部分量不变”应用题。典例分析考点一：总量不变题中两个变化的量中，一个量在增加，另一个量减少，但是增加的和减少的同样多，所以两个量的总和保 持不变。解题时，一般把两个量的总和看作单位“1”或者把其中一个量看作是1倍的量。例1、有一个书架，上层与下层书的数量比是7:8,现从上层拿10本给下层,这时上层与下层的数量比是8:7,求原 来上、下层各有多少本？【解析】这道题上下层都发生了变化，但总数量不变,可把总数量看作单位“1
3、”,抓住总数量不变，根据上层与下层 的数量比是7:8知上层占总数的7/15,又根据上层与下层的数量比是8:7,知上层占总数的8/15,列 式 110:（8/15-7/15）=150 （本），150 本为总数量,150:（7+8）=10 （本）7x10=70 （本）8x10=80 （本）。例2、小丽有故事书108本，小芳有故事书140本，小芳借了若干本故事书给小丽后，小丽的故事书的本数是 小芳的3倍。问小芳借了多少本故事书给小丽？【解析】小芳借了若干本故事书给小丽前后，小芳和小丽拥有故事书的本数都发生了变化，但两人拥有故事书 的总本数不变，这是本题解题的关键。即（108+140）本就是小芳现有故
4、事书的本数的（3+1）倍，因此小芳现有故 事书的本数是（108+140）:（3+1）=62本，所以小芳借给小丽故事书的本数是140-62=78 （本）。可以验证一下： （108+78）：（ 140-78）= 186:62=3,答案正确。例3、有一个书架，上层与下层书的数量比是2： 3,现从上层拿15本书给下层，这时上层与下层书的数量比 是3： 7,求原来上、下层各有多少本书？【解析】根据题意，上、下两层书的本数都发生了变化，而上下两层书的总数量是不变的，可把总数量看作单 位“1”。抓住总数量不变，根据上层与下层书的数量比是2:3,知道上层书占总数的2/5；又根据上层与下层书的 数量比是3:7,
5、知道上层书占总数的3/10,两人故事书的总本数是：15： （2/5-3/10） =150 （本），所以上层原有 书 150x2/5=60 （本），下层原有书 150-60=90 （本）。考点二：相差量不变题中的两个量同时增加，或者同时减少，但是这两个量的差始终保持不变。根据这个不变的差量，就可以 解决问题了。例1、有一个书架，上层与下层的数量比是7:8,上、下层同时都拿走10本后,剩下上层与下层本数的比是13:15, 求原来上、下层各有多少本？【解析】这道题上下层都发生了变化，但它们的差不变，可把它们的差看作单位“1”,抓住相差量不变，根据上层与 下层的数量比是7:8,知上层占差的7/1,又根
6、据上层与下层的数量比是13:15,知上层占差的13/2,列 式:10*7/1-13/2）=20 本,20乂8-7）=20 本,20x8= 160 （本），20x7=140 （本）。例2、今年琪琪5岁，妈妈32岁，再过多少年妈妈的岁数是琪琪岁数的4倍？【解析】不论经过多少年，琪琪和妈妈的年龄差都是不变的。今年妈妈与琪琪的年龄差为32-5=27 （岁），等于 妈妈的岁数是琪琪岁数的4倍时的年龄差，所以27岁对应的是那一年琪琪岁数的（4-1）倍。那一年琪琪的岁 数是（32-5） : （4-1） =9 （岁），经过的年限是：9-5=4 （年）。例3、用杯子往一个空瓶里倒水，如果倒进6杯水，连瓶共重68
7、0克，如果倒进9杯水，连瓶共重920克，求 空瓶的重量。【解析】随着倒进的杯数不同，瓶里水的重量和总重量都在变化，但是不管倒进几杯水，每一杯水的重量都是 不变的，所以，（920-680）克就正好是（9-6）杯水的重量。对应相除就能求出1杯水的重量，（920-680）:（9-6） =80 （克）从而就可以求出空瓶的重量。920-80x9=200 （克）。考点三：部分量不变这类应用题的特点是：两个量中的一个量发生了变化，而另一个量不变。解题时可以把这个不变的量作为 解题突破口，寻找解题方法。例1、有一个书架，上层与下层书的数量比是7:8,现又拿来10本书放到上层，这时上层与下层的比是15:16,求
8、原 来上、下层各有多少本？【解析】这道题中,由于从外面拿10本书放到上层，上层的数量发生了变化，而下层本数不变，可把下层本数看成 单位“1”,抓住部分量不变,根据原来上层与下层书的数量比是7:8,知上层本数占下层的7/8,放入10本后,上层本 数占下层的15/16,也就是下层的（15/16-7/8）是10本，列式:10乂 15/16-7/8）=16。本,160本为原下层的本数,上层为 160/8x7=140 本。例2、小军原有的钱数是小明的3/4,小军用去100元后，这时小军的钱数是两人总钱数的5/17。小军原来有 多少元钱？【解析】题中小军的钱数减少了，总钱数也减少了，但小明的钱数没有变，因
9、此，我们可以把小明的钱数看作 单位“1”。这时“小军用去100元后，这时小军的钱数是两人总钱数的5/17”就转化为“小军用去100后，这时小 军的钱数是小明的5/（17-5）,即5/12”,再根据题中前两个条件可知，100元相当于小明的钱数的3/4-5/12=1/3。 因此小明的钱数是100:1/3=300（元），小军原有钱数是300x3/4=400 （元）。例3、唐洋小学六（4）班男生人数占班级总人数的9/16,后来又转走了 4名男生，这时男生人数占班级总人数的8/15,求六（4）班原来有学生多少名？【解析】从男生转走了4名看出，男生人数和班级总人数都发生了变化，但女生人数没有变。因此可以把
10、女生人数这个不变量看作单位“1”，原来男生人数占班级总人数的9/16,女生人数就占班级总人数的1-9/16=7/16,原来男生人数是女生人数的9/16:7/16=9/7；现在男生人数占总人数的8/15,女生人数就占班级总人数的1-8/15=7/15,现在男生人数是女生人数的8/15:7/15=8/7,男生人数减少了 4名，分率减少了 9/7-8/7=1/7,据此求出女生人数为4X/7=28（名），六（4）班原有学生人数是28:7/16=64（名）。P (Practice-Oriented) 实战演练实战演练 课堂狙击1、育才小学六（1）班原有学生56人，其中女生人数占全班人数的3/7,现又转入
11、若干名女生，这时，女生 人数占全班的13/29。问又转入多少名女生？【解析】这道题中，据六（1）班原有学生56人，其中女生人数占全班人数的3/7,知女生有56x3/7=24 （人）， 由于女生后来人数发生了变化，而男生人数一直没有变化，抓住不变量男生人数，男生人数为56-24=32 （人）， 据又转入若干名女生，这时，女生人数占全班的13/29,知男生人数占后来全班人数的（1-13/29） =16/39,后 来全班人数为32： （1-13/29） =58 （人），58-56=2 （人），得出又转入女生2人。列式：56x3/7=24 （人）， 56-24=32 （人），1-13/29=16/39
12、, 32; （1-13/29） =58 （人），58-56=2 （人）。2、某工程，由甲先做了 12天，再由甲、乙两人合做，完成任务时，甲做了这项工程的5/8,甲每天的工作量 是乙的2/3,假如这项工程由甲单独做，几天完工？【解析】从题中条件可知，这项工程在由甲先做了 12天后，剩下的工程是由甲、乙两人合做，才完成剩下的 工程，甲、乙两人做的时间是相等的，这是一个不变的量。另外由题意明白，甲每天的工作量是乙的2/3,因 为这项工程，甲做了其中的5/8,乙则做了其中的：15/8 =3/8,在乙完成这项工程的3/8这段时间里，甲 只能完成这项工程的：3/8 x 273 =1/4,即可得，在甲先做的
13、12天的这段时间里，完成了工程的：5/8-1/4, 因此可得，甲单独完成这项工程用的时间是：12； （5/8-1/4） =32 （天）。3、王进和张明计算甲、乙两个自然数的积（这两个自然数都比1大）。王进把甲数的个位数字看错了，计算结 果为91,张明却把甲数的十位数字看错了，计算的结果为175。两个数的积究竟是多少？【解析】91=7x13=1x91 ,所以175和91的公约数是1或7,因为乙数比1大，所以乙数一定是7。 抓住：一个因数（乙数）没有变，乙是91和175的公约数；91+7=13王进看错了的甲数。175+7=25张明看错了的甲数。15x7=105。194、如果给分数的分子加上一个数，
14、又从它的分母中减去同一个数，原分数就变为鼠，求所加（减）的这个数。 【解析】变化前后分子分母的和不变，原分数分子分母比为19： 45,分子分母子的和的总份数为19+45=64份；新分数分子分母比为3 ： 5,分子分母的和的总份数为3+5=8份。原来总份数64份和现在总份数8份所表 示的量应该是相同的，把3 ： 5改为24 ： 40,这样分子多了 24-19=5,分母少了 4540=5,因而所加（减）的 这个数是5。5、有浓度为95%的酒精溶液600克，现要加水稀释成浓度为75%的酒精，求加水后酒精溶液的重量。【解析】加水稀释，说明纯酒精不变，原来纯酒精与溶液的比是95 ： 100即19 : 2
15、0,纯酒精份数为19份；加 水后纯酒精与溶液的比是75 ： 100即3 ： 4,纯酒精份数为3份。原来纯酒精份数为19份和现在纯酒精份数为 3份所表示的量应该是相同的，把原来19 ： 20改为57 ： 60,把3 ： 4改为57 ： 76,这样原来酒精溶液所表示 的份数为60份，因而原来酒精溶液600克对应的份数是60份，而加水后溶液份数为76份.加水后酒精溶液的 重量 60060x76=760o课后反击1、育才小学六（1）班原有女生26人，其中女生人数占全班人数的13/29,现又转出若干名女生，这时，女 生人数占全班的3/7。问又转出多少名女生？【解析】这道题中，据六（1）班原有女生26人，
16、其中女生人数占全班人数的13/29,知全班人数为2673/29=58 （人）由于女生后来人数发生了变化，而男生人数一直没有变化，抓住不变量男生人数，男生人数为58-26=32（人），据又转出若干名女生，这时，女生人数占全班的3/7,知男生人数占后来全班人数的（1-3/7） =4/7, 后来全班人数为32； （1-3/7） =56 （人）,58-56=2 （人）,得出又转出女生2人。列式：26口3/29=58 （人）， 58-26=32 （人）,1-3/7M/7, 32： （1-3/7） =56 （人）,58-56=2 （人）。2、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。出发时，甲、乙两车
17、的速度比是4： 3。相遇后，两车 继续前进，乙车每小时比本来多行35千米。结果两车同时达到目标地，求甲车每小时行多少千米？【解析】甲、乙两车同时出发，相向而行。出发时，甲、乙两车的速度比是4： 3,到相遇时用的时间相等， 因此可得，这时两车行的路程比也是4 ： 3,两车相遇后，两车达到目标地的行程比则变为3 ： 4,如设乙车的 速度为“1”，则甲车的速度为4/3,设乙车本来的速度为X,乙车现如今的速度则为：X+35,甲车的速度则为 4/3X,因为两车在相遇后，又继续前进，并且两车同时达到目标地，这时两车行的时间又是相等的，时间一 定，路程和速度成正比例，因此可得：4 ： （X+35） =3 ：
18、 4/3X,解得，X=45,即乙车本来的速度为每小时行 45千米，甲车的速度则为：45x4/3 = 60 （千米）。3、把一个长25厘米，宽10厘米，高4厘米的长方体木块锯成若干个小正方体，接着拼成一个大正方体，求 这个大正方体的表面积。【解析 1因为将这个长方体锯成若干个小正方体，接着再拼成一个大正方体，这个大正方体的体积和本来长 方体的体积是相等的。因此，我们可抓住大正方体的体积和本来长方体的体积相等这个关键进行解答。本来 长方体的体积为：25x10x4=1000 （立方厘米），因此可得，将这个长方体锯成若干个小正方体接着再拼成一 个大正方体的体积也为1000立方厘米。而1000=10x1
19、0x10=10 3,因此可得，这个大正方体的棱长为10厘 米，这个大正方体的表面积则为：10x10x6=600 （平方厘米）。4、甲、乙两个书架放图书册数的比是7 ： 5,从甲书架上拿78册到乙书架，甲、乙书架上的图书册数的比变 为3 ： 4。甲书架原有图书多少册？【解析 1从甲书架上拿78册到乙书架，甲、乙两个书架图书总数不变，原来甲、乙两个书架放图书册数的比 是7： 5,总份数为7+5=12份；后来甲、乙书架上的图书册数的比变为3 ： 4,总份数为3+4=7份。原来总份 数12份和现在总份数7份所表示的量应该是相同的，把7： 5改为49： 35,把3： 4改为36： 48,这样甲少 了 4
20、9 36=13份，乙多了 48 - 35=13份，因而从甲书架上拿78册到乙书架这个78册对应的份数是13份。 甲书架原有图书78勺3x49=294本。5、某班男生人数是女生人数的,最近又转来一名女生，结果女生人数成了男生人数的3 ,求现在全班有 46多少人？【解析】最近又转来一名女生，男生人数不变，原来男生人数是女生人数的即原来男生人数与女生人数 4的比是5： 4,男生人数份数为5份；后来女生人数成了男生人数的，即男生人数与女生人数的比是6： 5,男 生人数份数为6份。原来男生人数份数为5份和现在男生人数份数为6份所表示的量应该是相同的，把5： 4 改为30 ： 24,把6 ： 5改为30
21、: 25,这样女生人数增加了 25-24=1份，因而又转来一名女生对应的份数是1 份。现在全班有（30+25） xl =55人。6、甲乙两种商品价格比为7 ： 3,它们的价格都上涨70元后价格比变为7 ： 4,两种商品原来价格各是多少元？ 【解析】甲乙两种商品价格上涨70元前后价格差不变，原来价格比为7： 3,差7 3=4份；上涨70元后价格 比变为7： 4,差74二3份。原来差4份和现在差3份所表示的量应该是相同的，把7 ： 3改为21 ： 9,把7 ：4改为28： 16,这样甲价格上涨2821=7份，乙价格上涨169=7份。因而它们的价格都上涨70元对应 的份数是7份。原来甲价格70:7x
22、21=210元；原来乙价格70:7x9=9。元。直击赛场1、（华杯赛）第一桶柴油的重量是第二桶的6倍，从第一桶取出12千克柴油加入第二桶，这时第一桶柴油的 重量是第二桶的4倍，原来第一桶有柴油多少千克？【解析】两桶柴油的重量总是不变的，又未知，要看作单位一的量。则“取前”第一桶占两桶总量的1/ （1+6） = 1/7, “取后”第一桶占两桶总量的1/（1+4）=1/5,第一桶取前取后差12千克占两桶总量的1/51/7 = 2/35,故两桶总量为：12:（2/35）=210 （千克）。原来第一桶：210:7=30 （千克）。2、（走美赛）有甲乙两个粮仓，原来甲仓库存粮与乙仓库存粮的吨数比是3：
23、5,从两个仓库都运走后50吨的 粮食后，甲仓库的存粮是乙仓库存粮的5/9。问原来甲乙两个粮仓各存粮多少吨？【解析】根据题意，甲乙两个粮仓的存粮的吨数都发生了变化，而且它们的总存粮的吨数也发生了变化，但 是我们可以发现，由于两个粮仓的存粮数都减少了 50吨，所以现在两个粮仓存粮的吨数差不变。我们可以把 吨数差作为单位T。原来甲仓库存粮与乙仓库存粮的吨数比是3： 5”，可知甲仓库存粮的吨数占吨数差的 3乂5-3）=3/2,都运走后50吨后，甲仓库存粮的吨数占吨数差的5乂9-5尸5/4。由此可以求出甲乙两个粮仓存粮 的吨数差是50X3/2-5/4）=200（吨），甲仓库存粮的吨数是200x3/2=3
24、00（吨），乙仓库存粮的吨数是300+200=500 （吨）。3、（希望杯）两个工程队，原来甲队人员比乙队少1 /4,后来甲队增加21人，这时乙队人员是甲队的8/9, 现在甲队有多少人？【解析】题目中乙队人数不变量未知，又不易直接求出，所以必须以乙队人员为单位T的量。第一句分率句 以乙队人员为单位“1”的量不必变，第二句分率句是：“甲队增加21人以后乙队是甲队的8/9”是以甲队为单 位力”的量是变量。因此要转化不变量乙队为单位的量，即“甲队人数是乙队的9/8”。找出对应：甲队增加 21人，相当于乙队的9/8 （1-1 /4） =3/8o故现在甲队人数为：21- （3/8） x （9/8） =63 （人）。重点回顾S (Summary-Embedded)归纳总结考点一：总量不变;考点二：相差量不变；考点三：部分量不变。名师点拨 ，抓，不变量，策略的程序：(1)分析，题目中的几个分数的单位1是否相同，分析题目中变化的量；(2)找出题中不变的量，并根据不变量作单位1,用分数表示其他变化的量;(3)找出量率的对应关系，用分数应用题的方法进行解答。学霸经验.本节课我学到我需要努力的地方是