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1、误差理论与数据处理第一章绪论1-1.研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容.答:研究误差的意义为：1正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或者减小误差；2正确处理测量和实验数据,合理计算所得结果，以便在一定条件下 得到更接近于真值的数据；3正确组织实验过程,合理设计仪器或者选用仪器和测量方法，以便 在最经济条件下，得到理想的结果.误差理论的主要内容：误差定义、误差来源与误差分类等.1-2.试述测量误差的定义与分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质, 可分为系统误差、随机误差、粗大误差.系统误差的特点是在所处测量条件下，误
2、差的绝对值和符号保持恒定, 或者遵循一定的规律变化(大小和符号都按一定规律变化)；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预 定方式变化；粗大误差的特点是可取性.1-3.试述误差的绝对值和绝对误差有何异同,并举例说明.答：1误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量, 不反映是大了还是小了只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值,指的是实际尺寸和标准尺寸的差值.+多少表明大了多少，-多少表示小了多少.2就测量而言，前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定 1-5测得某三角块的三个角度之和为ISOoOO5试求测量的绝对误差和 相对误
3、差 解: 绝对误差等于：180。00 02 180o 2二的6长4度80为005011；值最顺6网81%相对误差等于：216在万能测一，加嬲-60娜0件差为1 |im,试问该被测件的真实长度为多少？解：绝对误差=测得值一真值，即：L=L-L已知：L= 50, L= 1 |im 0=0.001mm,测件的真实长度L = L-a L= 50- 0.001= 49.999 (mm)01-7.用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa,该压力用更准确的办法现按等作用原则分配误差，可以求出测定r的误差应为：测定h的误差应为：3-14对某一质量进行4次重复测量，测得数据单位g为428.6,429.2,
4、426.5,430.8.已知测量的已定系统误差 2g,测量的各测量结果表示为:x -(431.4 4.9)gX极限误差分量与其相应的传递系数如下表所示.若各误差均服从正态分布, 试求该质量的最可信赖值与其极限误差.序号极限误差/g误差传递系数随机误差未定系统误差12.1121.5131.0140.5154.5162.21.471.02.281.81最可信赖值 x x -428.8 2.6 431.4(g)第四章测量不确定度41某圆球的半径为r,若重复10次测量得ro =cm,试求该圆球最大截面的圆周和面积与圆球体积的测量不确定度，置信概率 P=99%.解：求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度已
5、知圆球的最大截面的圆周为：D 2 r其标准不确定度应为：D 22ri一丁方 J4 3.141592 0.0052=0.0314cm确定包含因子.查t分布表t 9= 3.25,与K= 3.250.01故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为：U=Ku= 3.25 x 0.0314= 0.102求圆球的体积的测量不确定度4圆球体积为：V r3其标准不确定度应为：U ： 4 尸2416 3.14 1 592 3 J 324 0.0052 0.6 1 6确定包含因子.查t分布表t (9) = 3.25,与K= 3.25 ().01最后确定的圆球的体积的测量不确定度为U=Ku= 3.25 x 0.616=
6、 2.00242.望远镜的放大率D=fl/f2,已测得物镜主焦距flal= 119.8 0.10) cm,目镜的主焦距屹土o2= 0.800+0.005) cm求放大率测量中由fl、f2 引起的不确定度分量和放大率D的标准不确定度.4-3.测量某电路 电阻R两端的电压U,由公式I=U/R计算出电路电流诺测得U土丽(16500.05VR土丘(4.260.02 Q、相关系数PUR=O.36,试求电流I的标准不确定度.4-4某校准证书说明,标称值10的标准电阻器的电阻R在20 C时为10.000742 129(P=99% ),求该电阻器的标准不确定度，并说明属于哪一类评定的不确定度.由校准证书说明给
7、定属于B类评定的不确定度.R 在10.000742 -129 ,10.000742 +129 范围内概率为 99%,不为100%不属于均匀分布,属于正态分布a 129 当 p=99%时，K 2.58P4-5在光学计上用52.5mm的量块组作为标准件测量圆柱体直径，量块组由三块量块研合而成淇尺寸分别是：J 4,mm1 10mm 1 2.5mm2，3，量块按级使用，经查手册得其研合误差分别不超过0.45 m030m 925 m取置信概率p=99.73%的正态分布），求该量块组引起的测量不确定度.L 52.5mm 1 40mm 1 10mm 1 2.5mmI 23第五章线性参数的最小二乘法处理3x
8、y 2.95-1测量方程为x 2y 0.9试求x、y的最小二乘法处理与其相应精度.2x3y 1.9 v 2.9 (3x y)误差方程为v2-9(x 2y) V 1.9 (2x 3y)n a a x a a y n 1 il il il i2列正规方程M 门il 7飞入数据得n n a a xa a y 11i2 H i2 i2il ilil14x5yl3.4 x 0.962y厂一4 ,解得八厂5x 14y 4.60.0151(3 0.962 0.015) 0.001将x、y代入误差方程式v 092(0.962 2 0.015) 0.032 (2V3 L9 0.962 3 0.015) 0.02
9、1测量数据的标准差为O11船口wi22wd4d45151HlH21，214d5d4d5d1111d11d21求解不定乘数解得d i0.082h a 22X、y的精度分别为0.010.01x 3y 56P 1i5-7不等精度测量的方程组如下：4x y 8.l,p 222x y 0.5,p 33试求x、y的最小二乘法处理与其相应精度.3y),p 11y),P o 22y)，p 3v 5.6 (x 列误差方程v18.1 (4x2v 0.5 (2x 3333ipaax paaypalill 11 ill 12Illi正规方程为3MM333 ipaax paay palii2 ilii2 i2i i2
10、iililil代入数据得45xy 62.2x 14y 31.5解得x 1.434y 2.352I i 10.039v 0.022将X、y代入误差方程可得v 10.0122V 0.0163则测量数据单位权标准差为d求解不定乘数 J21d12 d2245d d 11112d 14d 0111245d d 02122d 14d 12122d解得 d220.0220.072X、y的精度分别为0.006 J0.010y *回归分析6-1材料的抗剪强度与材料承受的正应力有关,对某种材料试验的数据如下:正应力x/Pa26.825.428.923.627.723.9抗剪强度y/Pa26.527.324.227
11、.123.625.9正应力x/Pa24.728.126.927.422.625.6抗剪强度y/Pa26.322.521.721.425.824.9假设正应力的数值是正确的，求(1)抗剪强度与正应力之间的线性回归方程.2)当正应力为24.5Pa时,抗剪强度的估计值是多少?(1设一元线形回归方程当 X=24.5Pa6-10用直线检验法验证下列数据可以用曲线y abx表示.X303540,455055)0y-0.4786 -：.188 -1122 -45.7-208.9-870.9 -3802取点做下表Z230405060Z-0.321.052.323.58以Z与Z2画图所得到图形为一条直线，故选用
12、函数类型y abx合适测得为100.5Pa,问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当做实际值.故二等标准活塞压力计测量值的误差=测得值一实际值， 即：100.2- 100.5=-0.3 ( Pa)1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m,其最大绝对误差为20 m，试求其最大相对误差.1-9、解：由gi”对g42(h 九进行全微分，令h hh,并令g,h,T代替dg,dh,dTT 212得从而工上由最大相对误差为：A g h Ta=0.0Q005 2 0.0005一 期230 12W80=5.3625 10 4%4汹好T2T max ABS
13、 - (T)max2hgThgnMh),ABS g2 hg1-10检定2.5级即引用误差为2.5%)的全量程为KOOV的电压表，发现5OV刻 射点的示值误差2V为最大误差，问该电压表是否合格？该电压表合格1-11为什么在使用微安表等各种表时，总希翼指针在全量程的2/3范围内使用？答：当我们进行测量时，测量的最大相对误差：即: Xi X4%S% 一A Amax A所以当嗔值一定。的情况下,所选用的仪表。的量程越小相对误差越小，测量越准确.因此我们选择的量程应挨近真值，所以在测量时应尽量使指针挨近满 度范围的三分之二以上.1-12用两种方法分别测量Ll=50mm,L2=80mm.测得值各为50.0
14、04mm,80.006mm.试评定两种方法测量精度的高低.相对误差Lj :50mmL :80mmI1I250.004 505080.006 8080100% 0.008%100% 0.0075%I】L 所以L2=80mm方法测量精度高.1- 13多级弹导火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过0.1km,优 秀射手能在距离50m远处准确地射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射击 精度解：多级火箭的相对误差为：0射手的相对误差为：icml翩P 001%多级火箭的射击精度酱面已勘02 -002%1-14若用两种测量方法测量某零件的长度Ll = 110mm,其测量误差分别为U m和9 m
15、 ；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm.其 测量误差为12快比较三种测量方法精度的高低.相对误差I I I第三种方法的测量精度最高 321第二章误差的基本性质与处理2-1.试述标准差、平均误差和或者然误差的几何意义.答：从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从N维空间的一个点到一条直线的距离的函数；从几何学的角度出发，平均误差可以理解为N条线段的平均长度；2-2.试述单次测量的标准差和算术平均值的标准差，两者物理意义与实际 用途有何不同.2-3试分析求服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在中的概率2-4. 测量某物体重量共8次，测的数据单位为g为236.45,236.3
16、7,236.51,236.34,236.39,236.48,236.47,236.40,是求算术平均值以 与标准差.2-5用别捷尔斯法、极差法和最大误差法计算2-4,并比较2-6测量某电路电流共5次，测得数据1单位为mA）为16841,168.54,168.59,168.40,168.50.试求算术平均值与其标准差、或者然 误 差和平均误差.或者然误差：R 0.6745 . 0.6745 0.037 0.025 61A）平均误差：T 0.7979 . 0.7979 0.037 0.030 6A ）X2-7在立式测长仪上测量某校对量具，分量测量5次，测得数据（单位为mm） 为 20.0015,2
17、0.0016,20.0018,20.0015,20.0011 .若测量值服从正态分布，试 以 99%的置信概率确定测量结 = -20.0015 20.0016 20.0018 20.0015 20.0011 果.x正态分布p=99%时，t2.58测量结果：X x . (20.0015 0.0003)mmlimx2-7在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据单位为mm为 20. 0015,20.0016,20.0018,20.0015,20.0011 .若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果.解：求算术平均值求单次测量的标准差 求算术平均值的标准差 确定测量的极限误差
18、因n= 5较小,算术平均值的极限误差应按t分布处理.现自由度为:v=n 1 = 4；a= 10.99=0.01,查t分布表有：ta= 4.60极限误差为写出最后测量结果T_八八12-9用某仪器测量工件尺寸明在排除索统误亲的条徉下，其标准差004mm，若要求测量结果的置信限为0.005mm 当置信概率为99%时，试求必要的测量次数.正态分布p=99%时,t 2.582- 10用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差。=0.001mm,若要求测量 的允许极限误差为土 0.0015mm,而置信概率P为0.95时，应测量多少次？解：根据极限误差的意义，有根据题目给定得已知条件，有查教材附录表3有若 n
19、= 5,v= 4, a= 0.05,有 t= 2.78,若11= 4,v= 3,a= 0.05,有 t= 3.18,即要达题意要求,必须至少测量5次.2-12某时某地由气压表得到的读数(单位为Pa为102523.85,102391.30,102257.97,102124.65,101991.33,101858.01,101724.69,101591.36,其权各为1,3,5,7,8,6,4,2,试求加权算术平均值与其标准差.2-13测量某角度共两次，测得值为1 24 1 5.试证明n个相等精度测得值的平均值的权为n乘以任一个测量值的权.证明：解：因为n个测量值属于等精度测量,因此具有相同的标准
20、偏差：n个测量值算术平均值的标准偏差为：/已知权与方差成反比，设单次测量的权为Pl,x算术平G幅的权为P2,则 2-16重力加速度的20次测量具有平均值为9.811m /S2、标准差为0.014m演.此外30次测量具有平均值为9.802m改,标准差为0.022m/s2.假设这两组测量属于同一正态总体.试求此50次测量的平均值和标准差.2-17对某量进行10次测量，测得数据为14.7,15.0,15.2,14.8,15.5,14.6,14.9,14.8,1 试 5.判 1 惭 15 该.(% 量歹!J 中是否存在系统误差.X 14.96 一 36 , 2 241324,其标准差分别为1，;看装加
21、权算术平均值与其标准差.2-14甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角各重复测量5次，测得值 如下：试求其测量结果.甲:乙：x7 27 2!按贝塞尔公式0.263310按别捷尔斯法1.2530.00342|u| Jn 1067所以测量列中无系差存在.2-18对一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后6次是和 另一个标准线圈比较得至I的，测得结果如下（单位为mH）：50.82,50.83,50.87,50.89；50.78,50.78,50.75,50.85,50.82,50.81.试判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差.使用秩和检验法：排序：序号12345第一组第二组50.
22、7550.7850.7850.8150.82序号67890第一组50.8250.8350.87 ,)0.89第二组50.85T=5.5+7+9+10=31.5 查表 T 14 T 30T T所以两组间存在系差2-19对某量进行10次测量，测得数据为147,150/5.2,148,155,146,149,148,151,15.0,试判断该测量列中是否存在系统误差.广14.96按贝塞尔公式0.2633按别捷尔斯法21.25310 .lvlil0.2642得 u 2 1 0.0034.u, 母7所以测量列中无系差存在.I I Jn12-20. 对某量进行12次测量，测的数据为20.06,20.07,
23、20.06,20.08,20.10,20.12,20.11,20.14,20.18,20.18,20.21 ,20.19,试用 两种方法判断该测量列中是否存在系统误差.解：Vl残存误差校核法(0.065 0.055 0.065 0.045 0.025 0.005) ( 0.015 0.015 0.055 0.055 0.085 0. 0.54 因为端著不为0,存在系统误差.(2)残存误差观察法残存误差符号由负变正，数值由大到小,在变大，因此绘制残存误差曲线，可见 存在线形系统误差.122。05所以不存在系统3差.2-22第三章误差的合成与分配3-1相对测量时需用54.255mm的量块组做标准件
24、，量块组由四块量块研合而成，它们1 40mm 1 12mm 1 1.25mm1,2,3寸偏差与其测量10.7 m 1 0.5 m 11,2,3的基本尺寸为LOO5mm.经测量，它们的尺极限误差分别为0.3 m1 0.1 m, 1 0.35 m, 1 0.25m, 1 0.20 m,4lim 1lim 2lim 3lim1 0-20唯求量块组按基本尺寸使用时的修正值与给相对测量 带来的测量误差.修正值=(1111)1234=(0.7 0.5 0.3 0.1)=0.4( m)测量误差:=J 2222I 、 liml liml)liml、liml 4=J (0.35)2 (0.25)2 (0.20)
25、2 (0.20)20.51( m)3-2为求长方体体积V ,直接测量其各边长为a 161.6mm b 44.5mm c112mm已知测量的系统误差为a 1.2mm b 0.8mmc 0.5mm，测量的极限误差为0.8mma0.5mm b帙求立方体的体积与其体积的极限误差.体积V系统误差V为：立方体体积实际大小为：v V V 77795 .70 (mm 3)o测量体积最后结果表示为：33长方体的边长分别为测量时：标准差均为。；标准差各为。1、 %、。3 试求体积的标准差.解：长方体的体积计算公式为:体积的标准差应为:2( Aa2cJla3现可求出V a ia3Vaw3V aT若:)va3f Y
26、/ / Y2分/)2 2 Td z d 3 d d2312I (aa)2 (aa)2 (aa)2V 2 31 31 2若:则有： (a a 2 (a a )2 2 (a a )2 2v V 3 11 3 21 2 33-4测量某电路的电流I 22.5mA,电压u 12.6V ,测量的标准差分别为i 65mA , u 0.1V,求所耗功率p UI与其标准差P UI 12.6 22.5 283.5 (mw)p.P f(U,I)U、I成线性关系1UI3-9.测量某电路电阻R两端的电压U,按式I=U/R计算出电路电流,若需保证 电流的误差为0.04A,试求电阻R和电压U的测量误差为多少？解 在I=U/R式中，电流I与电压U是线性关系,若需要保证电流误差不大于0.04A,则要保证电 压的误差也不大于0.04 &.312按公式V=7tr2h求圆柱体体积，若已知r约为2cm,h约为20cm，要使体积 的相对误差等于1 %，试问r和h测量时误差应为多少？解：若不考虑测量误差，圆柱体积为根据题意，体积测量的相对误差为1 %，即测定体积的相对误差为：即 V 1% 251.2 1% 2.51