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1、第03课 奇偶性、周期性与对称性-2024年新高考数学一轮复习考点逐点突破经典学案 考试要求：1 .理解函数奇偶性的含义.2 . 了解函数的最小正周期的含义.3 .会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题.一、【考点逐点突破】【考点1】偶函数：一般地，设函数./)的定义域为/,如果都有一/,且/(一%)=lx), 那么函数/(x)就叫做偶函数；图象关于轴对称.【典例】判断函数外)=必+%，%引一 1，4的奇偶性.【考点2】奇函数：一般地，设函数八)的定义域为/,如果都有一1/,且 侬，那么函数./)就叫做奇函数；关于原点对称.【典例】函数段)=+： + 3为奇函数,则实
2、数。=()V+8A. -1B. 1【考点3】周期函数：对于函数y=/(x),如果存在一个非零常数几 使得当x取定义域内的任 何值时，都有人%+=/(%),那么就称函数y=/(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.【典例】已知/(%)是定义在R上的偶函数，且/(x+4)=/a2).若当3，0时，/(%) = 6一 X，贝 1人2 023)=.【考点4】最小正周期：如果在周期函数外)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最 小正数就叫做的最小正周期.r、【典例】已知函数外)=及皿5+/心一打用的最小正周期是兀，且当 =欠寸，6/(%)取得最大值2,则/(%)=.【考点5】对称性【典例】(多选)已
3、知函数/(%)的定义域为R，对任意都有/(2+%)=/(2一%),且八一%)=危)， 则下列结论正确的是()A. 7(%)的图象关于直线1=2对称B.加)的图象关于点(2,0)对称C. .危)的周期为4D. )=/+4)为偶函数【考点6判断函数的奇偶性 【典例】判断下列函数的奇偶性 (1)/(%)l3x2+lx23 (2)/(%)=log2a+W+i).【考点7】结合奇偶性求函数解析式【典例】已知函数/(%)为奇函数且定义域为R,当0时，/(%)=%+1,则当V0时，/(%) =【考点8】已知函数解析式，判断函数奇偶性与单调性【典例】已知函数/(%) = ln(2+2x)+ln(3 3%),则
4、/(%)()A.是奇函数，且在(0, 1)上单调递增B.是奇函数，且在(0, 1)上单调递减C.是偶函数，且在(0, 1)上单调递增D.是偶函数，且在(0, 1)上单调递减【考点9】利用奇偶性求参数的值- 1 一【典例】若函数x)=%312x1 J为偶函数，则。的值为.【考点10】函数奇偶性的综合应用【典例】已知函数兀0=：+85%111(%+41)在区间5, 5上的最大值是Af,最小值是小， 则人加+加)的值等于()A.OB.10C.-D.-42【考点11】与年份有关的周期类型f2 0237fl【典例】已知函数/(%)对任意XR，都有/(工+2u)=/(%),当(0,兀)时,/(x) = 2
5、sin鼻,则/ I 3 J等于()13A. B. C. 1 D. 322【考点12】函数的周期性与分段函数的结合【典例】在R上函数及)满足於+l)=Ax1)，且人x)=5)=人4.5)，则 4 =()B.D.A. 0.5C. 2.5【考点13】周期性与奇偶性的简单问题【典例】函数=危+4)为偶函数【考点16】中心对称问题【典例】(多选)关于函数次x) = sinx+一有如下四个命题，其中正确的是() sinxA. 的图象关于y轴对称B. 7(%)的图象关于原点对称C.m)的图象关于直线对称D./(X)的图象关于点(兀，0)对称【考点17抽象函数性质的综合问题&A【典例】已知函数y=/a)的定义
6、域为R,并且满足於+n)=危)+/。)，/131=1,且当0时, 0.求人0)的值；(2)判断函数的奇偶性并证明；(3)判断函数的单调性，并解不等式/)+/(2+x)2.二、【考点教材拓广】【典例1】【教材第87页第12题】已知函数/(%)是偶函数，而且在(0, + 8)上单调递减，判 断f(x)在(-8,0)上单调递增还是单调递减，并证明你的判断.【典例2】【教材第87页第13题】我们知道，函数y = /(%)的图象关于坐标原点成中心对 称图形的充要条件是函数y = /(%)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y = /(%) 的图象关于点p(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y =
7、 f(x + a)-b为奇函数. 求函数/(%) = x3 - 3x2图象的对称中心；(2)类比上述推广结论，写出函数y = /(%)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函 数y =/(%)为偶函数的一个推广结论.三、【考点真题回归】【典例1】【2019高考全国卷II】设/(%)为奇函数5且当时，兀+1)-1D. +1)+1【典例3】【2022全国乙卷】若/(%) = ln I +1一1 I +6是奇函数，贝ij q=, b=.【典例4】2021 新高考全国I】已知函数/(x)=x3(q.2、一2)是偶函数，则。=.【典例5【2023贵阳市第一学期监测考试】已知函数加0的定义域为R，当xvO时，/(=2、，f , 1 ( n当7WE时，M)=-g当嗯时认止乂力，则外)=()B.C. -2D. 2lx2- QX, xWO,【典例6】2023咸阳模拟】已知函数为奇函数，则。=.ax2-x, x0【典例7】【2023宁德模拟】已知外)是定义在R上的奇函数，且对任意的xWR都有人x+2)= /(x),当 x0,2时，/(x)=x2 + qx+6,则 a + b 等于()A. 0 B. -1 C. -2 D. 2【典例8【2023湘豫名校联考】已知/(%)=亦2 +队+1是定义在a1,2a上的偶函数，则a+ b= .