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1、课例：两角和与差的余弦教材：人教版普通高级中学教科书（必修）第一册（下）第四章三角函数第 六节，共需3课时，本节课是第一课时。P34-36一、教材分析：、地位和作用：两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、 余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、 积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角 函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主 要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公 式。、教学目标：1、知识目标：、 使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式；、 使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的
2、推导；、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。2、能力目标：、培养学生逆向思维的意识和习惯；、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识；、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。3、情感目标：、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美；、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。（设计依据：建构主义理论认为，学生的能力培养不是单方面的知识教育，而 应该是知识、能力、情感三维一体的一个完整体系，因此，我在教学中设计三 方面的目标要求。其中知识目标是近期目标，另两个目标是远期目标。） 、教学重、难点: 1、平面内两点间的距离公式的推导和应用是本节的一个重点； 2、两角和与差的余弦公式的
3、推导和应用是本节的又一个重点， 也是本节的一个难点。（设计依据：平面内两点间的距离公式在本节课中是两角和余 弦公式推导的主要依据，在后继知识中也有广泛的应用，所以 是本节的一个重点。由于两角和与差的余弦公式的推导和应 用对后几节内容能否掌握具有决定意义，在三角变换、三角恒 等式的证明、三角函数式的化简求值等方面有着广泛的应用，因 此也是本节的一个重点。由于其推导方法的特殊性和推导过程的 复杂性，所以也是一个难点。）二、教学方法：1、创设情境一一提出问题一一探索尝试一一启发引导一一解决问题。（设计意图：创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了 引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝
4、试是思维活动中最有意 义的部分，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。 给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够 提高思维的有效性。从而体现教师主导作用和学生主体作用的和谐统 -*o ）2、教具：多媒体投影系统。本节课中平面内两点间距离公式虽然以前曾经用过，但其证明对学生来说 仍然具有一定难度，为了使学生便于理解，采用几何画板动画演示，增加直观 性，减少讲授时间；两角和的余弦公式的推导也通过几何画板动画掩饰来帮助 学生认识、理解、加深印象。（多媒体系统可以有效增加课堂容量，色彩的强烈对比可以突出对比效果；动 画的应用可以将抽象的问题直观化，体现直观性原则。
5、）三、学法指导：1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式，特别是用角的余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。(体 现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。)2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序； 角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。四、教学过程：教学程序设 计意图课 题 引 入引言：同学们，前面我们学习了任意 角的三角函数，我们知道它也是一种 运算。在以前的运算中有乘法对加法 的分配律：a(b+c)=ab+ac,那么：cos (a + B )=cos u +cos 8是否也成立 呢？如果成立为什么？如果不成立
6、， 它又等于什么呢？这正是我们今天要 研究的内容。揭示课题：两角和与差的余弦。通过创设问 题情境，自 然流畅地 提出问题， 揭示课题， 引发学生 思考。使学 生目标明 确、迅速进 入角色。复习提 问1、画出一个锐角、一个钝角的正弦线、 余弦线。2、如果角a的终边与单位圆相交于 点P,点P的坐标能否用角a的三角 函数值表示？怎样表示？3、写出同一坐标轴上两点间距离公 式。通过复习使 学生熟悉基 础知识、特 别是用角的 正、余弦表 示特殊点的 坐标，为新 课的推进做 准备。引入 新 课1 回答“cos ( a + B ) =cos a +cos B是否成立”这个问题之前，让学生先、，、，00、00
7、讨论 cos (45 +30 ) =cos45 +cos30是否成立？学生可能通过计算器、量余弦线的长度、特殊角三角函数值 和余弦函数的值域三种途径解决问题)。得出 cos (45 +30 ) Wcos45学生通过独 立思考和分 组讨论，可 以用特殊值 法证明猜想 不成立，三 种方法的出+cos30 o 进而得出 cos ( q+B ) Wcosa+cosB这个结论。此时再次 提出那么cos( Q + B )又等于什么呢？ 2、在解决上面的问题之前，我们先来 解决“平面内两点间距离的求法”这 一问题。通过上面的复习，我们已经 熟悉了同一坐标轴上两点间距离公 式。那么，平面内两点间距离与坐标 有
8、什么样的关系呢？(通过动画演示 让学生体会平面内两点间距离和同一 坐标轴上两点间距离的关系。1、分析：设 P(X, Yj), P2 (x2, y2) 则有:M, (x, 0), M2(x2, 0)(0, y1)，N2 (0, y2)o通过演示课件提出问题：PM的长度与什么有关？(请设计出算法)根据右图写出M帆和NiN2oP&二 MjM2= I x2-X1 |QP2= N1N2= I y2-y1 |根据勾股定理写出 22222P12 = PQ +QP2 = a2 - X1) + 2 - y1)由此得平面内P(X, y)、P2 (x2, y2) 两点间的距离公式：PR= Jx2X)2+(y2y)2
9、2、在直角坐标系内做单位圆，并做出现，培养学 生多角度考 虑问题的发 散思维能 力，合作学 习的习惯。 随后的提问 会激发学生 想要解决问 题的主观需 要，提高思 维的主动 性。1、通过几何 画板动态演 示，给学生 以直观感 受，让他们 认识到：平 面内两点间 距离和同一 坐标轴上两 点间距离总 能构成一个 直角三角 形，利用勾 股定理即可 解决。2、两角和余 弦公式的证任意角a, a+8和-8。它们的终边 分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与X轴交于Pj则： P|(1,O)、P9 (cos ci , sin a )、P.1 ( cos ( a + B ) , sin o明中存在两 个困
10、难： 三角函数表 示单位圆上 点的坐标， 它虽然算理 简单，但学 生由于陌生 而很不习 惯，通过前 面习环节应 该有所熟 悉。在用2至lj： cos ( a+ B ) +sin* 2(a + B )=1 时，需要教 师特别指 出，公式中 只要求是“同角”，并 不在乎角的 具体度数和 形式。3、两角和的 余弦学完之 后，要强调 其中两角均 为任意角， 这样一来， 两角差的余6、例2的目的 在于熟悉公式， 同时对同角三 角函数关系有 复习的作用，其 难度不是很大， 在提供了公式 之后，学生应当 能够完成.(a+B )、弦只是两角 和的余弦的 特殊形式。4、两个诱导 公式学生在 初中就学习 过，但今
11、天 应通过证 明，并将以 前的锐角拓 展到任意 角。（2）式 的证明实际 上是（1）式 的逆应用， 体现了代数 思想，也实 践了学以制 用的原则。5、例1的作 用一方面让 学生熟练两 角和与差的 余弦公式， 另一方面也 向学生展示 了公式的一 种实际应用 价值，即： 将非特殊角 转化为特殊角的和与 差。小结本节课我们学习了下面两组公 式，在公式的记忆上，我们应注 意函数和符号的变化。1、平面内两点间距离公式：P1P2 f 22(X2-X1) +(y2-yi)2、两角和与差的余弦：(同名之积相加减，运算符号左 右反。)cos ( a + B )= cos a cos B - sin asin B
12、cos ( ci - B ) = cos a cos B +sin a sinB7、小节以十 四字口诀概 括两角和与 差的三角函 数关系式， 既体现了公 式的本质特 征，又朗朗 上口，便于 记忆。有助 于学生对本 节课的内容 更好地掌 握。练 习 巩 固1、课堂练习(P38)、第 2 题(3)、(4)o、第 3 题(2)、(3)o2、课后作业P40习题4. 6第2、 3、(3)3、思考题：试运用今天所学知识和方法证明：sin(a+ B)=sin acos & +cos a sin 3sin(q- B)二sin acos B-cos a sin B8、课堂练习 有助于学生 进一步熟悉 公式，加深
13、 学生对公式 的理解和认 识。回馈教 学效果。思 考题对学生 本节课所学 知识方法的 考察要求较 高，但能力 较强学生能 够完成，也 是为下一节 课的内容做 准备。体现 问题必须略 高于学生现有知识水平 的原则。微计说阚本节课授课内容为人教版普通高级中学教科书（必修）第一册（下）第四 章三角函数第六节，共需3课时，本节课是第一课时。本节课的教学对正弦线、 余弦线定义；用角的余弦、正弦表示单位圆上点的坐标；同圆上相等的圆心角 所对的弦长相等这些知识有较强的依耐性，因此在复习环节做了必要的准备。 本节课采用“创设情境一一提出问题一一探索尝试一一启发引导一一解决问 题”的过程来实现教学目标。有利于知
14、识产生、发展、解决这一认知过程的完 整体现。在教学手段上使用多媒体技术，使重点得到突出，抽象变得直观，有 效增加课堂容量。在教学过程环节，采用先提出问题，再逐步展开的方式，能够充分调动学 生的学习积极性，让学生的探索具有明确的目的性，减少盲目性。在两角和的 余弦公式得到后，利用代数思想推出两角差的余弦公式和诱导公式，使学生进 一步体会代数思想的深刻性。通过对公式的对比，可以加深学生对公式特征的 印象，同时体会公式的线形美与对称美，给学生以美的陶冶。作业的布置中， 突出了学生学习的个体差异现实，使学有余力的学生产生挑战的心理感受，也 为下一节内容的学习做准备。例 2、已知 sin a = , a W (, 兀),cos B 二一 ,B ( ji ,),求 cos ( a - B )、cos ( a + B )。公式提示：cos (a - B ) = cos a cos B + sin a sin Bcos ( a + B ) = cos a cos P - sin a sin B