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1、重难点07空间距离与体积问题（2种考法）【目录】考法1：距离问题考法2：体积问题亩二、命题规律与备考策略一.求点到平面的距离的四步骤二、常见几何体体积的四种求法1 .直接法求体积（也称公式法）直接利用常见几何体的体积计算公式求解体积即可。可直接使用公式的题目，“高” 一般都可直接或间接找到2 .等体积法求三棱锥体积1、等体积转化法一般情况下是三棱锥才有的特性。2、尽可能寻找在表面的三个点，通过三棱锥“换底”求解三棱锥的体积。【注意】“换底”的结果是使新底面所对应的高简单易求。3 .多面体割补法求体积1、分割法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，当规则的几何体用公式不易求出时, 再将其分割没转
2、化成比较好求体积的几何体；【注意】大多数情况下，可以把不规则几何体分割为三棱锥+四棱锥多从四棱锥底面对角线或者几何体表面四边形对角线处寻找分割的“刀口”2、补形法：把不规则的几何体补成规则的几何体，便于计算；常见的补形有：（1）将正四面体补形成正方体；（2）将等腰四面体（对棱相等）补形成长方体;9.（2023上海华师大二附中校考模拟预测）在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4,点。是底面 直径48所对弧的中点，点。是母线%的中点.求该圆锥的侧面积与体积；求异面直线43与所成角的大小.10. （2023上海徐汇统考三模）如图，已知顶点为S的圆锥其底面圆。的半径为8,点。为圆锥底面半圆弧 4C
3、的中点，点尸为母线S4的中点.若母线长为10,求圆锥的体积；若异面直线。与so所成角大小为:，求P、。两点间的距离.11.（2023 上海奉贤上海市奉贤中学校考三模）已知三棱锥P-Z3C, P/J,平面，8。，口=6,4。=4, AB1BC ,M, N分别在线段P8,尸。上.jr若心 与平面48。所成角大小为1,求三棱锥尸的体积V；（2）若PC_L平面4W,求证：力平面必C12. （2022上海闵行上海市七宝中学校考模拟预测）如图，45是圆柱体。0,的一条母线，过底面圆的 圆心。，。是圆。上不与3、。重合的任意一点，已知棱/8 = 5, BC = 5 , CD = 3.（1）求异面直线力。与平
4、面48。所成角的大小;（2）将四面体/BCD绕母线48旋转一周，求A4C。三边旋转过程中所围成的几何体的体积.13. （2020上海闵行上海市七宝中学校考模拟预测）如图，四边形45氐4是圆柱oq的轴载面，ab = 4,TTTT00. =2,以圆柱上底面为底面作高为2的圆锥pq, C、G分别在48、4A上，ZAOC = -9/力=鼻（1）求这个几何体的表面积和体积；（2）求二面角-4G-。的余弦值.14. （2020上海普陀统考二模）某小区楼顶成一种楔体形状，该楔体两端成对称结构，其内部为钢架结 构（未画出全部钢架，如图1所示，俯视图如图2所示），底面/8C。是矩形，/8 = 10米，4。= 5
5、0米，屋 脊EF到底面ABCD的距离即楔体的高为米，钢架所在的平面FGH与EF垂直且与底面的交线为GH , /G = 5米，R9为立柱且。是G”的中点.图I（1）求斜梁必与底面/BCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）;（2）求此模体/BCD斯的体积.15. （2023上海嘉定上海市嘉定区第一中学校考三模）在长方体力88-中，AD = D=T, AB = 5E、F、G分别为48、BC、GA的中点.求三棱锥A - GEF的体积;（2）点P在矩形4BCO内，若直线平面求线段长度的最小值.（3）将三条棱两两相互垂直且相等的三棱锥补成正方体；（4）将台体补成锥体等等。【注意】题设条件存在将规则几何
6、体切去一些部分剩余的几何体的情况，补形法可简化题目。4.两部分体积比例法（转移法）利用祖唾原理和等积变化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积。【注意】利用好“同底等高”和“同底比例高”，本质就是寻找合适的底面和平行高转化。U三、题型方法考法L距离问题1. （2023宝山区二模）四棱锥P-48CQ的底面是边长为2的菱形，/DAB = 60 ,对角线ZC与8。相交于点底面48CQ,可与底面N8CD所成的角为60 , 是总的中点.（1）求异面直线。与口所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）证明：。 平面口。，并求点E到平面口。的距离.2. （2023黄浦区二模）如图，多面体/C
7、iDMBCZ）是由棱长为3的正方体A8C。-/Oi沿平面力出。截去一角所得到在棱小。上取一点E,过点。1, C, 的平面交棱4cl于点?（1）求证：EFAtB；（2）若CiE=2EAi,求点E到平面/1GC8的距离以及EDi与平面小OiCB所成角的大小.3. （2023奉贤区校级模拟）如图，将边长为2的正方形/8C。沿对角线折蠡，使得平面/8OJL平面CBD,平面48。，且/七=6.(1)求证：直线与平面48。没有公共点;(2)求点C到平面的距离.4.(2023徐汇区校级三模)如图，在三棱柱力3C-小。中，Z3C为等边三角形，四边形5C。囱是边长为2的正方形，。为中点，且“口=代.(1)求证：
8、CQ，平面力8囱小；(2)若点P在线段囱。上，且直线/P与平面小8所成角的正弦值为公/工，求点尸到平面小CO的距离.5. (2022宝山区二模)在长方体小囱。中，AD=AAi = U AB = 3,点是棱48上的点，AE= 2EB.(1)求异面直线4。与EC所成角的大小；(2)求点。到平面。后的距离.6. (2022闵行区二模)如图，四棱锥的底面为菱形，夕。_1平面力8。，/BAD = 60 ,E为棱(1)求证：7)J_平面hQ；(2)若PD=AD=2,求点。到平面P3C的距离.7. (2022宝山区模拟)已知正方体438-小囱Ci。的棱长为1,。是C。的中点，过4P的平面与8囱,分别交于。，
9、R，且3。=.4(1)求异面直线P0与48所成角的大小；(2)求。到平面/。夕火的距离.8.(2023嘉定区校级三模)在长方体力BCD-/CiOi中，AD=DDt = 1, AB=, E、F、G分别为BC、CO的中点.(1)求三棱锥A - GEF的体积；(2)点P在矩形N5C。内，若直线。1P平面EFG,求线段。1P长度的最小值.9.(2023金山区二模)如图，在正三棱柱/8C-481。中，已知/8=43=2,。是Z8的中点.(1)求直线C。与。81所成的角的大小;（2）求证：平面CZ）3i_L平面46814，并求点8到平面CDBi的距离.10. （2023杨浦区二模）四边形48C。是边长为1
10、的正方形，AC与BD交于O点、,2/J_平面/3CQ,且二面角P-8C-4的大小为45。.（1）求点4到平面P5O的距离；（2）求直线/C与平面PCQ所成的角.11. （2022上海模拟）如图，正三棱柱小囱。（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形的棱柱）的底面边长为6,点在边8C上，4WG是以点为直角顶点的等腰直角三角形.（1）求证：点为3C边的中点；（2）求点C到平面4。的距离.12. （2023上海）已知三棱锥中，口平面/BC, ABAC, PA=AB=3, AC=4, M 为 BC 中点、,过点分别作平行于平面必3的直线交/C、PC于点, F.(1)求直线PM与平面/3C所成角的大小;13.
11、 (2023徐汇区校级三模)在直四棱柱中，ABCD, AB=AD=, DD=CD=2, ABLAD.(1)求证：8C_L平面。(2)求点。到平面8coi的距离.14. (2023浦东新区校级三模)如图，在三棱锥P-ABC中，平面均3,平面48C, AC=BC, PA=PB,且点。在以点。为圆心48为直径的半圆AB上.（1）求证：ABPC；TT（2）若/C=2,且PC与平面所成角为二 求点8到平面均。的距离.15. （2022浦东新区二模）如图，直三棱柱48。-小与。中，ZACB90, C4 = C8 = C。=2,点。是 线段小囱的中点.（1）求三棱柱48C-4181cl的体积；（2）已知产为
12、侧棱5团的中点，求点夕到平面8c。的距离.16. （2022青浦区校级模拟）如图，在直三棱柱小Bi。-Z8C中，AB=BC=2, /ABC=,点、P、。分2别为4出1、的中点，。与底面所成的角为arctan2.(1)求异面直线尸8与QC1所成角的大小(结果用反三角函数表示);(2)求点C与平面4。的距离17. (2021杨浦区校级三模)如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1，高为2的圆锥， 下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底 面重合，点P是圆锥的顶点，48是圆柱下底面的一条直径，441、8与是圆柱的两条母线，。是弧标的中点.
13、(1)求异面直线总1与8c所成的角的大小；(2)求点Bi到平面口。的距离.考法2:体积问题一、填空题L (2022,上海黄浦统考模拟预测)已知。力为球。的半径，过”的中点“且垂直”的平面截球得到圆M，若圆M的面积为,则球。的体积为.2 . （2023 上海普陀曹杨二中校考模拟预测）如图，在四棱锥尸-4BC。中，PQ_L平面力3cD, AB 口 DC, ADI AB, DC = 2, AD = AB = l,直线以 与平面NBC。成45。角,设四面体P8CZ）外接球的圆心为O,则 球的体积为.3 .（2023上海青浦统考一模）已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上底面圆的圆心，为下底 面圆的
14、直径，C为下底面圆周上一点，则三棱锥P-外接球的体积为.4 .（2023上海奉贤上海市奉贤中学校考三模）一个正方体和一个球的表面积相同，则正方体的体积匕和球 的体积匕的比值今=.5 .（2022上海统考模拟预测）现将半径为1和2的小铅球，熔成一个大铅球，那么，这个大铅球内接正四 面体的体积为.6 .（2022上海,统考模拟预测）一个四面体的顶点在空间直角坐标系。-平中的坐标分别是（0,0,0）、（w03）、 （0,凡）、（兄处0）,则该四面体的内切球与外接球体积之比为7 .（2022上海闵行上海市七宝中学校考模拟预测）已知直三棱柱的各棱长都相等，体积为18.若该三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，则球。的体积为.二、解答题8 .（2023上海松江校考模拟预测）如图，在直三棱柱Z3C-中，AC = 49 BC = 3, AB = 5.求证：AC-LBC.；设AQ与底面ABC所成角的大小为60。,求三棱锥C - ABC.的体积.