《排列组合题型总结排列组合题型总结.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《排列组合题型总结排列组合题型总结.docx（7页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、排列组合题型总结排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因 而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还 应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。一. 直接法1 .特殊元素法例1用1, 2, 3, 4, 5, 6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位 数各有多少个(1)数字1不排在个位和千位(2)数字1不在个位，数字6不在千位。分析：(1)个位和千位有5个数字可供选择用,其余2位有四个可供选择A：,由乘法 原理：Al A; =2402 .特殊位置法(2)当1在千位时余下三位有用=60, 1不在千位时，千位有种选
2、法，个位有A：种, 余下的有用，共有宙=192所以总共有192+60=252二. 间接法 当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中(2)可用间接法 A； - 2Af+ A： =252例2有五张卡片，它的正反面分别写0与1, 2与3, 4与5, 6与7, 8与9,将它们 任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1,类 别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数23、用个，其中0在百位的有C：x22x4个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数 C：x23x用-C：x22x8=43
3、2 (个)三. 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序, 有多少中插入方法？分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有 xA；o=100中插入方法。四. 捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有种排法，而男生之间又有种排法，又乘法原理满足条件的排法有：A：=576练习1.四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法 有 种（）
4、2.某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中 有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排 方法有（Cl ；）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整 体来选有其余的就是19所学校选28天进行排列）五. 阁板法名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例5某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少 一人，名额分配方案共一种。分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的 H个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有
5、种练习1. （a+b+c+d”5有多少项？当项中只有一个字母时，有C：种（即而指数只有15故当项中有2个字母时，有而指数和为15,即将15分配给2个字母时，如何分，闸板法一分为2,即当项中有3个字母时指数15分给3个字母分三组即可当项种4个字母都在时四者都相加即可.练习2.有20个不加区别的小球放入编号为1, 2, 3的三个盒子里，要求每个盒子内的 球数不少编号数，问有多少种不同的方法？ （G；）3.不定方程X1+X2+X3+X5=100中不同的整数解有（C；）六. 平均分堆问题 例66本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？分析：分出三堆书（ab a2） , （a3, a4）, （a5,
6、 a6）由顺序不同可以有A；二6种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有盘隼_=15种国练习：1. 6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？2.某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法 的种数。七.合并单元格解决染色问题例7 （全国卷（文、理）如图1, 一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相 邻区域不得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有一种（以数字 作答）。分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5.下面分情况讨论：（i）当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色
7、方 法相当于4个元素的辞加数（ii）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形（i）类似同理可得4 种着色法.(iii)当 2、4 与3、5分别同色时，将2、4； 3、5分别合并，这样仅有三个单元格从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有C1 4种方法.由加法原理知：不同着色方法共有2A：+CA=48+24=72 （种）练习1 （天津卷（文）将3种作物种植12345在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共 种（以数字作答）（72）2 .（江苏、辽宁、天津卷（理）某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图 3）,现要栽种4种颜色的花，每部分
8、栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话，不同的 栽种方法有 种（以数字作答）.（120）图3图43 .如图4,用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数.（540）4 .如图5：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同a不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是 种（84）图5图65 .将一四棱锥（图6）的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜 色可供使用，则不同的染色方法共 种（420）
9、八. 递推法例八一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少 种不同的走法？分析：设上n级楼梯的走法为4种，易知a=l,a2=2,当n?2时，上n级楼梯的走法可分 两类：第一类：是最后一步跨一级，有a一种走法，第二类是最后一步跨两级，有种走法, 由 加 法 原 理 知： an=an-1+ an-2, 据 此 ， a?二ai+a2=3,5, as=a,+a3=8, ae=13, a?=21, %=34,39=55, a1。二89.故走上 10 级楼梯共有 89 种不同的方法。九.几何问题1 .四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平
10、面上， 不同的取法有种（3 +3=33）2,四面体的棱中点和顶点共10个点（1）从中任取3个点确定一个平面，共能确定多少个平同的白球的排列问题.C, =66 （种）例16亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由 1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一 方获胜，形成一种比赛过程.那么所有可能出现的比赛过程有多少种？解 设亚洲队队员为a1,a2,a”欧洲队队员为b” b2, b5,下标表示事先排列的出场顺 序，若以依次被淘汰的队员为顺序.比赛过程转化为这1。个字母互相穿插的一个排列，最后 师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛
11、的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球 和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为）=252 （种） 十二.转化命题法例17圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少 各？分析：因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边 形，则问题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的 交点最多有G；=1365 （个）十三.概率法例18一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数学必须排在 体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？分析：在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体
12、育之前的概率相等，均为L故本例所求的排法种数就是所有排法的，即,A二360种2 22十四.除序法 例19用1, 2, 3, 4, 5, 6, 7这七个数字组成没有重复数字的七位数中,（1）若偶数2, 4, 6次序一定，有多少个？（2）若偶数2, 4, 6次序一定，奇数1, 3, 5, 7的次序也一定的有多少个？十五.错位排列例20同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方法有 种（9）公式1）+。_2）n=4时&尸3 （23+2）=9种 即三个人有两种错排，两个人有 一种错排.2) =n! (1- - + - - +(- 1)H 1! 2! 3!nl练习
13、 有五位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子 回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子，问5位客人都不戴自己帽子的戴法 有多少种？ (44)排列与组合的区别排列与组合的共同点是从n个不同的元素中，任取m （m/n）个元素，而不同点是排列 是按照一定的顺序排成一列，组合是无论怎样的顺序并成一组，因此“有序”与“无序”是 区别排列与组合的重要标志.下面通过实例来体会排列与组合的区别.【例题】判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出种数.（1）高二年级学生会有11人：每两人互通一封信，共通了多少封信？每两人互握了 一次手，共握了多少次手？（2）高二数学课外
14、活动小组共10人：从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不 同的选法？从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2、3、5、7、11、13、17、19八个质数：从中任取两个数求它们的商，可以有 多少个不同的商？从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？（4）有8盆花：从中选出2盆分别给甲、乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？从 中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？【思考与分析】（1）由于每两人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封 信，所以与顺序有关，是排列；由于每两人互握一次手，甲与乙握手、乙与甲握手是同一 次握手，与顺序无关，所以是组合问题.其他类似分析.解：（1）是排列问题，共通了=110 （封）；是组合问题，共需握手=55 （次）（2）是排列问题，共有=10X9=90 （种）不同的选法；是组合问题，共=45 （种） 不同的选法；（3）是排列问题，共有=8X7=56 （个）不同的商；是组合问题，共有=28 （个） 不同的积；（4）是排列问题，共有=56 （种）不同的选法；是组合问题，共有=28 （种）不 同的选法.（【反思】区分排列与组合的关键是“有序”与“无序”。）