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1、复变函数(第四版)课件章节大纲汇报人：目录01添加目录标题02复变函数的基本概念03复变函数的微积分04全纯函数与亚纯函数05复变函数的积分公式和全纯函数的性质06全纯映射和几何函数论添加章节标题复变函数的基本概念复数及其几何意义复数：实数与虚数的组合复数的模：表示复数的大小复数的辐角：表示复数的方向复平面：复数的几何表示复数的几何意义：复数在复平面上的表示复变函数复变函数定义：复数域上的函数复变函数性质：解析性、连续性、可微性、可积性等复变函数应用：解析函数理论、复变函数积分、复变函数微分方程等复变函数与实变函数的关系：复变函数是实变函数的推广和延伸极限和连续性连续性的定义：函数在某点处连续
2、是指函数在该点处的极限等于函数在该点处的值连续性的性质：连续函数具有局部有界性、局部保号性等性质极限的定义：函数在某点处的极限是函数在该点附近的极限值极限的性质：极限具有唯一性、局部性、保号性等性质复变函数的微积分导数与微分导数的定义：函数在某一点的切线斜率导数的性质：可导性、连续性、可积性导数的计算：基本导数公式、复合函数导数公式、隐函数导数公式等微分的定义：函数在某一点的增量微分的性质：可微性、连续性、可积性微分的计算：基本微分公式、复合函数微分公式、隐函数微分公式等积分积分的定义：将函数在某一区间上的值进行累加求和积分的性质：线性性、可加性、可积性等积分的应用：求极限、求导数、求面积等积
3、分的方法：直接积分法、换元积分法、分部积分法等幂级数和洛朗兹级数l幂级数：无穷级数的一种，由幂函数组成l洛朗兹级数：一种特殊的幂级数，由洛朗兹函数组成l幂级数的收敛性：判断幂级数是否收敛，以及收敛半径l洛朗兹级数的收敛性：判断洛朗兹级数是否收敛，以及收敛半径l幂级数和洛朗兹级数的应用：在复变函数中的积分、微分、解析延拓等方面有广泛应用全纯函数与亚纯函数全纯函数的性质l全纯函数是复变函数中的重要概念，具有解析性和连续性l全纯函数在复平面上的解析性，即函数在复平面上的任意点处都可以解析l全纯函数的连续性，即函数在复平面上的任意点处都可以连续l全纯函数的性质还包括其解析性和连续性的关系，即全纯函数在
4、复平面上的解析性和连续性是等价的最大模原理和柯西积分公式最大模原理：复变函数在某点处的模等于其在该点处的最大值柯西积分公式：复变函数在某点处的积分等于其在该点处的模乘以该点处的导数应用：求解复变函数的最大值和最小值局 限 性：最 大 模原 理 和 柯 西 积 分公 式 只 适 用 于 全纯 函 数 和 亚 纯 函数，不 适 用 于 其他 类 型 的 复 变 函数亚纯函数的性质亚纯函数是复变函数中的一种特殊函数，其定义域和值域都是复数集。亚纯函数的性质包括：连续性、解析性、可微性、可积性等。亚纯函数的性质决定了其在复变函数中的重要性和应用价值。亚纯函数的性质是复变函数研究的重要内容之一，也是复变
5、函数课程的重要知识点。复变函数的积分公式和全纯函数的性质柯西积分公式和解析函数的性质l柯西积分公式：用于计算复变函数的积分l解析函数的性质：解析函数在复平面上是连续的l解析函数的性质：解析函数在复平面上是可微的l解析函数的性质：解析函数在复平面上是解析的l解析函数的性质：解析函数在复平面上是全纯的l解析函数的性质：解析函数在复平面上是单值的莫雷拉定理和泰勒级数莫雷拉定理的应用：求解复变函数积分莫雷拉定理：复变函数积分公式的推广泰勒级数：全纯函数的性质之一，表示为无穷级数泰勒级数的应用：求解全纯函数的性质和值奇点、留数和柯西核奇点：复变函数中不可导的点留数和柯西核的关系：留数等于柯西核的积分柯西
6、核：复变函数在奇点处的积分留数：复变函数在奇点处的极限值全纯映射和几何函数论映射的性质和几何意义全纯映射：保持解析性和连续性几何意义：映射到复平面上的几何图形解析性：映射到复平面上的解析函数连续性：映射到复平面上的连续函数几何函数论：研究全纯映射的几何性质和几何意义应用：在复变函数、微分方程、积分方程等领域有广泛应用极值性质和泰勒定理极值性质：全纯映射的极值性质，包括最大值和最小值泰勒定理：泰勒定理的证明和应用，包括泰勒级数和泰勒展开式极值定理：极值定理的证明和应用，包括极值点的存在性和唯一性泰勒定理的应用：泰勒定理在复变函数中的应用，包括求解微分方程和积分方程几何函数论和单叶函数单叶函数的性
7、质：解析性、单值性、连续性、可微性等几何函数论：研究复变函数在几何上的性质，如解析性、单值性、连续性等单叶函数：复变函数在某一区域内具有唯一确定的值，且该值与自变量一一对应单叶函数的应用：在工程、物理、化学等领域有广泛应用，如流体力学、电磁学、量子力学等亚纯函数的展开和值分布理论亚纯函数的展开和米塔-列夫勒理论亚纯函数：复变函数中的一种特殊函数应用：在解析数论、复动力系统等领域有广泛应用米塔-列夫勒理论：研究亚纯函数展开的性质和规律展开：将亚纯函数分解为幂级数的形式值分布理论和皮卡定理值分布理论：研究函数在复平面上的值分布规律皮卡定理：描述函数在复平面上的值分布规律皮卡定理的应用：求解函数在复平面上的值分布皮卡定理的证明：通过复变函数理论进行证明感谢您的观看汇报人：