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1、1第第3章章 复变函数的积分复变函数的积分第一节第一节 复变函数积分的概念性质及计算复变函数积分的概念性质及计算1.1 积分的定义1.2 积分存在的条件及其计算方法1.3 积分的基本性质2第二节第二节 柯西古萨定理及其推广柯西古萨定理及其推广2.1柯西古萨基本定理2.2基本定理的推广复合闭路定理3第三节第三节 原函数与不定积分原函数与不定积分第四节第四节 柯西积分公式与高阶导数公式柯西积分公式与高阶导数公式4.1 柯西积分公式4.2 高阶导数公式与解析的无限可微性第五节第五节 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系41.1 积分的定义积分的定义1.有向曲线有向曲线:设设C为平面上给定
2、的一条光滑为平面上给定的一条光滑(或按段光滑或按段光滑)曲线曲线,如果选定如果选定C的两个可能方向中的一个作的两个可能方向中的一个作为正方向为正方向(或正向或正向),),那么我们就把那么我们就把C理解为带理解为带有方向的曲线有方向的曲线,称为称为有向曲线有向曲线.如果如果A到到B作为曲线作为曲线C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲线就是曲线C的负向的负向,5简单闭曲线正向的定义简单闭曲线正向的定义:简单闭曲线简单闭曲线C的正向是的正向是指当曲线上的点指当曲线上的点P顺此方向顺此方向前进时前进时,邻近邻近P点的曲线的点的曲线的内部始终位于内部始终位于P点的左方点的左方.与之相反的方向就是曲线的
3、负方向与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明关于曲线方向的说明:在今后的讨论中在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作常把两个端点中的一个作为起点为起点,另一个作为终点另一个作为终点,除特殊声明外除特殊声明外,正方正方向总是指从起点到终点的方向向总是指从起点到终点的方向.62.积分的定义积分的定义:7(8关于定义的说明关于定义的说明:91.2积分存在的条件及其计算法积分存在的条件及其计算法1.存在的条件存在的条件10在形式上可以看成是在形式上可以看成是公式公式112.积分的计算法积分的计算法12在今后讨论的积分中在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的总假定被积函数是连续的,曲线曲
4、线 C 是按段光滑的是按段光滑的.13复变函数积分的计算步骤复变函数积分的计算步骤14例例1 解解直线方程为直线方程为15这两个积分都与路线这两个积分都与路线C 无关无关16例例2 解解(1)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为y=x17(2)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为y=x18y=x(3)积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为19例例3 解解积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为20例例4 解解积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为21重要结论重要结论：积分值与路径圆
5、周的中心和半径无关：积分值与路径圆周的中心和半径无关.221.3积分的性质积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.估估值值不不等等式式23第一节小第一节小结结 本节我们学习了积分的定义、存在条件以本节我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质及计算和性质.应注意复变函数的积分有跟微应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质积分学中的线积分完全相似的性质.本节中重本节中重点掌握复积分的一般方法点掌握复积分的一般方法.24思考题思考题25思考题答案思考题答案即为一元实函数的定积分即为一元实函数的定积分.262.1柯西古萨基本定理柯西古萨基
6、本定理1.问题的提出问题的提出观察上节例观察上节例1,此时积分与路线无关此时积分与路线无关.观察上节例观察上节例4,第二节第二节 柯西古萨定理及其推广柯西古萨定理及其推广27 由以上讨论可知由以上讨论可知,积分是否与路线有关积分是否与路线有关,可可能决定于能决定于被积函数的解析性被积函数的解析性及及区域的连通性区域的连通性.282.柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理定理中的定理中的 C 可以不是简可以不是简单曲线单曲线.此定理也称为此定理也称为柯西积分定柯西积分定理理.29关于定理的说明关于定理的说明:(1)如果曲线如果曲线 C 是区域是区域 B 的边界的边界,(2)如果曲线如果曲线 C 是区域
7、是区域 B 的边界的边界,定理仍成立定理仍成立.30例例5 5解解根据柯西古萨定理根据柯西古萨定理,有有31例例6 6证证由柯西古萨定理由柯西古萨定理,32由柯西古萨定理由柯西古萨定理,由上节例由上节例4可知可知,33例例7 7解解根据柯西古萨定理得根据柯西古萨定理得34352.1小结小结 重点掌握柯西古萨基本定理重点掌握柯西古萨基本定理:并注意定理成立的条件并注意定理成立的条件.36思考题思考题应用柯西应用柯西古萨定理应注意什么古萨定理应注意什么?37思考题答案思考题答案(1)注意定理的条件注意定理的条件“单连通域单连通域”.(2)注意定理的不能反过来用注意定理的不能反过来用.381.问题的
8、提出问题的提出根据本章第一节例根据本章第一节例4可知可知,由此希望将基本定理推广到多连域中由此希望将基本定理推广到多连域中.2.2 基本定理的推广复合闭路定理基本定理的推广复合闭路定理392.闭路变形原理闭路变形原理4041得得42 解析函数沿闭曲线的积分解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值区域内作连续变形而改变它的值.闭路变形原理闭路变形原理说明说明:在变形过程中曲线不经在变形过程中曲线不经过函数过函数 f(z)的不解析的点的不解析的点.433.复合闭路定理复合闭路定理那末那末4445例例8 8解解依题意知依题意知,46根据复合闭路定理根据复合闭路定理
9、,47例例9 9 解解圆环域的边界构成一条复合闭路圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理根据闭路复合定理,48例例1010解解49由复合闭路定理由复合闭路定理,此结论非常重要此结论非常重要,用起来很方用起来很方便便,因为因为 不必是圆不必是圆,a也不必是也不必是圆的圆心圆的圆心,只要只要a在简单闭曲线在简单闭曲线 内即可内即可.50例例1111解解由上例可知由上例可知512.2小结小结 本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的重要定理理是复积分中的重要定理,掌握并能灵活应用它掌握并能灵活应用它是本章的难点是本章的难点.常用结论常用结论:52
10、思考题思考题 复合闭路定理在积分计算中有什么用复合闭路定理在积分计算中有什么用?要要注意什么问题注意什么问题?53思考题答案思考题答案 利用复合闭路定理是计算沿闭曲线积分的利用复合闭路定理是计算沿闭曲线积分的最主要方法最主要方法.使用复合闭路定理时使用复合闭路定理时,要注意曲线的方向要注意曲线的方向.54定理一定理一由定理一可知由定理一可知:解析函数在单连通域内的积分只与起点和解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关终点有关,(如下页图如下页图)1.两个主要定理两个主要定理:第三节第三节 原函数和不定积分原函数和不定积分5556定理二定理二 此定理与微积分学中的此定理与微积分学中的对变上限
11、积分的求导定理完对变上限积分的求导定理完全类似全类似.572.原函数的定义原函数的定义:原函数之间的关系原函数之间的关系:58那末它就有无穷多个原函数那末它就有无穷多个原函数,593.不定积分的定义不定积分的定义:定理三定理三(类似于牛顿类似于牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式)60例例1212解解(使用了微积分学中的使用了微积分学中的“凑微分凑微分”法法)说明说明:有了以上定理有了以上定理,复变函数的积分就可以用复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算跟微积分学中类似的方法去计算.61例例1313解解由牛顿由牛顿-莱布尼兹公式知莱布尼兹公式知,62例例1313另解另解此方法使用了微积分
12、中此方法使用了微积分中“分部积分法分部积分法”63例例1414解解利用分部积分法可得利用分部积分法可得课堂练习课堂练习答案答案64例例1515解解所以积分与路线无关所以积分与路线无关,根据牛根据牛莱公式莱公式:65第三节小结第三节小结 原函数、不定积分的定义以及牛顿原函数、不定积分的定义以及牛顿莱布尼莱布尼兹公式兹公式.在学习中应注意与在学习中应注意与高等数学高等数学中相关内容中相关内容相结合相结合,更好的理解本课内容更好的理解本课内容.66思考题思考题 解析函数在单连通域内积分的牛顿解析函数在单连通域内积分的牛顿莱布尼兹莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿公式与实函数定积分的牛顿莱布尼兹公式有何
13、异莱布尼兹公式有何异同同?67思考题答案思考题答案两者的提法和结果是类似的两者的提法和结果是类似的.两者对函数的要求差异很大两者对函数的要求差异很大.681.问题的提出问题的提出根据闭路变形原理知根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变的变化而改变,求这个值求这个值.第四节第四节 柯西积分公式柯西积分公式4.1柯西积分公式柯西积分公式69702.柯西积分公式柯西积分公式定理定理证证7172上不等式表明上不等式表明,只要只要 R 足够小足够小,左端积分的模就左端积分的模就可以任意小可以任意小,根据闭路变形原理知根据闭路变形原理知,左端积分的值与左端积分的值与 R
14、 无关无关,所以只有在对所有的所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能积分值为零时才有可能.证毕证毕柯西积分公式柯西积分公式73关于柯西积分公式的说明关于柯西积分公式的说明:(1)把函数在把函数在C内部任一点的值用它在边界上的内部任一点的值用它在边界上的值表示值表示.(这是解析函数的又一特征这是解析函数的又一特征)(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分而且给出了解析函数的一个积分表达式表达式.(这是研究解析函数的有力工具这是研究解析函数的有力工具)(3)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上一
15、个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值的平均值.74例例1616解解75由柯西积分公式由柯西积分公式76例例1717解解由柯西积分公式由柯西积分公式77例例1818解解由柯西积分公式由柯西积分公式78例例1919：解解79解解例例1919：80例例2020解解根据柯西积分公式知根据柯西积分公式知,81例例2121解解根据柯西积分公式知根据柯西积分公式知,82比较两式得比较两式得83课堂练习课堂练习答案答案844.1小结小结 柯西积分公式是复积分计算中的重要公式柯西积分公式是复积分计算中的重要公式,它的证明基于柯西它的证明基于柯西古萨基本定理古萨基本定理,它的重要性它的重要性在于在于:一个
16、解析函数在区域内部的值可以用它在一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示边界上的值通过积分表示,所以它是研究解析函所以它是研究解析函数的重要工具数的重要工具.柯西积分公式柯西积分公式:85思考题思考题 柯西积分公式是对有界区域而言的柯西积分公式是对有界区域而言的,能否推能否推广到无界区域中广到无界区域中?86思考题答案思考题答案可以可以.其中积分方向应是顺时针方向其中积分方向应是顺时针方向.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.871.问题的提出问题的提出问题问题:(1)解析函数是否有高阶导数解析函数是否有高阶导数?(2)若有高阶导数若有高阶导数,其定义和求法是否与实
17、变函其定义和求法是否与实变函数相同数相同?回答回答:(1)解析函数有各高阶导数解析函数有各高阶导数.(2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示过积分来表示,这与实变函数完全不同这与实变函数完全不同.解析函数高阶导数的定义是什么解析函数高阶导数的定义是什么?4.2 高阶导数公式与解析函数的无限可微性高阶导数公式与解析函数的无限可微性882.主要定理主要定理 不在于通过积分来求导不在于通过积分来求导,而在于通过求导而在于通过求导来求积分来求积分.89例例2222解解9091根据复合闭路定理根据复合闭路定理9293例例2323解解9495例例2424解
18、解由柯西古萨基本定理得由柯西古萨基本定理得由柯西积分公式得由柯西积分公式得9697课堂练习课堂练习答案答案98练习练习解解99根据复合闭路定理和高阶导数公式根据复合闭路定理和高阶导数公式,1001014.2小结小结 高阶导数公式是复积分的重要公式高阶导数公式是复积分的重要公式.它表明它表明了了解析函数的导数仍然是解析函数解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重这一异常重要的结论要的结论,同时表明了解析函数与实变函数的本同时表明了解析函数与实变函数的本质区别质区别.高阶导数公式高阶导数公式102思考题思考题 解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数与实函数的导
19、数有何不同数与实函数的导数有何不同?103思考题答案思考题答案这一点与实变量函数有本质的区别这一点与实变量函数有本质的区别.1041.调和函数的定义调和函数的定义 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用问题中有很重要的应用.第五节第五节 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系1052.解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系1.两者的关系两者的关系定理定理 任何在区域任何在区域 D 内解析的函数内解析的函数,它的实部它的实部和虚部都是和虚部都是 D 内的调和函数内的调和函数.证证106根据解析函数高阶导数定理根据解析函数高
20、阶导数定理,证毕证毕1072.共轭调和函数的定义共轭调和函数的定义 区域区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数和函数.1083.偏积分法偏积分法 如果已知一个调和函数如果已知一个调和函数 u,那末就可以利用那末就可以利用柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数 v,从而从而构成一个解析函数构成一个解析函数u+vi.这种方法称为这种方法称为偏积分法偏积分法.解解例例25 109110得一个解析函数得一个解析函数这个函数可以化为这个函数可以化为答案答案课堂练习课堂练习1114线积分法线积分法例例26解：解：因为因为112113所以所以令
21、令y=0，得，得从而从而C为实常数为实常数1145.不定积分法不定积分法不定积分法的实施过程不定积分法的实施过程:115将上两式积分将上两式积分,得得116例例2626解解根据调和函数的定义可得根据调和函数的定义可得117所求解析函数为所求解析函数为118第五节小结第五节小结调和函数的概念、解析函数与调和函数的关系以调和函数的概念、解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念及共轭调和函数的概念.应应注意注意的是的是:1.任意两个调和函数任意两个调和函数u与与v所构成的所构成的函数函数u+iv不一定是解析函数不一定是解析函数.2.满足柯西满足柯西黎曼方程黎曼方程ux=vy,vx=uy,的的v称为称为u的共轭调和函数的共轭调和函数,u与与v注意的是地位不能颠倒注意的是地位不能颠倒.119第三章第三章 作业作业P100 2.5.(1)6.(1)(3)(6)7.(1)(3)(6)(7)(9)P101 8.(1)(4)9.(1)(3)