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1、方 伟 良1三角形相似的判定方法有哪些？三角形相似的判定方法有哪些？方法方法1：通过定义：通过定义方法方法5：两组角分别对应相等，两个三角形相似：两组角分别对应相等，两个三角形相似方法方法2：平行平行于三角形一边的直线与其于三角形一边的直线与其它它两边两边 相交，所相交，所得得三角形与三角形与原原三角形三角形相似相似方法方法3：三组对应边的比相等，两个三角形相似：三组对应边的比相等，两个三角形相似方法方法4：两组对应边比相等且夹角相等，：两组对应边比相等且夹角相等，两个三角形相似两个三角形相似2定理定理3 3：两角对应相等，两三角形相似。两角对应相等，两三角形相似。定理定理1 1：三组对应边的
2、比相等，两三角形相似。三组对应边的比相等，两三角形相似。A=AA=A B=BB=BABCAABCAB BC CABCAABCAB BC C定理定理2 2：两组对应边的比相等且夹角相等，两组对应边的比相等且夹角相等，两三角形相似。两三角形相似。ABCAABCAB BC CB=BB=BA AC CB BA AB BC C相似三角形的判定定理：相似三角形的判定定理：3直角三角形相似的判定直角三角形相似的判定:BCABCA直角边和斜边的比相等，两直角直角边和斜边的比相等，两直角三角形相似。三角形相似。ACAC=C=C=90oRtABCRtABC4ABCDEABCDE 21OCBADOCDABABCDE
3、5定理应用定理应用6如图，ACBADC90，AC，AD2。问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？DCBA7要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当RtABCRtACD时，有（2）当RtACBRtCDA时，有 故当AB的长为3或时，这两个直角三角形相似。DCBA8如图如图:ABC=CDB=90,AC=a,BC=b,当当BD=时，时，ABC与与CDB相似相似.ADBC9如图：已知如图：已知ABCCDB90，ACa，BC=b，当，当BD与与a、b之间满足怎样的关系式时，之间满足怎样的关系式时，两三角形相似两三角形相似DABCab解解:1D90当当 时，即当时，即当 时，时，ABC CDB
4、,1D90当当 时时,即当即当 时，时，ABC BDC，答：略答：略.10基本图形应用基本图形应用（1）11已知：如图，已知：如图，ABCABC中，中，P P是是ABAB边上的一点，连边上的一点，连结结CPCP满足什么条件时满足什么条件时 ACPABC?ACPABC?解解:A=A:A=A，当当1=ACB 1=ACB （或（或2=B2=B）时，）时，ACPABC ACPABC A=A A=A，当当AC:APAC:APAB:ACAB:AC时，时，ACPABCACPABC答：当答：当1=ACB 1=ACB 或或2=B 2=B 或或AC:APAC:APAB:ACAB:AC时时,ACPABC.,ACPA
5、BC.ABPC12412ABCDEE思思维维要要严严密密ABCD 在在ABCABC中，中，AB=9，AC=6，D是边是边AB上一点上一点 且且AD=2，E是是AC 上上的点的点，则，则AE=时，时，ADEADE与与ABC相似？相似？或3ADEABC?13ABCDABCD练习练习EE已知，已知，ABC中，中，D为为AB上一点，画一条过上一点，画一条过点点D的直线的直线(不与不与ABAB重合重合),),交交ACAC于于E，使所得，使所得三角形与原三角形相似，这样的直线最多能三角形与原三角形相似，这样的直线最多能画出多少条画出多少条?14 在在ABCABC中，中，ABACABAC，过，过ABAB上一
6、点上一点D D作作直线直线DE DE（不与（不与AB重合），重合），交另一边交另一边于于E E，使所得三角形与原三角形相似，使所得三角形与原三角形相似，这样的直线最多能画出多少条这样的直线最多能画出多少条?画出画出满足条件的图形满足条件的图形.EDABCDABCDABCDABCEEE15 在直角坐标系中，点在直角坐标系中，点A（2，0），），B（0，4），），C（0，3）。过点作直线交）。过点作直线交x轴于点，使以、轴于点，使以、为顶点的三角形与、为顶点的三角形与AOB相似，这样的直相似，这样的直线最多可以作（线最多可以作（）条）条 A.2 B.3 C.4 D.6ABCDDODD16动点与相似
7、三角形动点与相似三角形17o在平面直角坐标系中，四边形在平面直角坐标系中，四边形OABC为等腰梯形，为等腰梯形，OABC,OA=7,BC=3,COA=60,点点P为为线段线段OA上的一个动点，点上的一个动点，点P不与不与O、A重合，连重合，连结结CP.o（1）求点）求点B的坐标。的坐标。o（2）点）点D为为AB上一点，上一点，o且且AD:BD=3:5,连结连结PD,o在在OA上是否存在这样的上是否存在这样的o点点P,使使CPD=BAO?o若存在，求出直线若存在，求出直线PB的的o解析式，若不存在，请说明理由。解析式，若不存在，请说明理由。OxyABCPD182)提示，AD:BD=3：5，AB=
8、OC=4AD=3/2又OPCADP设OP=X,由X:AD=OC:AP列出方程，解得X=1或619 如图：在如图：在ABC中，中，C=90,BC=8,AC=6.点点P从点从点B出发，沿着出发，沿着BC向点向点C以以2cm/秒的速度移动秒的速度移动;点点Q从点从点C出发，沿着出发，沿着CA向点向点A以以1cm/秒的速度移动。秒的速度移动。如果如果P、Q分别从分别从B、C同时出发，问：同时出发，问：经过多少秒时经过多少秒时CPQ CBA;AQPCBAQPCB 经过多少秒时以经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与为顶点的三角形恰好与ABC相似？相似？20o提示o只有一种情况，t=12/5o除上面
9、一种外还有一种情况，t=32/11o(0t4)21基本图形应用基本图形应用（2）22 将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一有，把它们一 一写出来一写出来.解：有相似三角形，它们是：解：有相似三角形，它们是：ADE BAE,BAE CDA，ADE CDA（ADE BAE CDA）EDBCGAF23已知：如图，已知：如图，PQRPQR是等边三角形，是等边三角形，APB=120 AP
10、B=120 求证：求证：（1）PAQBPR（2）PRQBA24如图点如图点C C、D D在线段在线段ABAB上，上，PCDPCD是等边是等边三角形三角形（2 2）当）当ACPPDBACPPDB时，求时，求APBAPB的度数的度数（1 1）当）当ACAC、CDCD、DBDB满足怎样的关系满足怎样的关系式时，式时，ACPPDBACPPDBPDCBA25F 如图，已知如图，已知EM AM，交，交AC于于D，CE=DE 求证：求证：2ED DM=AD CD。CMEDA26如图，已知如图，已知EM AM，交，交AC于于D，CE=DE 求证：求证：2ED DM=AD CD。GACEDM27综合运用综合运用
11、28已知如图，在已知如图，在ABC中，中，AD是是BAC的平分的平分线，线，EF AD于点于点F，AFFD。求证：求证：DEBECE ABCDFE29o解解：连接AE，EF垂直平分ADoAE=DE。ADE=DAE。ADE=B+BAD，DAE=CAD+CAE。AD是BAC的角平分线，BAD=CAD。B=CAE。又AEB=AEC(公共角）。ABECAE，AE/CE=BE/AE，AE=BECE。AE=DE，DE=BECE。30如图，已知点如图，已知点P P是边长为是边长为4 4的正方形的正方形ABCDABCD内一点，且内一点，且PB=3 PB=3 BFBPBFBP，垂足为垂足为B B，请在射线，请在
12、射线BFBF上找一点上找一点M M，使以点，使以点B B、M M、C C为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABPABP相似相似 F F P PD DC CB BA A则则BM=BM=31提示o由条件：ABP=CBM，(1)M1B：BP=BC：AB，即M1B：3=4:4,M1B=3（此时全等）o(2)M2B:AB=BC:BP,即M2B：4=4：3，M2B=16/3.MB有二解：3或16/3.32正方形正方形ABCD边长为边长为4，M、N分别是分别是BC、CD上的两个动上的两个动点，当点，当M点在点在BC上运动时，保持上运动时，保持AM和和MN垂直垂直.（1）证明：）证明：Rt ABM Rt MCN
13、；（2）当）当M点运动到什么位置时点运动到什么位置时Rt ABM Rt AMN，求此时，求此时x的值的值.NMDCBA33o提示o(2)已知了这两个三角形中相等的对应角是ABM和AMN,如果要想使RTABMRTAMN，那么两组直角边就应该对应成比例，即AM/MN=AB/BM，根据（1）的相似三角形可得出AM/MN=AB/MC,因此BM=MC，M是BC的中点，即X=234已知，如图，D为ABC内一点，连接BD、AD，以BC为边在ABC作CBE=ABD，BCE=BAD，BE、CE交于E，连接DE。求证：DBEABC35分析：分析：由已知条件ABD=CBE，DBC公用.所以DBE=ABC，要证的DB
14、E和ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两对应边的比相等。从已知条件中可看到CBEABD，这样既有相等的角，又有对应边的比相等，问题就可以得到解决。36证明证明：在CBE和ABD中，CBE=ABD,BCE=BAD，CBEABD.AB:BC=BD:BEAB:BD=BC:BE.又CBE=ABD，CBE+DBC=ABD+DBC.即DBE=ABCDBEABC点评：点评：本题应用综合分析法，本题应用综合分析法，既用到了相似既用到了相似三角三角形形的性质的性质，又用到了相似三角形的判定，又用到了相似三角形的判定，要求同学们对四种判定方法和要求同学们对四种判定方法和
15、 基本图形要熟基本图形要熟练掌握。练掌握。37o已知，在ABC中，BAC=90，ADBC,E是AC的中点，ED交AB的延长线于F,o求证：AB:AC=DF:AF38o分析分析：o欲证AB:AC=DF:AF，虽然这四条线段可分配于ABC和DFA中，但这两个三角形明显不相似，且图中又没有相等的线段来代换，故需借助中间比牵线搭桥。o易证RTBACRTBDA，得到AB:AC=BD:AD,o于是只需证oDF:AF=BD:ADo进而证出DFBAFDo即可39o证明证明：在RTABC和RTDBA中，BAD=C,ABC=DBA,oRTABCRTDBAoAB:AC=BD:ADo又在RTADC中，E是AC的中点，DE=CEoC=EDC=FDBoC=BADoBAD=FDBoF=FoDFBAFDoDF:AF=BD:ADoAB:AC=DF:AF40再见41知识回顾知识回顾Knowledge Knowledge ReviewReview