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1、考点19 任意角、弧度制及三角函数的概念4种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)考点19 任意角、弧度制及三角函数的概念4种常见考法归类考点一 象限角与终边相同的角（一）终边相同的角（二）象限角（三）区域角的表示考点二 扇形的弧长与面积问题（一）弧长的有关计算（二）扇形面积的有关计算（三）扇形中的最值问题（四）扇形弧长公式与面积公式的应用考点三 三角函数的定义及应用（一）利用定义求角的三角函数值（二）由三角函数值求终边上的点或参数（三）由单位圆求三角函数值（四）已知角的终边在直线上求三角函数值考点四 三角函数函数值符号的确定（一）已知角或角的
2、范围确定三角函数式的符号（二）由三角函数式的符号确定角的范围或象限1. 象限角的2种判断方法图象法在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角转化法先将已知角化为k360(00，cos 10 12. 三角不等式的重要结论0时，sintan，特别地，cos1sin11tan1. 考点一 象限角与终边相同的角（一）终边相同的角1（2023湖北省十堰市天河英才高中月考）下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（）ABCD2（2023山东）终边在轴的正半轴上的角的集合是（）ABCD3【多选】（2023广西河池市期末）在范围内，与角终边相同的角是（）ABCD4（2023北京
3、市昌平区期末）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“角与角的终边关于轴对称”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5（2023广州市培正中学）设集合Mx|x18045，kZ，Nx|x18045，kZ，那么()AMNBNMCMNDMN（二）象限角6（2023陕西省榆林市第十中学第一次月考）若角是第一象限角，则是（）A第一象限角B第二象限角C第一或第三象限角D第二或第四象限角7（2023高三专题训练）已知角第二象限角，且，则角是（ ）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角8（2023高三专题训练）角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于
4、的象限是（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限9（2023天津市红桥区期末）已知是锐角,那么是A第一象限角B第二象限角C小于的正角D不大于直角的正角10（2023高三专题训练）若是第四象限角，则是第（）象限角A一B二C三D四（三）区域角的表示11（2023高三专题训练）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（）ABCD12（2023高三专题训练）如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).（1）；（2）13（2023高三专题训练）如图所示，终边在阴影区域内（含边界）的角的集合为_考点二 扇形的弧长与面积问题（一）弧长的有关计算14（20
5、23春北京丰台高三统考期中）已知扇形的半径为2，圆心角为，则其弧长为_.15（2023全国高三专题练习）已知圆锥展开图的侧面积为2，且为半圆，则底面圆半径为_16（湖南省部分市2023届高三下学期3月大联考数学试题）几何原本是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，则直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为（）ABCD17（2023高三专题训练）如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置为（0，1），此时圆上一点的位置为（0，0），该圆沿轴正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2，1）时，点的坐标为_.18（陕西省西安市周至县2023届高三下学期二模理科数
6、学试题）折扇在我国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄决胜千里大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为，A，B间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则d和所满足的恒等关系为（）ABCD19（广西邕衡金卷2023届高三一轮复习诊断性联考数学（理）试题）如图，在扇形中，C是弦的中点，D在上，其中，长为则的长度约为（提示：时，）（）ABCD20【多选】（2023高三专题训练）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点已知点在圆O上，点T的坐标是，则下列说法中正确的
7、是（）A若，则B若，则C，则D若，则21（贵州省贵阳市2023届高三适应性考试（二）数学（文）试题）已知正方体的棱长为4，点P在该正方体的表面上运动，且，则点P的轨迹长度是_22（2023高三专题训练）掷铁饼是一项体育竞技活动如图，这是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”经测量，此时两手掌心之间的弧长是，“弓”所在圆的半径为米，则这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为（参考数据：，）（）A米B米C米D米（二）扇形面积的有关计算23（2023河南省许昌市鄢陵县职业教育中心期末）已知扇形的半径为1，圆心角为30，则扇形的面积为（）A30BCD24（上海市
8、长宁区2023届高三二模数学试题）已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为，则这个圆锥的体积为_25（福建省连城县第一中学2022-2023学年高三上学期第二次月考数学试题）九章算术是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）为20米，则该扇形田的面积为_平方米.26（北京市陈经纶中学2022-2023学年高三上学期12月诊断数学试题）以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动
9、学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形如图，已知某勒洛三角形的三段弧的总长度为，则该勒洛三角形的面积为（）ABCD27（2023高三专题训练）中国古代数学专著九章算术的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的半周长乘以其半径等于圆面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率.据此，当n足够大时，可以得到与n的关系为（）ABCD28（山西省长治市辅成学校2023届高三上学期1月大联考（新高考卷）数学试题）
10、水滴是刘慈欣的科幻小说三体II黑暗森林中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴.如图所示，水滴是由线段和圆的优弧围成，其中恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为1，点到圆弧所在圆圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为（）ABCD29（湖南省衡阳市名校协作体2023届高三全真模拟适应性考试数学试题）两千多年前，我国首部数学专著九章算术是数学的瑰宝，世人惊叹祖先的智慧.其中早就提出了宛田（扇形面积）的计算方法：“以径乘周，四而一”（意思是说直径与弧长乘积的四分之一），已知扇形的圆心角为，弧长为，且，则它的面积为（）ABCD30（广西柳州
11、高级中学、南宁市第三中学2023届高三联考数学（文）试题）圣彼得大教堂坐落在梵蒂冈城内，是世界上最大的天主教教堂作为最杰出的文艺复兴建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形如图，所在圆的圆心O在线段AB上，若，则扇形OAC的面积为_ （三）扇形中的最值问题31（天津市河东区2023届高三一模数学试题）在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为（）A4BC2D132（2023高三专题训练）已知扇形的周长为30cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，能使扇形的面积最大？最大面积是多少？33（2023高三专题训
12、练）已知扇形的圆心角是，半径是，弧长为.(1)若，求扇形的面积；(2)若扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数34（广东省揭阳市普通高中2023届高三上学期期末数学试题）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，P是圆弧上的动点，且，Q是线段BC上的动点.当点P固定时，点Q将运动到使取到最小值时的位置；当点Q固定时，点P将运动到使取到最大值时的位置.当某一时刻，点P，Q都不再运动，且满足上述条件时，则（）ABC2D不存在35（2023山东济南济南市历城第二中学校考二模）如图，圆心角为的扇形的半径为2，点C是弧AB上一点，作这个扇形的内接矩形(1)求扇形的周长；(2)当点C在什
13、么位置时，矩形的面积最大？并求出面积的最大值36（2023全国高三专题练习）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为弧度.(1)求关于x的函数表达式；(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.（四）扇形弧长公式与面积公式的应用37（辽宁省朝阳市第一高级中学2022-2023学年高三下学期期中数学试题）已知扇形的面积为4，圆心角的弧度数是2，则该扇形的半径为_38（浙江省S9联盟2022-2023学年高三下学期期中数学试题）已知扇形的面积为，该扇形圆
14、心角的弧度数是2，则扇形的弧长为_cm39（2023高三专题训练）已知扇形的周长是6cm，面积是，则扇形的中心角的弧度数是（）A1B4C1或4D2或440（2023山东省威海市乳山市银滩高级中学月考）如图，扇形AOB的面积是1，它的弧长是2，则弦AB的长为_41（山东省济南市2022-2023学年高三下学期开学考试数学试题）已知圆锥侧面展开图的周长为，面积为，则该圆锥的体积为_42（山西省太原市2023届高三上学期期末数学试题）中国古代数学的瑰宝九章算术中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，底面
15、扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的2倍，则该曲池的体积为（）ABCD考点三 三角函数的定义及应用（一）利用定义求角的三角函数值43（2023高三专题训练）已知角的终边经过点，则的值为（）ABCD44（山西省临汾市2023届高三二模数学试题）已知点是角终边上一点，则的值为（）ABCD45（北京市房山区2023届高三二模数学试题）已知角终边过点，角终边与角终边关于轴对称，则_；_46（四川省攀枝花市2023届高三第三次统一考试理科数学试题）已知为锐角，角的终边上有一点，则（）ABCD47（四川省宜宾市2023届高三下学期第二次诊断性测试理科数学试题）四边形由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令
16、，则（）A1BCD（二）由三角函数值求终边上的点或参数48（江苏省扬州市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知角的终边上一点，则（）ABCD以上答案都不对49（河南省开封市2023届高三第三次模拟考试理科数学试题）设是第二象限角，P（x，1）为其终边上一点，且，则tan=（）ABCD50（2023高三专题训练）已知角的终边经过点，且，求的值.51（北京市八一学校2023届高三下学期3月月考数学试题）已知角终边经过点，且，则的值为_52（2023高三专题训练）已知角的终边过点，若，则实数m的值为（）AB4C或3D或4（三）由单位圆求三角函数值53（2023高三专题训练）在平面直角坐标
17、系中，角以轴的非负半轴为始边，终边与单位圆交于点，则=（）ABCD54【多选】（江苏省常州市第三中学2023届高三下学期五模数学试题）已知角的终边与单位圆交于点，则（）ABCD55（安徽省蚌埠市2023届高三四模数学试题）将顶点在原点，始边为轴非负半轴的锐角的终边绕原点顺时针旋转后，交单位圆于点，那么（）ABCD56（山东省日照市2023届高三下学期4月校际联合考试数学试题）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴最合，终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点逆时针方向旋转后与角的终边重合，则_57（2023届河南省部分名校高三仿真模拟测试文科数学试题）已知在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为O，
18、始边为x轴的非负半轴，若的终边与圆交于点，则（）ABCD（四）已知角的终边在直线上求三角函数值58（广西南宁市东盟中学2020-2021学年高三年级12月月考数学试题）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（）ABCD59（青海省玉树州2023届高三第三次联考数学文科试题）已知角的终边落在直线上，则（）ABCD考点四 三角函数函数值符号的确定（一）已知角或角的范围确定三角函数式的符号60（2023高三专题训练）若，则（）ABCD61（2023秋四川成都高三石室中学校考阶段练习）若是第三象限角，则下列各式中成立的是（）ABCD62（河南省部分学校2023届高三高考仿真适应
19、性测试文科数学试题）已知是第二象限角，则点（，）所在的象限是（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限63（2023高三专题训练）已知是第二象限角，则点所在的象限是（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限（二）由三角函数式的符号确定角的范围或象限64（福建省宁德市2022-2023学年高三上学期区域性学业质量检测（期末）数学试题）已知点是第二象限的点，则的终边位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限65（2023高三专题训练）已知点在第三象限，则角的终边在第（）象限A一B二C三D四66（2023高三专题训练）在平面直角坐标系中，点位于第（）象限A一B二C三D四67（2023高三专
20、题训练）若角满足，则在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点19 任意角、弧度制及三角函数的概念4种常见考法归类考点一 象限角与终边相同的角（一）终边相同的角（二）象限角（三）区域角的表示考点二 扇形的弧长与面积问题（一）弧长的有关计算（二）扇形面积的有关计算（三）扇形中的最值问题（四）扇形弧长公式与面积公式的应用考点三 三角函数的定义及应用（一）利用定义求角的三角函数值（二）由三角函数值求终边上的点或参数（三）由单位圆求三角函数值（四）已知角的终边在直线上求三角函数值考点四 三角函数函数值符号的确定（一）已知角或角的范围确定三角函数式的符号（二）由三角函数式的符号确定角的范围或象限
21、1. 象限角的2种判断方法图象法在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角转化法先将已知角化为k360(00，cos 10 12. 三角不等式的重要结论0时，sintan，特别地，cos1sin11tan1. 考点一 象限角与终边相同的角（一）终边相同的角1（2023湖北省十堰市天河英才高中月考）下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（）ABCD【答案】C【分析】根据终边相同的角的表示方法，以及角度和弧度的用法要求，分别判断各选项，可得答案.【详解】对于A，B，中角度和弧度混用，不正确；对于C，因为与是终边相同的角，故与角的终边相同的角可表示为，C正确；对于D
22、，不妨取，则表示的角与终边不相同，D错误，故选：C2（2023山东）终边在轴的正半轴上的角的集合是（）ABCD【答案】A【分析】利用终边落在坐标轴上角的表示方法即可求解【详解】终边在轴正半轴上的角的集合是故选：A3【多选】（2023广西河池市期末）在范围内，与角终边相同的角是（）ABCD【答案】AC【分析】利用终边相同的角的定义求解.【详解】因为，所以与角终边相同的角是和，故选：AC4（2023北京市昌平区期末）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“角与角的终边关于轴对称”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】判断命题“角与角
23、的终边关于轴对称”和“”之间的逻辑推理关系，可得答案.【详解】由题意知，角与角的终边关于轴对称时，则 ，故，则，即；当时，此时，角与角的终边不关于轴对称，即“”成立不能得出“角与角的终边关于轴对称”成立，故“角与角的终边关于轴对称”是“”的充分而不必要条件，故选：A5（2023广州市培正中学）设集合Mx|x18045，kZ，Nx|x18045，kZ，那么()AMNBNMCMNDMN【答案】C【分析】变形表达式为相同的形式，比较可得【详解】由题意可即为的奇数倍构成的集合，又，即为的整数倍构成的集合，故选C【点睛】本题考查集合的包含关系的判定，变形为同样的形式比较是解决问题的关键，属基础题（二）象
24、限角6（2023陕西省榆林市第十中学第一次月考）若角是第一象限角，则是（）A第一象限角B第二象限角C第一或第三象限角D第二或第四象限角【答案】C【分析】根据题意得，分为偶数和奇数求解即可.【详解】因为是第三象限角，所以，所以，当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角.故选：C7（2023高三专题训练）已知角第二象限角，且，则角是（ ）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角【答案】C【分析】由是第二象限角，知在第一象限或在第三象限，再由，知，由此能判断出所在象限【详解】因为角第二象限角，所以，所以，当是偶数时，设，则，此时为第一象限角；当是奇数时，设，则，此时为第三象限角.；
25、综上所述：为第一象限角或第三象限角，因为，所以，所以为第三象限角故选：C8（2023高三专题训练）角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【分析】由题意知，即可得的范围，讨论、对应的终边位置即可.【详解】角的终边在第一象限，则，当时，此时的终边落在第一象限，当时，此时的终边落在第二象限，当时，此时的终边落在第三象限，综上，角的终边不可能落在第四象限，故选：D.9（2023天津市红桥区期末）已知是锐角,那么是A第一象限角B第二象限角C小于的正角D不大于直角的正角【答案】C【解析】根据是锐角，得出的取值范围是，再判定的终边位置即可【详
26、解】是锐角，即，.所以是小于的正角故选：C【点睛】本题考查象限角的概念及判定，任意角的概念得出的取值范围是关键10（2023高三专题训练）若是第四象限角，则是第（）象限角A一B二C三D四【答案】B【分析】由题可得，即得答案.【详解】是第四象限角，则，则，在第二象限.故选：B.（三）区域角的表示11（2023高三专题训练）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（）ABCD【答案】B【分析】对按奇偶分类讨论可得【详解】当k2n(nZ)时，2n2n(nZ)，此时的终边和0的终边一样，当k2n1(nZ)时，2n2n (nZ)，此时的终边和的终边一样故选：B12（2023高三专题训练）如图，用弧度表示顶点
27、在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).（1）；（2）【解析】如题图，以OA为终边的角为+2k(kZ)；以OB为终边的角为+2k(kZ)，所以阴影部分内的角的集合为；如题图，以OA为终边的角为+2k(kZ)；以OB为终边的角为+2k(kZ).不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，则M1=，M2=.所以阴影部分内的角的集合为或.13（2023高三专题训练）如图所示，终边在阴影区域内（含边界）的角的集合为_【答案】【分析】求出终边在直线OM上、直线ON上的角的集合进行求解即可.【详解】终边在直线OM上的角的集合为：同理可得终边在
28、直线ON上的角的集合为，所以终边在阴影区域内（含边界）的角的集合为故答案为：考点二 扇形的弧长与面积问题（一）弧长的有关计算14（2023春北京丰台高三统考期中）已知扇形的半径为2，圆心角为，则其弧长为_.【答案】/【分析】根据扇形弧长公式进行求解【详解】若扇形的圆心角为，半径为，则扇形弧长公式，代入，得：.故答案为：.15（2023全国高三专题练习）已知圆锥展开图的侧面积为2，且为半圆，则底面圆半径为_【答案】1【分析】由圆锥的侧面积公式结合半圆弧长计算公式求得结果【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，则依题意得，解得，则圆锥底面圆半径为1.故答案为：1.16（湖南省部分市2023届高三下学期
29、3月大联考数学试题）几何原本是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，则直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为（）ABCD【答案】C【分析】根据题意，结合圆锥的母线长和弧长以及圆心角之间的关系即可求解【详解】设直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为，底面圆的半径为，母线长为，因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以，则，解得.故选：.17（2023高三专题训练）如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置为（0，1），此时圆上一点的位置为（0，0），该圆沿轴正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2，1）时，点的坐标为_.【答案】【分析】根据点坐标的几何意义
30、，利用三角函数以及几何关系，可得答案.【详解】如图，作轴，为垂足.根据题意得劣弧，则，于是在中，可得点的横坐标为，点的纵坐标为，所以点的坐标为.故答案为：.18（陕西省西安市周至县2023届高三下学期二模理科数学试题）折扇在我国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄决胜千里大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为，A，B间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则d和所满足的恒等关系为（）ABCD【答案】A【分析】先用表示出d和，进而求得的值.【详解】过点O作于D，则，则，则故选：A
31、19（广西邕衡金卷2023届高三一轮复习诊断性联考数学（理）试题）如图，在扇形中，C是弦的中点，D在上，其中，长为则的长度约为（提示：时，）（）ABCD【答案】B【分析】根据弧长公式，结合已知求出角的余弦的近似值，求出CO,最后得到CD即可.【详解】设圆心角，所以，所以故选：B.20【多选】（2023高三专题训练）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点已知点在圆O上，点T的坐标是，则下列说法中正确的是（）A若，则B若，则C，则D若，则【答案】AD【分析】根据弧长公式可判断A的正误；由正弦线余弦线的定义即可判断B的正误；当时，可知可判断C的正误；当时成立，故也一定满足，此时可判断D的正误.【详解】由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有，所以A正确由于B是AOB的一边与单位圆的交点，是对应AOB的正弦值，即，所以是对应AOB的余弦值，即，所以B错误当时，所以C错误反过来，当，即时，一定成立，所以D正确故选：AD21（贵州省贵阳市2023届高三适应性考试（二）数学（文）试题）已知正方体的棱长为4，点P在该正方体的表面上运动，且，则点P的轨迹长度是_【答案】【分析】由已知可判断点可能在平面内，可能在平面内，可能在平面内.先求解当点在平面内时，可推得点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆与正方形边界及其内部的交