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1、1/11 初高衔接之计算补充练习 由于初中数学课程与高中数学课程在内容、要求等方面存在差异，高中必备的某些数学知识在初中没有学到，使同学们在初中阶段所掌握的数学基础知识、基本技能和数学能力在某些方面不能适应高中数学的学习要求。为了弥补知识空缺，使初、高中数学学习内容达到光滑衔接，并对运算技能和逻辑推理技能进行适当的强化训练，以使同学们能更好、更快地适应高中数学学习的需要。题型目录【题型 1】平方差公式与完全平方公式提升训练【题型 2】一元二次方程根于系数的关系【题型 3】因式分解：含参十字相乘【题型 4】齐次式计算：比值消元【题型 5】解二元二次方程组【题型 6】试根法解一元三次方程【题型 7
2、】立方和与立方差公式【题型 8】二重根式的化简【题型 9】分式型函数图像：分离常数与函数平移【题型 10】初识一元二次方程根的分布【课后作业】核心题型突破【题型 1】平方差公式与完全平方公式提升训练 初高中的过渡衔接尤其重要，初中必须掌握的一些知识很多同学就是没掌握好，导致高中学习相当吃力。2025初高数学衔接之计算补充练习 2/11 知识扩充：三项完全平方公 2222()222xyzxyzxyxzyz+=+1计算化简（1）2(1)(1)()ababab+（2）222211111111.234n 2运用公式展开：2(23)abc=【巩固练习 1】已知4417aa+=，则221aa+等于_ 【巩
3、固练习 2】已知4abc+=，4abbcac+=，则222abc+=_ 【巩固练习 3】已知2 32x=+，2 32y=，则223xxyy+=【题型 2】一元二次方程根于系数的关系 一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即20axbxc+=的两根为12,x x，则12bxxa+=，12cx xa=。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如()2221212122xxxxx x+=+3已知12,x x是方程2310 xx+=的两个实根，则有2212xx+=_，12xx=_ 3/11 4已知一元二次方程250 xxk+=的两个实数根为1x，2x，若1 212221x xxx+=，求实数
4、k 的值 【巩固练习 1】若p和q是关于x的一元二次方程2520 xx+=的两个不相等的实数根，253+=pq 【巩固练习 2】已知关于x的一元二次方程()22110axaxa+=有两个实数根(1)求a的取值范围(2)若该方程的两个实数根为1x，2x，且2212122x xx x+=，求a的值 【题型 3】因式分解：含参十字相乘 十字相乘法：()()2()xpq xpqxpxq+=+在二次三项式2(0)axbxc a+中,如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即12aaa=,常数项c可以分解成两个因数之积,即12ccc=,把121,a a c,2c.排列如下:按斜线交叉相乘,再相加,得到1
5、22 1a ca c+,若它正好等于二次三项式2axbxc+的一次项系数b,即1 22 1a ca cb+=,那 么 二 次 三 项 式 就 可 以 分 解 为 两 个 因 式11a xc+与22a xc+之 积,即()()21122axbxca xca xc+=+.5分解因式：20 xaxxa+=4/11 6分解因式：()221xaxa+=7()222xa xa可因式分解为_ 【巩固练习 1】2(21)2axax+可因式分解为 【巩固练习 2】因式分解：()21xaxa+【巩固练习 3】因式分解：()2210 xaxyyaa+【题型 4】齐次式计算：比值消元 齐次式：等式两端或分子分母中每一
6、项的次数都相同的式子称为齐次式 比值消元：一种特殊的消元方式，可以把双变量方程简化为单变量计算，求出两个变量的比例关系 8已知：22320 xxyy+=，则xy 【巩固练习 1】已知：0ac，且422430ca ca+=，则ca 【巩固练习 2】已知：22560 xxyy+=，则232xyxy+5/11 【题型 5】解二元二次方程组 二元方程组的解法在初中有过比较详细的学习。但是二元二次方程组在高中会继续碰到，它的解法有其特殊性，所以有必要在这一块强化。一、代入消元法解二元二次方程组的一般步骤：(1)选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；(2)将变形后
7、的方程代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元方程；(3)解这个一元方程，求出未知数的值；(4)将求得的未知数的值代入(1)变形后的方程中，求出另一个未知数的值；(5)写出原方程组的解 二、加减消元法解二元二次方程组的一般步骤：(1)利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或互为相反数的形式；(2)将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元方程(若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数则用加法)；(3)解这个一元方程，求出未知数的值；(4)将求得的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；(5)写出原方程组的解 9解下列方程组：2
8、2330(1)21xyyxy+=224915,(2)235.xyxy=【巩固练习 1】22530 xyxy+=+=【巩固练习 2】2222205xxyyxy+=+=6/11 【题型 6】试根法解一元三次方程 高次方程高中阶段基本上不会单独考查，即使考查次数也不会超过三次，但函数或导数解题计算中经常会出现关键一步，所以掌握简单有实数根的一元三次方程的解法是很有必要的。试根法：高中阶段考查的三次方程根简单常见，如1，2，由此确定方程的一个根，然后对三次方程因式分解，从而完成方程求解。10解方程:32340 xx+=【巩固练习 1】解方程：3320 xx+=【巩固练习 2】解方程：3234xx+【巩
9、固练习 3】39100 xx+=【题型 7】立方和与立方差公式 立方差：()3322()ababaabb=+立方和：()3322()ababaabb+=+7/11 11已知2310 xx+=，求331xx+【巩固练习 1】()()22(1)(1)11xxxxxx+【巩固练习 2】设2323x+=，2323y=+，求33xy+的值.【题型 8】二重根式的化简 二重根式化简，中考不做要求，但是，在高中的三角函数、解三角形中却频频出现!()224ababababab+=+=+，要化简AB+，则4abAabB+=12化简根式：84 3+13化简根式：74 3 【巩固练习 1】化简根式：740 8/11
10、 【巩固练习 2】化简根式：94 562 5+【题型 9】分式型函数图像：分离常数与函数平移 分式型函数：形如axbycxd+=+的函数，它是由反比例函数平移得到的 分离常数法：把函数axbycxd+=+中的分子变为常数，便于处理分析，后续求分式型函数的值域时还会用到分离常数法 14已知函数121xyx+=是由反比例函数2kyx=平移得到的，求 k 的值.【巩固练习 1】已知函数234xyx+=，求 y 的取值范围 【巩固练习 2】求函数211xyx+=的对称中心 【题型 10】初识一元二次方程根的分布 一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想.一般考虑以
11、下几方面：9/11 1.开口（若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况）.2.判定给定点处函数值的正负.（开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则0 恒成立）3.判定符号.4.判定对称轴的位置.总之，耐心去分类讨论（分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解），借助图象去分析就可以得到结论，无需记忆.（1）二元二次方程在R上根的分布情况 方程有两个不等的实数根240bac =;方程有两个相等的实数根240bac =;方程没有实数根240bac =+=；方程有两个不等负根212121240,00bacbx xxxacx xa=+=方程有一正根和一负根,设两根为1212,
12、0cx xx xa=B324m C122m且2m 【巩固练习 1】已知关于x的方程()222210 xaxa+=有一个正根和一个负根，则实数a的取值范围为 10/11 【巩固练习 2】关于 x 的方程24260 xmxm+=至少有一个负根，则m的取值范围是（）A32m B1m C32m 或1m D1m，且422430ca ca+=，则ca 【答案】512【解析】原方程两边同时除以4a得到42()3()10,ccaa+=解得23562 5()24ca=2(51),4即得51.2ca=说明注意2()ca是正数，要舍去负根 7/18 学科网（北京）股份有限公司【巩固练习 2】已知：22560 xxy
13、y+=，则232xyxy+【答案】5 或913【详解】原方程两边同时除以 x2 得到21 560yxxy+=解方程可得16yx=或 1，从而原式=2352yxyx+=或913 【题型 5】解二元二次方程组 二元方程组的解法在初中有过比较详细的学习。但是二元二次方程组在高中会继续碰到，它的解法有其特殊性，所以有必要在这一块强化。一、代入消元法解二元二次方程组的一般步骤：(1)选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；(2)将变形后的方程代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元方程；(3)解这个一元方程，求出未知数的值；(4)将求得的未知数的值代入(1)变
14、形后的方程中，求出另一个未知数的值；(5)写出原方程组的解 二、加减消元法解二元二次方程组的一般步骤：(1)利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或互为相反数的形式；(2)将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元方程(若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数则用加法)；8/18 学科网（北京）股份有限公司(3)解这个一元方程，求出未知数的值；(4)将求得的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；(5)写出原方程组的解 9解下列方程组：22330(1)21xyyxy+=解：22330,21,xyyxy+=由，得21yx=把代入，得
15、223(21)(21)30 xxx+=整理后，得2230 xx=解得121,3xx=.将1x=代入，得13y=2x=3 代入得25y=所以原方程组的解是1,3xy=或3,5.xy=224915,(2)235.xyxy=【答案】2,1.3xy=【解析】解：224915,(2)235.xyxy=由，得(23)(23)15.xyxy+=将代入，得233.xy+=+，得 4x=8解得 x=2 将 x=2 代入，得 4+3y=3 解得13y=，所以原方程组的解是2,1.3xy=9/18 学科网（北京）股份有限公司【巩固练习 1】22530 xyxy+=+=【答案】2,1.3xy=【解析】解：22530
16、xyxy+=+=由，得3yx=把代入，得()2235xx+=整理后，得2320 xx+=解得121,2xx=.将1x=代入，得12y=2x=2 代入得21y=所以原方程组的解是1,2xy=或2,1.xy=【巩固练习 2】2222205xxyyxy+=+=【答案】2,1.3xy=【解析】解：2222205xxyyxy+=+=由，得(2)()0 xy xy+=，即20 xy+=或0 xy=将20 xy+=代入，得2245yy+=，得1y=，即2,1.xy=或2,1.xy=将0 xy=代入，得225yy+=，得102y=，即10,210.2xy=或10,210.2xy=10/18 学科网（北京）股份
17、有限公司 【题型 6】试根法解一元三次方程 高次方程高中阶段基本上不会单独考查，即使考查次数也不会超过三次，但函数或导数解题计算中经常会出现关键一步，所以掌握简单有实数根的一元三次方程的解法是很有必要的。试根法：高中阶段考查的三次方程根简单常见，如1，2，由此确定方程的一个根，然后对三次方程因式分解，从而完成方程求解。10解方程:32340 xx+=【答案】1x=或2x=【解析】猜测并验证得出1x=是方程的一个根，那么(1)x是方程的一个因式 故方程可以改写为()2(1)0 xaxbxc+=易得144abc=，则()()32234144xxxxx+=+解得1x=或2x=【巩固练习 1】解方程：
18、3320 xx+=【答案】1x=或2x=【解析】猜测并验证得出1x=是方程的一个根 ()()323212xxxxx+=+1231,2xxx=【巩固练习 2】解方程：3234xx+【答案】1231,2,3xxx=【解析】猜测并验证得出1x=是方程的一个根 ()()32226165xxxxxx+=1231,2,3xxx=11/18 学科网（北京）股份有限公司【巩固练习 3】39100 xx+=【解析】猜测并验证得出2x=是方程的一个根 ()()32910225xxxxx+=+1232,61,61xxx=【题型 7】立方和与立方差公式 立方差：()3322()ababaabb=+立方和：()3322
19、()ababaabb+=+11已知2310 xx+=，求331xx+【答案】18 【解析】13xx+=，故原式=211318xxxx+=【巩固练习 1】()()22(1)(1)11xxxxxx+【答案】61.x 【解析】原式=()()226(1)1(1)11xxxxxxx+=【巩固练习 2】设2323x+=，2323y=+，求33xy+的值.【答案】2702【解析】直接计算可得2222(23)(23)1,1423xyxy+=+=，故原式=()()()2222()()()314 1432702xyxxyyxyxyxy+=+=12/18 学科网（北京）股份有限公司 说明注意综合使用完全平方公式与立
20、方和公式 【题型 8】二重根式的化简 二重根式化简，中考不做要求，但是，在高中的三角函数、解析几何中却频频出现!()224ababababab+=+=+，要化简AB+，则4abAabB+=12化简根式：84 3+【答案】26+【解析】8284 382 12126abaabb+=+=+=，故()284 32626+=+=+13化简根式：74 3【答案】23【解析】()274 372 123423=【巩固练习 1】化简根式：740【答案】26+【解析】7274072 10105abaabb+=+=，故()27402552=【巩固练习 2】化简根式：94 562 5+【答案】-3【解析】()()22
21、92 2062 5525152513=+=+=【题型 9】分式型函数图像：分离常数与函数平移 分式型函数：形如axbycxd+=+的函数，它是由反比例函数平移得到的 分离常数法：把函数axbycxd+=+中的分子变为常数，便于处理分析，后续求分式型函数的值域时还 13/18 学科网（北京）股份有限公司 会用到分离常数法 14已知函数121xyx+=是由反比例函数2kyx=平移得到的，求 k 的值.【答案】121 31331311111xxxykxxxxx+=+=+=【巩固练习 1】已知函数234xyx+=，求 y 的取值范围【答案】4104101021133333343434343343xxx
22、yxxxxx+=+=+【巩固练习 2】求函数211xyx+=的对称中心【答案】2122 12211211111xxxyxxxxx+=12111211yyyxxx=右移 个单位下移 个单位 对称中心：()()()120,01,01,2 右移 个单位下移 个单位 【题型 10】初识一元二次方程根的分布 一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想.一般考虑以下几方面：1.开口（若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况）.14/18 学科网（北京）股份有限公司 2.判定给定点处函数值的正负.（开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则0 恒成立
23、）3.判定符号.4.判定对称轴的位置.总之，耐心去分类讨论（分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解），借助图象去分析就可以得到结论，无需记忆.（1）二元二次方程在R上根的分布情况 方程有两个不等的实数根240bac =;方程有两个相等的实数根240bac =;方程没有实数根240bac =+=；方程有两个不等负根212121240,00bacbx xxxacx xa=+=方程有一正根和一负根,设两根为1212,0cx xx xa=B324m C122m且2m 【答案】B【分析】根据一元二次方程根的分布，结合韦达定理即可求解.【详解】根据题意可知；202mm，由韦达定理可得()()2220
24、2210221420mmmmmm+=+，解得324m，故选：B【巩固练习 1】已知关于x的方程()222210 xaxa+=有一个正根和一个负根，则实数a的取值范围为 【答案】11a=，解得11a.故答案为：11a.【巩固练习 2】关于 x 的方程24260 xmxm+=至少有一个负根，则m的取值范围是（）A32m B1m C32m 或1m D1m 【答案】B【分析】根据一元二次方程根的分布以及判别式、韦达定理得关系求解.【详解】当方程没有根时，2168240mm=，即2230mm，解得312m ，即关于 x 的方程24260 xmxm+=没有一个负根时，1m ，所以关于 x 的方程24260
25、 xmxm+=至少有一个负根的充要条件是1m ，课后练习 1已知23x=，23y=+，求223xyxy+的值【答案】11【详解】解：23x=，23y=+，23234xy+=+=()()23231xy=+=223xyxy+()2225xxyyxy=+()25xyxy=+165 1=11=2已知22228abc+=，4abbcac+=，则abc+=_【答案】6【解答】()()2222228836abcabcabbcac+=+=+=3若 m，n 是方程2220240 xx+=的两个实数根，则2mmn+的值为 【答案】4048【详解】解：m、n 是方程2220230 xx+=的两个实数根，220242
26、20240mnmm=+=，222024mm+=，()()222202420244048mmnmmmn+=+=故答案为：4048 4对以下式子进行因式分解（1）()2212axax（其中0a）（2）2221xxa+（3）2224mxmxx+（其中0m）（4）()233xmxm 17/18 学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）(1)(2)axx+；（2）(1)(1)xa xa +（3）()()22xmx（4）()()3xxm+5若2232xyxy=，求2xyxy+【答案】25或2【解析】原式两边同除2y，得2230 xxyy=，解得3xy=或1 则12252xxyyxxyy=+或2 6解方程
27、组：222,20.xyxyxy=【答案】【解析】解：2220 xyxy=一可以化为()()20 xyxy+=，20 xy=或0 xy+=则原方程可以变为202xyxy=或0,2,xyxy+=解得42xy=或11xy=7解方程：322560 xxx+=【答案】2x=或15x=或1x=【解析】解：猜并且检验 x=2 是方程的一个根，那么方程可以改写为()322256(2)0 xxxxaxbxc+=+=故()322256(2)23xxxxxx+=再次因式分解可得(2)(23)(1)0 xxx+=原方程的根为2x=或15x=或1x=8化简二重根式：134 3 18/18 学科网（北京）股份有限公司【答
28、案】2 31【解析】()2134 3132 121212 31=9设5,1xyxy+=，求33xy+的值.【答案】110【解析】()()33222()()()35253110 xyxyxxyyxyxyxy+=+=+=10已知函数211xyx+=，求 y 的取值范围和对称中心【答案】2y，对称中心：【解析】212232233211111xxxyxxxxx+=+=+，因为301x，故2y 函数图像平移：12333211yyyxxx=右移 个单位下移 个单位 对称中心：()()()120,01,01,2 右移 个单位下移 个单位 11*求关于 x 的方程2210axx+=至少有一个负实根，求 a 的取值范围.【答案】1a 【详解】当0a=时，方程为210 x+=，解得12x=，符合要求 当0a 时，方程为一元二次方程，此时2210axx+=有实根的充要条件是 判别式0，即440a，解得1a，设方程2210axx+=的两根分别为12,x x，则121221,xxx xaa+=，方程2210axx+=有一负根一正根的充要条件为110aa，解得a0；方程2210axx+=有两个负根的充要条件为12010aaa，解得01a，综上所述，当1a 时，方程2210axx+=至少有一个负实根.